0 / 0 / 0
Регистрация: 19.05.2012
Сообщений: 59
1

Найти решение задачи Коши для уравнения 1 порядка

16.10.2012, 11:42. Показов 2494. Ответов 13
Метки нет (Все метки)

Author24 — интернет-сервис помощи студентам
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(y'+y)=xy^2
0
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
16.10.2012, 11:42
Ответы с готовыми решениями:

Найти решение задачи Коши уравнения 2 порядка.
y''-2y'-3=(x+1){e}^{2x} y(0)=5,\ y'(0)=1

Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения первого порядка
1)Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения первого порядка (1+e^x)y'=ye^x y(0)=1 ...

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка
решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка y''+4y'+4y=32xe^2x, y(0)=-1,...

найти решение задачи коши для линейного уравнения
y'+\frac{x+y+2}{x+1}=\frac{x}{2}, y(0)=\frac{2}{3} Добавлено через 26 секунд найти решение...

13
4654 / 3406 / 361
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,205
Записей в блоге: 2
16.10.2012, 13:27 2
Shauna, это уравнение Бернулли.
0
2525 / 1751 / 152
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,349
16.10.2012, 20:12 3
а где начальное условие у задачи?
0
vetvet
16.10.2012, 20:33
  #4

Не по теме:

Цитата Сообщение от Hydrogen Посмотреть сообщение
а где начальное условие у задачи?
Я не брала :pardon:

0
2525 / 1751 / 152
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,349
17.10.2012, 08:33 5
Цитата Сообщение от vetvet Посмотреть сообщение
Я не брала
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 19.05.2012
Сообщений: 59
17.10.2012, 13:51  [ТС] 6
2(y'+y)=xy2 , y(0)=2
0
301 / 214 / 7
Регистрация: 16.10.2012
Сообщений: 485
17.10.2012, 14:06 7
Это уравнение Бернулли. Заменой z=1/y сводим к линейному неоднородному, решаем сначала однородное, потом находим частное решение неоднородного, их складываем, подставляем x=0 и y=2, чтобы найти константу. Все это ответ.
0
2525 / 1751 / 152
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,349
17.10.2012, 16:02 8
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y^'}{y^2}+\frac{1}{y}=\frac{x}{2}\\u=\frac{1}{y}\;\;\;\;u^'=\frac{y^'}{y^2}\\u^'+u=\frac{x}{2}\\u=ab\;\;\;u^'=a^'b+ab^'\\a^'b+ab^'+ab=\frac{x}{2}\\b(a^'+a)+b^'a=\frac{x}{2}\\\frac{da}{a}=-dx\Rightarrow a=e^{-x}\\b^'=\frac{xe^x}{2}\;\;\;\;b=\frac{1}{2}(xe^x-e^x+C)\;\;\;\;\;y=\frac{1}{2}(x-1+Ce^{-x})\;\;\;y(0)=\frac{1}{2}(0-1+Ce^{0})=\frac{C-1}{2}\Rightarrow C=5\\y(x)=\frac{1}{2}(x-1+5e^{-x})
Цитата Сообщение от sova_f Посмотреть сообщение
сводим к линейному неоднородному, решаем сначала однородное, потом находим частное решение неоднородного, их складываем, подставляем x=0 и y=2, чтобы найти константу
Это зачем? Жизнь усложнять?
0
301 / 214 / 7
Регистрация: 16.10.2012
Сообщений: 485
17.10.2012, 16:36 9
Это общее правило нахождения решения неоднородного линейного уравнения. Ищем общее решение однородного, прибавляем частное неоднородного и это есть решение неоднородного. А Вас опечаточка вкралась. u'=-y'/y2
Не смертельно, но надо исправить
0
2525 / 1751 / 152
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,349
17.10.2012, 16:50 10
Цитата Сообщение от sova_f Посмотреть сообщение
Это общее правило нахождения решения неоднородного линейного уравнения. Ищем общее решение однородного, прибавляем частное неоднородного и это есть решение неоднородного.
Угу. Но линейное уравнение первого порядка можно интегрировать в квадратурах. Использовать общий метод здесь - зря усложнять себе жизнь.
Цитата Сообщение от sova_f Посмотреть сообщение
А Вас опечаточка вкралась.
Не опечатка - ошибка. Но исправлять не буду. Пускай ТС этим займётся. Метод решения линейного уравнения я изложил (метод Бернулли), дальше сделает по образцу.
1
301 / 214 / 7
Регистрация: 16.10.2012
Сообщений: 485
17.10.2012, 17:03 11
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y'}{{y}^{2}}+\frac{1}{y}=\frac{x}{2}<br />
z=\frac{1}{y},z'=\frac{-y'}{{y}^{2}}<br />
-z'+z=\frac{x}{2}
Решаем линейное однородное уравнение первого порядка:
-z'+z=0
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dz}{dx}=z<br />
\frac{dz}{z}=dx  => z=C{e}^{x}
Т.о., https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{1}{z}=C{e}^{-x}
Методом вариации постоянной находим частное решение неоднородного ур-я:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C(x)*{e}^{-x}; y'=C'{e}^{-x}-C{e}^{-x}
Подставляем в исходное (данное в задании ур-е), получим после сокращения подобных членов
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'{e}^{-x}=\frac{1}{2}x{C}^{2}{e}^{-2x}<br />
C'=\frac{1}{2}x{C}^{2}{e}^{-x}<br />
\frac{dC}{{C}^{2}}=\frac{x{e}^{-x}}{2}dx  => C(x)=\frac{2{e}^{x}}{x+1}+c<br />
y=(\frac{2{e}^{x}}{x+1}+c){e}^{-x}=\frac{2}{x+1}+c{e}^{-x} - общее решение исходного уравнения. Из условия y(0)=2 находим, что с=0
Искомое частное решение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{2}{x+1}

Добавлено через 3 минуты
Не сильно сложнее, а человек поймет что делать, когда дойдут до второго порядка. Ваш способ тоже полезно узнать.
0
2525 / 1751 / 152
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,349
17.10.2012, 17:29 12
Цитата Сообщение от sova_f Посмотреть сообщение
Ваш способ тоже полезно узнать
Способ не мой, его придумал Д.Бернулли лет эдак 280-290 назад.

Добавлено через 15 минут
P.S. "Вашим" методом уравнение, например, y'+cos(x)y=tg(x) решить уже тяжелее значительно
0
301 / 214 / 7
Регистрация: 16.10.2012
Сообщений: 485
17.10.2012, 18:52 13
А в этом случае частное решение по-другому ищется - проще. Но это оффтоп. Когда спросят - решим
0
Змеюка одышечная
9864 / 4595 / 178
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,556
17.10.2012, 21:27 14
Shauna, вам религия не позволила дописать начальные условия в старой теме?
0
17.10.2012, 21:27
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
17.10.2012, 21:27
Помогаю со студенческими работами здесь

Найти решение задачи Коши для уравнения с разделяющими переменными
Пожалуйста, помогите! Я ТП в этих ДУ, а надо решить. Кто может помочь распишите плиз))) 2) найти...

Найти решение уравнения, изоклинную и интегральную кривые, решение задачи Коши
Помогите пожалуйста! а) Найти решение вида: x=a,y=b,y=kx+b y'=\frac{y^2-4}{xy},\\ y'=x-y+2 б)...

Решение задачи Коши для гиперболического уравнения
Добрый день! Помогите пожалуйста решить задачу. Учусь на дизайнера, так что в математике не сильна(...

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения высшего порядка
Здравствуйте. Подскажите пожалуйста теорему и задачу (или ссылки на них): 1)Теорема существования...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
14
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2024, CyberForum.ru