Решение уравнения с переменными коэффициентами

Всем доброго времени суток. Имеется уравнение вида

где K= f(x) и L=m(x). Но для этих функций
решение есть только в виде x=f(k) и x=f(L). При постоянных коэффициентах
исходное уравнение решается. Даже если найти функци K= f(x) и L=m(x) они
будут очень сложными и получить решение уравнения вряд ли удастся.
Есть ли способы точного решения исходного уравнения для
определенных моментов времени (х) путем подстановки значений K и L ?
Понимаю, что их скорее всего нет, поэтому какие численные (приближенные) способы решения для этого случая наиболее пригодны?
Спасибо.

0

Roman1, y'-g(x)y=h(x) - линейное. Решение представляется в виде y=f(x).

2

Igor, я чего-не понял. У меня нет функций g(x) и h(x). Есть обратные функции в виде x=... А в решении линейного уравнения g(x) интегрируется.

Добавлено через 23 минуты
Прошу прощения, изначально неправильно объяснил задачу. В исходном уравнении функций K и L реально нет. Они сами являются решением другого диф. уравнения. В результате его решения получены обратные функции, где аргументом является другая переменная, нежели указанная в исходном уравнении. Речь идет о разных физических величинах Y и К. Для К найдена обратная функция, а в уравнение для Y подставить нечего, только значения в определенные моменты времени.

0

Сообщение от Roman1 Прошу прощения, изначально неправильно объяснил задачу. В исходном уравнении функций K и L реально нет. Они сами являются решением другого диф. уравнения. В результате его решения получены обратные функции, где аргументом является другая переменная, нежели указанная в исходном уравнении. Речь идет о разных физических величинах Y и К. Для К найдена обратная функция, а в уравнение для Y подставить нечего, только значения в определенные моменты времени.

!!!!
Покажите это другое уравнение, и какое решение было получено. Может есть более простой способ решения. Что-нибудь попытаюсь придумать.

0

Другое уравнение выглядит так:


Решение мне подсказали тут же на форуме:
,
потом вывел его сам.

В исходном уравнении K и L являются функциями от этого y: K=f(y), L=f(y).


Для описания поведения переменной Y этого больше чем достаточно, а вывести решение уравнения (которое в начале темы) получается пока только численно. Да и то, использование приведенного здесь решения только усложняет численный метод. Проще получается решать численным методом оба уравнения .

Добавлено через 6 минут
Исходное уравнение нужно переписать так:

, а то получается путаница с переменными Y.

0

Сообщение от Roman1 а то получается путаница с переменными Y

Никакой совершенно.

Сообщение от Roman1 Решение мне подсказали тут же на форуме

Да, видел. Это вы как выразили K=f(y) отсюда? или надо полагать, что вместо a в уравнении подставляем поочередно K и L?

Добавлено через 41 минуту
Кст если K и L вы находите через другое д.у., то ваша задача - система д.у.

0

Нет, это просто постоянный коэффициент. Чувствую, что я всех запутал.

В начальном уравнении темы предполагается, что должны быть функции K=f(x) и L=f(x). Но для того, что бы их получить, нужно сначала найти y=f(x). Если бы это удалось, то составилось бы линейное уравнение

Ну, грубо говоря, Y=X, а K=3*X и L=4*X. Тогда
В отношении Y найдено только обратное решение. Из него выразить y=f(x) не получается. Поэтому не получается и подставить функции K=f(x) и L=f(x).

Добавлено через 13 минут
Вместо того, чтобы подставлять K и L в виде K=f(Y) = f(x) можно сразу получть для них решение в виде функции x=f(K) и x=f(L). Но оно получается еще более страшным чем для Y.

