Задача Коши для уравнения 2 порядка

@Stasia_lime · Регистрация: 21.01.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

y"-2y'+5y=x*e^2x
y(0)=1; y'(0)=0.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

@blok20 · 24.06.2012, 21:19

y"-2y'+5y=x*e2x
y(0)=1; y'(0)=0.

Общее однородное уравнение:
y'' - 2y' + 5y = 0;
l^2 - 2*l + 5 = 0;
l1 = 1 + 2*i;
l2 = 1 - 2*i;

===> y(oo) = C1*(e^x)*cos2x + C2*(e^x)*sin2x;

Частное решение:
y(ч) = (Ax+B)*e^2x;
y' = A*e^2x + 2*(Ax+B)*e^2x;
y'' = 2A*e^2x + 2A*e^2x + 4(Ax+B)*e^2x;

2A*e^2x + 2A*e^2x + 4(Ax+B)*e^2x - 2(A*e^2x + 2*(Ax+B)*e^2x) + 5*(Ax+B)*e^2x = x*e^2x;

|
|
\/

2A*e^2x + 5(Ax+B)*e^2x = x*e^2x;
5A = 1;
A = 1/5;
B = 0;

y(ч) = (1/5)*x*e^2x;

Y = C1*(e^x)*cos2x + C2*(e^x)*sin2x + (1/5)*x*e^2x; (Используя начальные условия найдем C1 и C2, взяв предварительно производную от Y)

@Stasia_lime · 24.06.2012, 21:35 **[ТС]**

l1 = 1 + 2*i;
l2 = 1 - 2*i;

В этом месте разве не l1 = 1 + 4*i;
l2 = 1 - 4*i; должно получиться?

@pcacer · 24.06.2012, 22:12

Сообщение от Stasia_lime

l1 = 1 + 2*i;
l2 = 1 - 2*i;

В этом месте разве не l1 = 1 + 4*i;
l2 = 1 - 4*i; должно получиться?

нет. Так как l_1,2 = (-b ± √D)/2*a,
В нашем случае a=1, b=-2, √D = 4*i.
Следовательно
l₁ = (2+4*i)/2 = 1+2*i
А l₂ = (2-4*i)/2 = 1-2*i

@Stasia_lime · 24.06.2012, 22:19 **[ТС]**

Да,спасибо,я уже разобралась

@Stasia_lime 15 / 15 / 0 Регистрация: 21.01.2012 Сообщений: 51
		1
	Задача Коши для уравнения 2 порядка 24.06.2012, 18:18. Показов 4970. Ответов 4 Метки нет (Все метки) y"-2y'+5y=x*e^2x y(0)=1; y'(0)=0. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. 0

@blok20 36 / 34 / 3 Регистрация: 17.04.2010 Сообщений: 174
	24.06.2012, 21:19	2
	y"-2y'+5y=xe2x y(0)=1; y'(0)=0. Общее однородное уравнение: y'' - 2y' + 5y = 0; l^2 - 2l + 5 = 0; l1 = 1 + 2i; l2 = 1 - 2i; ===> y(oo) = C1(e^x)cos2x + C2(e^x)sin2x; Частное решение: y(ч) = (Ax+B)e^2x; y' = Ae^2x + 2(Ax+B)e^2x; y'' = 2Ae^2x + 2Ae^2x + 4(Ax+B)e^2x; 2Ae^2x + 2Ae^2x + 4(Ax+B)e^2x - 2(Ae^2x + 2(Ax+B)e^2x) + 5(Ax+B)e^2x = xe^2x; \| \| \/ 2Ae^2x + 5(Ax+B)e^2x = xe^2x; 5A = 1; A = 1/5; B = 0; y(ч) = (1/5)xe^2x; Y = C1(e^x)cos2x + C2(e^x)sin2x + (1/5)x*e^2x; (Используя начальные условия найдем C1 и C2, взяв предварительно производную от Y) 1

@Stasia_lime 15 / 15 / 0 Регистрация: 21.01.2012 Сообщений: 51
	24.06.2012, 21:35 [ТС]	3
	l1 = 1 + 2i; l2 = 1 - 2i; В этом месте разве не l1 = 1 + 4i; l2 = 1 - 4i; должно получиться? 0

@pcacer 53 / 52 / 6 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 119
	24.06.2012, 22:12	4
	Сообщение от Stasia_lime l1 = 1 + 2i; l2 = 1 - 2i; В этом месте разве не l1 = 1 + 4i; l2 = 1 - 4i; должно получиться? нет. Так как l_1,2 = (-b ± √D)/2a, В нашем случае a=1, b=-2, √D = 4i. Следовательно l₁ = (2+4i)/2 = 1+2i** А l₂ = (2-4i)/2 = 1-2i** 0

@Stasia_lime 15 / 15 / 0 Регистрация: 21.01.2012 Сообщений: 51
	24.06.2012, 22:19 [ТС]	5
	Да,спасибо,я уже разобралась 0