Найти решение задачи Коши для уравнения 1 порядка

@Shauna · Регистрация: 19.05.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(y'+y)=xy^2$

@Igor · 16.10.2012, 13:27

Shauna, это уравнение Бернулли.

@cmath · 16.10.2012, 20:12

а где начальное условие у задачи?

vetvet · 16.10.2012, 20:33

Не по теме:

Сообщение от Hydrogen

а где начальное условие у задачи?

Я не брала :pardon:

@cmath · 17.10.2012, 08:33

Сообщение от vetvet

Я не брала

@Shauna · 17.10.2012, 13:51 **[ТС]**

2(y'+y)=xy² , y(0)=2

@sova_f · 17.10.2012, 14:06

Это уравнение Бернулли. Заменой z=1/y сводим к линейному неоднородному, решаем сначала однородное, потом находим частное решение неоднородного, их складываем, подставляем x=0 и y=2, чтобы найти константу. Все это ответ.

@cmath · 17.10.2012, 16:02

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y^'}{y^2}+\frac{1}{y}=\frac{x}{2}\\u=\frac{1}{y}\;\;\;\;u^'=\frac{y^'}{y^2}\\u^'+u=\frac{x}{2}\\u=ab\;\;\;u^'=a^'b+ab^'\\a^'b+ab^'+ab=\frac{x}{2}\\b(a^'+a)+b^'a=\frac{x}{2}\\\frac{da}{a}=-dx\Rightarrow a=e^{-x}\\b^'=\frac{xe^x}{2}\;\;\;\;b=\frac{1}{2}(xe^x-e^x+C)\;\;\;\;\;y=\frac{1}{2}(x-1+Ce^{-x})\;\;\;y(0)=\frac{1}{2}(0-1+Ce^{0})=\frac{C-1}{2}\Rightarrow C=5\\y(x)=\frac{1}{2}(x-1+5e^{-x})$

Сообщение от sova_f

сводим к линейному неоднородному, решаем сначала однородное, потом находим частное решение неоднородного, их складываем, подставляем x=0 и y=2, чтобы найти константу

Это зачем? Жизнь усложнять?

@sova_f · 17.10.2012, 16:36

Это общее правило нахождения решения неоднородного линейного уравнения. Ищем общее решение однородного, прибавляем частное неоднородного и это есть решение неоднородного. А Вас опечаточка вкралась. u'=-y'/y²
Не смертельно, но надо исправить

@cmath · 17.10.2012, 16:50

Сообщение от sova_f

Это общее правило нахождения решения неоднородного линейного уравнения. Ищем общее решение однородного, прибавляем частное неоднородного и это есть решение неоднородного.

Угу. Но линейное уравнение первого порядка можно интегрировать в квадратурах. Использовать общий метод здесь - зря усложнять себе жизнь.

Сообщение от sova_f

А Вас опечаточка вкралась.

Не опечатка - ошибка. Но исправлять не буду. Пускай ТС этим займётся. Метод решения линейного уравнения я изложил (метод Бернулли), дальше сделает по образцу.

@sova_f · 17.10.2012, 17:03

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y'}{{y}^{2}}+\frac{1}{y}=\frac{x}{2} z=\frac{1}{y},z'=\frac{-y'}{{y}^{2}} -z'+z=\frac{x}{2}$
Решаем линейное однородное уравнение первого порядка:
-z'+z=0
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dz}{dx}=z \frac{dz}{z}=dx => z=C{e}^{x}$
Т.о., $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{1}{z}=C{e}^{-x}$
Методом вариации постоянной находим частное решение неоднородного ур-я:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C(x)*{e}^{-x}; y'=C'{e}^{-x}-C{e}^{-x}$
Подставляем в исходное (данное в задании ур-е), получим после сокращения подобных членов
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'{e}^{-x}=\frac{1}{2}x{C}^{2}{e}^{-2x} C'=\frac{1}{2}x{C}^{2}{e}^{-x} \frac{dC}{{C}^{2}}=\frac{x{e}^{-x}}{2}dx => C(x)=\frac{2{e}^{x}}{x+1}+c y=(\frac{2{e}^{x}}{x+1}+c){e}^{-x}=\frac{2}{x+1}+c{e}^{-x}$ - общее решение исходного уравнения. Из условия y(0)=2 находим, что с=0
Искомое частное решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{2}{x+1}$

Добавлено через 3 минуты
Не сильно сложнее, а человек поймет что делать, когда дойдут до второго порядка. Ваш способ тоже полезно узнать.

@cmath · 17.10.2012, 17:29

Сообщение от sova_f

Ваш способ тоже полезно узнать

Способ не мой, его придумал Д.Бернулли лет эдак 280-290 назад.

Добавлено через 15 минут
P.S. "Вашим" методом уравнение, например, y'+cos(x)y=tg(x) решить уже тяжелее значительно

@sova_f · 17.10.2012, 18:52

А в этом случае частное решение по-другому ищется - проще. Но это оффтоп. Когда спросят - решим

vetvet · 17.10.2012, 21:27

Shauna, вам религия не позволила дописать начальные условия в старой теме?