0

Сообщение от Roman1 Нет, это просто постоянный коэффициент. Чувствую, что я всех запутал. В начальном уравнении темы предполагается, что должны быть функции K=f(x) и L=f(x). Но для того, что бы их получить, нужно сначала найти y=f(x). Если бы это удалось, то составилось бы линейное уравнение Ну, грубо говоря, Y=X, а K=3*X и L=4*X. Тогда В отношении Y найдено только обратное решение. Из него выразить y=f(x) не получается. Поэтому не получается и подставить функции K=f(x) и L=f(x).

Запутали, еще как. Мне бы увидеть само задание из задачника (или откуда вы его взяли), т.е. исходный его текст. Если Вам надо просто подставить в ваше уравнение y, найденное в "другом уравнении" (которое задано неявно), то не вижу проблемы. Вы что слышали о неявном дифференцировании? о дифференцировании по параметру? а домножить уравнение на x' в голову не приходило?

0

Из того что Вы сказали я как раз ничего почти и не слышал. Сейчас буду читать. Может быть, дадите какие-нибудь целевые ссылки? Но это не обязательно, естественно, найду и так.
Что касается задачника, то его нет. Можно сказать сам себе придумал проблему. Пытаюсь вместо численного решения для одного простого случая получить аналитическое.
Попробую еще раз все изложить.

Решается уравнение , где и . Для того, чтобы найти неизвестную функцию Y=f(X) нужно решить уравнение
. После получения решения составляем функцию K=f(Y) и L=f(y), подставляем в исходное уравнение и решаем. Если бы у меня было решение в виде Y=f(X), то проблем скорее всего не было бы. Но решение есть только в виде обратной функции, поэтому я ничего сделать и не могу. Как я уже писал, вместо нахождения функции Y=f(X) и последующего составления функций K и L можно составить диф. уравнение для K и L и решить его, но решение тоже будет в виде обратной функции.
Задача здесь приводится в полном виде за исключением кучи постоянных множителей, которые выносятся за знаки производных и пробем не составляют.
Еще надо сказать, что начальные условия известны, знаки и диапазон переменных известен, известно, что они либо только возрастают либо только убывают и т.п.
Так что если можно напишите немного поподробнее про методы решения для этого случая. И самое главное - неужели есть возможность получить аналитическое решение для этого случая? а то уже крыша едет.
Спасибо.

Добавлено через 30 минут
Опять исправление, простите.



Добавлено через 20 минут
Путем умножения уравнения на x' получилось решение в виде



Правильно ли я понимаю, что теперь нужно выражать и подставлять значения K и L, вычисленные для определенного X?

1

Сообщение от Roman1 Из того что Вы сказали я как раз ничего почти и не слышал. Сейчас буду читать. Может быть, дадите какие-нибудь целевые ссылки? Но это не обязательно, естественно, найду и так. Что касается задачника, то его нет. Можно сказать сам себе придумал проблему. Пытаюсь вместо численного решения для одного простого случая получить аналитическое. Попробую еще раз все изложить. Решается уравнение , где и . Для того, чтобы найти неизвестную функцию Y=f(X) нужно решить уравнение . После получения решения составляем функцию K=f(Y) и L=f(y), подставляем в исходное уравнение и решаем. Если бы у меня было решение в виде Y=f(X), то проблем скорее всего не было бы. Но решение есть только в виде обратной функции, поэтому я ничего сделать и не могу. Как я уже писал, вместо нахождения функции Y=f(X) и последующего составления функций K и L можно составить диф. уравнение для K и L и решить его, но решение тоже будет в виде обратной функции. Задача здесь приводится в полном виде за исключением кучи постоянных множителей, которые выносятся за знаки производных и пробем не составляют. Еще надо сказать, что начальные условия известны, знаки и диапазон переменных известен, известно, что они либо только возрастают либо только убывают и т.п. Так что если можно напишите немного поподробнее про методы решения для этого случая. И самое главное - неужели есть возможность получить аналитическое решение для этого случая? а то уже крыша едет. Спасибо. Добавлено через 30 минут Опять исправление, простите.

