Решение дифференциального уравнения с задачей Коши

@ant-ares · Регистрация: 22.04.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!

Есть дифференциальное уравнение (ДУ): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x^2$
начальное условие: у(1)=0
Сначала надо определиться, что это за уравнение; преобразую в форму однородного:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{xdy-ydx}{xdx}=x^2, xdy-ydx=x^3dx, xdy-ydx-x^3dx=0, xdy-(y+x^3)dx=0$
и первая проблема, это определение степени измерения при функциях Р(x,y) и Q(x,y), у однородного они должны быть одинаковые; при dy степень 1, а вот при dx непонятно какая, то ли 1, то ли 3
Вопрос: какая степень измерения у функции при dx?
Допустим, что это однородное 1ого порядка и попробуем его решить подстановкой z=y/x
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dz}{dx}=\frac{\frac{dy}{dx}x-\frac{dx}{dx}y}{x^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2dz=xdy-ydx, x^2dz=x^3dx, dz=xdx, \int dz=\int xdx, z=\frac{x^2}{2}+C$
возвращаемся от подстановки к (y):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y}{x}=\frac{x^2}{2}+C, y=\frac{x^3}{2}+Cx$
найдем значение константы по начальным условиям:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0=\frac{1^3}{2}+C\cdot 1, C=-\frac{1}{2}$
проверим найденное решение подстановкой в ДУ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{2}+C,\frac{3x^2}{2}+C-\frac{x^2}{2}-C=X^2,2x^2=2x^2$
подстановка решения обращает ДУ в тождество, значит решение найдено верно
Вопрос: есть ли ошибки в методе решения? и насколько этот метод отличается от метода Бернулли, какой лучше/проще?

@mathmichel · 12.09.2022, 09:01

Всё правильно, тем более, что была выполнена проверка!
Какой лучше метод? Лучше тот, которым Вы владеете, чтобы решить задачу!
Кстати, эту замену можно было провернуть сразу для неоднородного уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{xdy-ydx}{x^2}=xdx\Leftrightarrow d\left(\frac{y}{x} \right)=d\left(\frac{x^2}{2} \right)$ , откуда и следует $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{x^3}{2}+Cx$ .

@ant-ares · 12.09.2022, 22:08 **[ТС]**

mathmichel, а что Вы можете сказать по вопросу с степенью измерения? я так и не пришел к мнению какая там при dx степень, а умение ее определять важно для определения типа ДУ; они (степени) при однородных функциях должны быть равны; в скобках при (у) первая степень, а при (х) третья, и меня это смутило; может в таких случаях выбирается минимальная?

Добавлено через 1 час 26 минут
покопавшись в теории пришел к выводу, что уравнение в примере не однородное, а линейное 1го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

@mathmichel · 12.09.2022, 22:28

Сообщение от ant-ares

что уравнение в примере не однородное, а линейное 1го порядка

Да, это линейное неоднородное уравнение, которое обычно решается в два этапа: 1) находится общее решение для однородной части уравнения (с константой), 2) к этому общему решению добавляется частное решение (любое без константы) полного неоднородного уравнения.
В Вашем случае частное решение подбирается элементарно, чтобы получить в правой части x² надо брать y=Ax³, так как в левой части дифференцирование и деление на х приводят к второй степени для х.

@ant-ares · 14.09.2022, 23:41 **[ТС]**

Сообщение от mathmichel

обычно решается в два этапа

я так понял, это метод вариации произвольной постоянной; от себя добавлю пару ссылок на понятные статьи о этом методе и методе Бернулли, они несколько отличаются от использованного мной метода:
метод Бернулли
метод вариации произвольной постоянной

@ant-ares 18 / 9 / 4 Регистрация: 22.04.2016 Сообщений: 296
		1
	Решение дифференциального уравнения с задачей Коши 12.09.2022, 01:31. Показов 498. Ответов 4 Метки дифференциальное уравнение (Все метки) Здравствуйте! Есть дифференциальное уравнение (ДУ): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x^2$ начальное условие: у(1)=0 Сначала надо определиться, что это за уравнение; преобразую в форму однородного: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{xdy-ydx}{xdx}=x^2, xdy-ydx=x^3dx, xdy-ydx-x^3dx=0, xdy-(y+x^3)dx=0$ и первая проблема, это определение степени измерения при функциях Р(x,y) и Q(x,y), у однородного они должны быть одинаковые; при dy степень 1, а вот при dx непонятно какая, то ли 1, то ли 3 Вопрос: какая степень измерения у функции при dx? Допустим, что это однородное 1ого порядка и попробуем его решить подстановкой z=y/x $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dz}{dx}=\frac{\frac{dy}{dx}x-\frac{dx}{dx}y}{x^2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2dz=xdy-ydx, x^2dz=x^3dx, dz=xdx, \int dz=\int xdx, z=\frac{x^2}{2}+C$ возвращаемся от подстановки к (y): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y}{x}=\frac{x^2}{2}+C, y=\frac{x^3}{2}+Cx$ найдем значение константы по начальным условиям: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0=\frac{1^3}{2}+C\cdot 1, C=-\frac{1}{2}$ проверим найденное решение подстановкой в ДУ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{2}+C,\frac{3x^2}{2}+C-\frac{x^2}{2}-C=X^2,2x^2=2x^2$ подстановка решения обращает ДУ в тождество, значит решение найдено верно Вопрос: есть ли ошибки в методе решения? и насколько этот метод отличается от метода Бернулли, какой лучше/проще? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	12.09.2022, 09:01	2
	Всё правильно, тем более, что была выполнена проверка! Какой лучше метод? Лучше тот, которым Вы владеете, чтобы решить задачу! Кстати, эту замену можно было провернуть сразу для неоднородного уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{xdy-ydx}{x^2}=xdx\Leftrightarrow d\left(\frac{y}{x} \right)=d\left(\frac{x^2}{2} \right)$ , откуда и следует $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{x^3}{2}+Cx$ . 1

@ant-ares 18 / 9 / 4 Регистрация: 22.04.2016 Сообщений: 296
	12.09.2022, 22:08 [ТС]	3
	mathmichel, а что Вы можете сказать по вопросу с степенью измерения? я так и не пришел к мнению какая там при dx степень, а умение ее определять важно для определения типа ДУ; они (степени) при однородных функциях должны быть равны; в скобках при (у) первая степень, а при (х) третья, и меня это смутило; может в таких случаях выбирается минимальная? Добавлено через 1 час 26 минут покопавшись в теории пришел к выводу, что уравнение в примере не однородное, а линейное 1го порядка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	12.09.2022, 22:28	4
	Сообщение от ant-ares что уравнение в примере не однородное, а линейное 1го порядка Да, это линейное неоднородное уравнение, которое обычно решается в два этапа: 1) находится общее решение для однородной части уравнения (с константой), 2) к этому общему решению добавляется частное решение (любое без константы) полного неоднородного уравнения. В Вашем случае частное решение подбирается элементарно, чтобы получить в правой части x² надо брать y=Ax³, так как в левой части дифференцирование и деление на х приводят к второй степени для х. 0

@ant-ares 18 / 9 / 4 Регистрация: 22.04.2016 Сообщений: 296
	14.09.2022, 23:41 [ТС]	5
	Сообщение от mathmichel обычно решается в два этапа я так понял, это метод вариации произвольной постоянной; от себя добавлю пару ссылок на понятные статьи о этом методе и методе Бернулли, они несколько отличаются от использованного мной метода: метод Бернулли метод вариации произвольной постоянной 0