@sova_f 301 / 214 / 7 Регистрация: 16.10.2012 Сообщений: 485
	17.10.2012, 17:03	11
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y'}{{y}^{2}}+\frac{1}{y}=\frac{x}{2}<br /> z=\frac{1}{y},z'=\frac{-y'}{{y}^{2}}<br /> -z'+z=\frac{x}{2}$ Решаем линейное однородное уравнение первого порядка: -z'+z=0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dz}{dx}=z<br /> \frac{dz}{z}=dx => z=C{e}^{x}$ Т.о., $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{1}{z}=C{e}^{-x}$ Методом вариации постоянной находим частное решение неоднородного ур-я: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C(x){e}^{-x}; y'=C'{e}^{-x}-C{e}^{-x}$ Подставляем в исходное (данное в задании ур-е), получим после сокращения подобных членов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'{e}^{-x}=\frac{1}{2}x{C}^{2}{e}^{-2x}<br /> C'=\frac{1}{2}x{C}^{2}{e}^{-x}<br /> \frac{dC}{{C}^{2}}=\frac{x{e}^{-x}}{2}dx => C(x)=\frac{2{e}^{x}}{x+1}+c<br /> y=(\frac{2{e}^{x}}{x+1}+c){e}^{-x}=\frac{2}{x+1}+c{e}^{-x}$ - общее решение исходного уравнения. Из условия y(0)=2 находим, что с=0 Искомое частное решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{2}{x+1}$ Добавлено через 3 минуты* Не сильно сложнее, а человек поймет что делать, когда дойдут до второго порядка. Ваш способ тоже полезно узнать. 0

@Shauna 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.05.2012 Сообщений: 59
		1
	Найти решение задачи Коши для уравнения 1 порядка 16.10.2012, 11:42. Показов 2399. Ответов 13 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(y'+y)=xy^2$ 0

@Igor 4651 / 3403 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	16.10.2012, 13:27	2
	Shauna, это уравнение Бернулли. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	16.10.2012, 20:12	3
	а где начальное условие у задачи? 0

vetvet
	16.10.2012, 20:33 #4
	Не по теме: Сообщение от Hydrogen а где начальное условие у задачи? Я не брала :pardon: 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.10.2012, 08:33	5
	Сообщение от vetvet Я не брала 0

@Shauna 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.05.2012 Сообщений: 59
	17.10.2012, 13:51 [ТС]	6
	2(y'+y)=xy² , y(0)=2 0

@sova_f 301 / 214 / 7 Регистрация: 16.10.2012 Сообщений: 485
	17.10.2012, 14:06	7
	Это уравнение Бернулли. Заменой z=1/y сводим к линейному неоднородному, решаем сначала однородное, потом находим частное решение неоднородного, их складываем, подставляем x=0 и y=2, чтобы найти константу. Все это ответ. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.10.2012, 16:02	8
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y^'}{y^2}+\frac{1}{y}=\frac{x}{2}\\u=\frac{1}{y}\;\;\;\;u^'=\frac{y^'}{y^2}\\u^'+u=\frac{x}{2}\\u=ab\;\;\;u^'=a^'b+ab^'\\a^'b+ab^'+ab=\frac{x}{2}\\b(a^'+a)+b^'a=\frac{x}{2}\\\frac{da}{a}=-dx\Rightarrow a=e^{-x}\\b^'=\frac{xe^x}{2}\;\;\;\;b=\frac{1}{2}(xe^x-e^x+C)\;\;\;\;\;y=\frac{1}{2}(x-1+Ce^{-x})\;\;\;y(0)=\frac{1}{2}(0-1+Ce^{0})=\frac{C-1}{2}\Rightarrow C=5\\y(x)=\frac{1}{2}(x-1+5e^{-x})$ Сообщение от sova_f сводим к линейному неоднородному, решаем сначала однородное, потом находим частное решение неоднородного, их складываем, подставляем x=0 и y=2, чтобы найти константу Это зачем? Жизнь усложнять? 0

@sova_f 301 / 214 / 7 Регистрация: 16.10.2012 Сообщений: 485
	17.10.2012, 16:36	9
	Это общее правило нахождения решения неоднородного линейного уравнения. Ищем общее решение однородного, прибавляем частное неоднородного и это есть решение неоднородного. А Вас опечаточка вкралась. u'=-y'/y² Не смертельно, но надо исправить 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.10.2012, 16:50	10
	Сообщение от sova_f Это общее правило нахождения решения неоднородного линейного уравнения. Ищем общее решение однородного, прибавляем частное неоднородного и это есть решение неоднородного. Угу. Но линейное уравнение первого порядка можно интегрировать в квадратурах. Использовать общий метод здесь - зря усложнять себе жизнь. Сообщение от sova_f А Вас опечаточка вкралась. Не опечатка - ошибка. Но исправлять не буду. Пускай ТС этим займётся. Метод решения линейного уравнения я изложил (метод Бернулли), дальше сделает по образцу. 1

Опции темы

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.10.2012, 17:29	12
	Сообщение от sova_f Ваш способ тоже полезно узнать Способ не мой, его придумал Д.Бернулли лет эдак 280-290 назад. Добавлено через 15 минут P.S. "Вашим" методом уравнение, например, y'+cos(x)y=tg(x) решить уже тяжелее значительно 0

@sova_f 301 / 214 / 7 Регистрация: 16.10.2012 Сообщений: 485
	17.10.2012, 18:52	13
	А в этом случае частное решение по-другому ищется - проще. Но это оффтоп. Когда спросят - решим 0

vetvet Змеюка одышечная 9863 / 4593 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	17.10.2012, 21:27	14
	Shauna, вам религия не позволила дописать начальные условия в старой теме? 0