Вы подставили K и L в уравнение. Откуда получилось то уравнение с корнями? Вы что-то напутали. Тоже подставил K и L в уравнение получил:

вы не то уравнение решали.
Кроме того, не всегда можно получить y(x) и с этим надо смириться. Существуют выражения, в которых одну из переменных нельзя выделить алгебраически и выразить через другие. К тому же у вас не обратная функция, а зависимость x(y). Т.е. эта таже интегральная кривая, как если бы удалось нам записать y(x). Тоже самое геометрическое место точек. Так что мне не понятно ваше затруднение. Если вам нужно численно получить что-то такое, как f(x)y(x), то постройте столько точек решения, сколько нужно для конкретной точности, и воспользуйтесь методами интерполяции.

Добавлено через 3 минуты
З.Ы. список литературы, которую вам, имхо, надо почитать, можете найти в рубрике "важно" этого раздела и раздела "математический анализ". К тому, что там написано, мне нечего добавить.

0

Да, правильно, надо еще раз все пересчитать. Но свет в конце тоннеля уже есть.
Спасибо.

0

Сообщение от Roman1 Спасибо.

Не за что

0

Hydrogen, здравствуйте. Я все еще раз проверил. Все правильно. Обратите, пожалуйста, внимание, что Y и Y с индксом 1 это разные переменные, так что подставлять K и L просто так нельзя.
Если возможно, вернитесь, пожалуйста, к этому вопросу. Изучив предложенные Вами варианты решения я для этого случая ничего применить не смог.
Спасибо.

0

Сообщение от Roman1 Обратите, пожалуйста, внимание, что Y и Y с индксом 1 это разные переменные, так что подставлять K и L просто так нельзя.

Если у вас K и L зависят от y, который зависит от х, то у вас получится одно уравнение, в котором две неизвестные функции.

Сообщение от Roman1 Можно сказать сам себе придумал проблему. Пытаюсь вместо численного решения для одного простого случая получить аналитическое.

Переформулирую свой вопрос (о задачнике): на основе чего ваша задача образовалась? Что за простой случай?

0

Вобщем так оно и есть. Одно уравнение с двумя функциями, только для одной из них найдено решение в неявном виде.
Что касается источника задачи, то я должен повториться, то она приведена в полном виде. Здесь и описан этот "простой" случай, который отличается тем, что коэффициенты постоянны, а в "сложном" случае они -тоже функции. И еще из-под корня убраны слагаемые. Задача получена из уравнения Бернулли для струйного течения. Буду писать подробнее - боюсь снова всех запутать.

0

Сообщение от Igor Roman1, y'-g(x)y=h(x) - линейное. Решение представляется в виде y=f(x).

Идея! если K=K(y), L=L(y), то можно решить уравнение y1'=y1K(y)+L(y). т.е. получить y1(y). x(y) у вас уже есть. Если вам нужно именно y1, а не у, то можно сделать параметризацию y1(t), x(t) где в качестве параметра t взят у. Попробуйте так сделать. Быть может, у вас получится после этого записать y1(x). Даже если нет, то решение всё равно получите. Igor, +10000....000!

2

Понял, спасибо. Начинаю выводить решение. Надеюсь, надолго не пропаду.

Добавлено через 6 часов 31 минуту
Уважаемые участники этого обсуждения. Я самым глубоким образом уважаю ваши знания. С вашей помощью удалось решить эту задачу. В исходном уравнении с физической точки зрения переменная Y1 дифференцируется по х. Путем умножения обеих частей уравнения на dx/dy получил в левой части dy1/dy, в правой части dx/dy. Поскольку функция x(y) была получена, в правой части избавился от производной и получил f(y). В итоге линейной ду относительно y1 решилось. Получать функцию y1(x) необходимости, в общем, нет. Достаточно y1(y). Но чуть позже попробую.
Еще раз огромное спасибо. Вы меня очень выручили.

1