Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача коши

@Lawlliet · Регистрация: 25.03.2010

1.Мне это диф уравнение показалось очень странным, помогите с решением пожалуйста:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(y'')}^{2}={(y')}^{2}+1, y=p(1)$

2.И с этим разобраться не смог
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left(1+x \right)}^{2}y''+2xy'=0, y(0)=2,y'(0)=3;$
Получаеться тут заменой y'=p(x), y''=p' я свел уравнение к однородному
далее p=xu,p'=u'x+u
разделил переменные и дальше проблема..
Помогите с решением пожалуйста

@cmath · 22.10.2012, 06:46

Сообщение от Lawlliet

1.Мне это диф уравнение показалось очень странным, помогите с решением пожалуйста:

Лично мне здесь кажется странным начальное условие задачи.
Исходное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y'=p:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^'=\sqrt{p^2+1}\Leftrightarrow \frac{dp}{\sqrt{p^2+1}}=dx$

Сообщение от Lawlliet

2.И с этим разобраться не смог

Это приводится к уравнению с разделяющимися переменными вашей заменой:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^'+\frac{2x}{1+x^2}p=0\\p^'=-\frac{2x}{1+x^2}p\Rightarrow \frac{dp}{p}=-\frac{2xdx}{1+x^2}\\\ln |p|=\ln \frac{C}{(1+x^2)}$
Кроме того, вы можете здесь посмотреть, в каком случае уравнение является однородным и как его решать.
Кроме этого, вы можете посмотреть ссылки внизу страницы.

@Lawlliet · 22.10.2012, 08:17 **[ТС]**

Сообщение от Hydrogen

Лично мне здесь кажется странным начальное условие задачи.
Исходное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y'=p:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^'=\sqrt{p^2+1}\Leftrightarrow \frac{dp}{\sqrt{p^2+1}}=dx$

это я понял, спасибо, но если вычислять интеграл то получиться
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ln|p+\sqrt{{p}^{2}+1}|=x+C$

если сделать потом обратную замену, то получаетсься как то не очень красиво.. не понимаю

Добавлено через 28 минут
а со вторым я разобрался.

но появилось еще одно которое не могу довести до конца
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''+4y=ctg2x$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{OH}={y}_{oo}+{y}_{cn}$

решил уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2}+4=0$
получил:
{y}_{oo}={C}_{1}cos2x+{C}_{2}sin2x

т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=2i={k}_{1} , {k}_{2}$

то часное решение будет равно
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(Acos2x+Bsin2x)$

далее нужно найти первую и вторую производные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{cn}$

дальше не могу решить

@cmath · 22.10.2012, 09:09

Сообщение от Lawlliet

если сделать потом обратную замену, то получаетсься как то не очень красиво.. не понимаю

Можно и не делать обратной замены. y'=p => dy = pdx.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dx=\frac{dp}{\sqrt{p^2+1}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dy=\frac{pdp}{\sqrt{p^2+1}}$
т.е. можно получить y=y(p) & x=x(p), а x(p) уже есть.

Сообщение от Lawlliet

то часное решение будет равно

Это еще почему? правая часть f(x)=ctg(2x), ищите частное решение методом вариации произвольных постоянных.

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от Hydrogen

т.е. можно получить y=y(p) & x=x(p),

Кст, можно найти x(y)

@Lawlliet 2 / 2 / 0 Регистрация: 25.03.2010 Сообщений: 145
		1
	Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача коши 22.10.2012, 05:18. Просмотров 1450. Ответов 3 Метки нет (Все метки) 1.Мне это диф уравнение показалось очень странным, помогите с решением пожалуйста: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(y'')}^{2}={(y')}^{2}+1, y=p(1)$ 2.И с этим разобраться не смог $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left(1+x \right)}^{2}y''+2xy'=0, y(0)=2,y'(0)=3;$ Получаеться тут заменой y'=p(x), y''=p' я свел уравнение к однородному далее p=xu,p'=u'x+u разделил переменные и дальше проблема.. Помогите с решением пожалуйста 0

@cmath 2521 / 1747 / 151 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,350
	22.10.2012, 06:46	2
	Сообщение от Lawlliet 1.Мне это диф уравнение показалось очень странным, помогите с решением пожалуйста: Лично мне здесь кажется странным начальное условие задачи. Исходное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y'=p: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^'=\sqrt{p^2+1}\Leftrightarrow \frac{dp}{\sqrt{p^2+1}}=dx$ Сообщение от Lawlliet 2.И с этим разобраться не смог Это приводится к уравнению с разделяющимися переменными вашей заменой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^'+\frac{2x}{1+x^2}p=0\\p^'=-\frac{2x}{1+x^2}p\Rightarrow \frac{dp}{p}=-\frac{2xdx}{1+x^2}\\\ln \|p\|=\ln \frac{C}{(1+x^2)}$ Кроме того, вы можете здесь посмотреть, в каком случае уравнение является однородным и как его решать. Кроме этого, вы можете посмотреть ссылки внизу страницы. 1

@Lawlliet 2 / 2 / 0 Регистрация: 25.03.2010 Сообщений: 145
	22.10.2012, 08:17 [ТС]	3
	Сообщение от Hydrogen Лично мне здесь кажется странным начальное условие задачи. Исходное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y'=p: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^'=\sqrt{p^2+1}\Leftrightarrow \frac{dp}{\sqrt{p^2+1}}=dx$ это я понял, спасибо, но если вычислять интеграл то получиться $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ln\|p+\sqrt{{p}^{2}+1}\|=x+C$ если сделать потом обратную замену, то получаетсься как то не очень красиво.. не понимаю Добавлено через 28 минут а со вторым я разобрался. но появилось еще одно которое не могу довести до конца $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''+4y=ctg2x$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{OH}={y}_{oo}+{y}_{cn}$ решил уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2}+4=0$ получил: {y}_{oo}={C}_{1}cos2x+{C}_{2}sin2x т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=2i={k}_{1} , {k}_{2}$ то часное решение будет равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(Acos2x+Bsin2x)$ далее нужно найти первую и вторую производные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{cn}$ дальше не могу решить 0

@cmath 2521 / 1747 / 151 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,350
	22.10.2012, 09:09	4
	Сообщение от Lawlliet если сделать потом обратную замену, то получаетсься как то не очень красиво.. не понимаю Можно и не делать обратной замены. y'=p => dy = pdx. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dx=\frac{dp}{\sqrt{p^2+1}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dy=\frac{pdp}{\sqrt{p^2+1}}$ т.е. можно получить y=y(p) & x=x(p), а x(p) уже есть. Сообщение от Lawlliet то часное решение будет равно Это еще почему? правая часть f(x)=ctg(2x), ищите частное решение методом вариации произвольных постоянных. Добавлено через 1 минуту Сообщение от Hydrogen т.е. можно получить y=y(p) & x=x(p), Кст, можно найти x(y) 1

Опции темы