Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Дифференциальные уравнения
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.56/9: Рейтинг темы: голосов - 9, средняя оценка - 4.56
249 / 231 / 46
Регистрация: 05.02.2010
Сообщений: 3,288
1

Метод Фурье для волнового уравнения

15.05.2013, 16:59. Показов 1779. Ответов 6
Метки нет (Все метки)

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U_{tt}=64U_{xx}<br />
U(x,0) = 0,<br />
U_t(x,0) = 8\pi sin{\pi x},<br />
U(0,t) = 0,<br />
U(6,t) = 0<br />
a = 8, l =6<br />
Решение ищем в виде:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
U_n(x,t)=X_n(x)*T_n(t)<br />
1) Для X(x):
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
X''(x) +\lambda X(x) = 0<br />
X = C_1\cdot cos{\sqrt{\lambda}x}+C_2\cdot sin{\sqrt{\lambda}x}<br />
X(0) = C_1 = 0<br />
X(6) = C_2\cdot sin{6\sqrt{\lambda}}<br />
C_2 \neq 0<br />
sin{6\sqrt{\lambda}} = 0, 6\sqrt{\lambda}=\pi n<br />
\lambda_n = {(\frac{\pi n}{6})}^{2}<br />
X_n(x) = sin{\frac{\pi n x}{6}}<br />
2) Для T(t):
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
T''(t)+64\lambda T(t)=0, \lambda = {(\frac{\pi n}{6})}^{2}<br />
T = A_n cos({(\frac{8\pi n t}{6})}) + B_n sin({(\frac{8\pi n t}{6})})<br />
T(0) = A_n = 0<br />
B_n = \frac{12}{\pi n^2}\int_{0}^{6}sin{\frac{\pi n x}{6}} *  sin{\pi x} dx = 0 ?<br />
Тогда T(t) = 0
Ничего не пойму как дальше?
0
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
15.05.2013, 16:59
Ответы с готовыми решениями:

Первая смешанная задача для волнового уравнения на отрезке (задача о колебаниях ограниченной струны) методом Фурье
Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке (задача о колебаниях ограниченной...

Задача Коши для волнового уравнения
Вот такая задачка, помоги пожалуйста.

Первая смешання задача для волнового уравнения на отрезке
Помогите, буду очень благодарен.

Первая смешанная задача для волнового уравнения на отрезке
возможно, кто-то сможет помочь с этим? к сожалению, от лектора мало что поняла ._.

6
137 / 137 / 21
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 291
15.05.2013, 18:26 2
Добрый день! все решение не проверяла, но, как минимум, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{B}_{n} при https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=6
будет равно не нулю, а трем. Все остальные https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{B}_{n} при этом все-таки равны нулю.
1
249 / 231 / 46
Регистрация: 05.02.2010
Сообщений: 3,288
15.05.2013, 18:45  [ТС] 3
jannne, как у Вас получилось такое значение ? n подставлять нужно после вычисления интеграла или до:?
0
137 / 137 / 21
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 291
15.05.2013, 18:49 4
До вычисления. Подставляете, синус в квадрате раскладываете по формуле двойного угла https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sin}^{2}(\pi x)=\frac{1-cos(2\pi x)}{2} и далее интегрируете, думаю, уже без проблем. Удачи!
1
249 / 231 / 46
Регистрация: 05.02.2010
Сообщений: 3,288
16.05.2013, 21:08  [ТС] 5
jannne, Каким способом подбирать https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n ?
0
137 / 137 / 21
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 291
18.05.2013, 16:13 6
Тут нужно вспомнить, что система функций https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sinx, sin2x, ..., sinNx, ...} представляет собой ортогональный базис, то есть https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }sinNx*sinMxdx=0 если https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N\neq M
В этом несложно убедиться, взяв интеграл, для чего нужно от произведения синусов перейти к разности косинусов по известной формуле триганометрии
1
249 / 231 / 46
Регистрация: 05.02.2010
Сообщений: 3,288
18.05.2013, 17:21  [ТС] 7
jannne, Большое спасибо за помощь !
0
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
18.05.2013, 17:21

Вывод формулы Даламбера для волнового уравнения, общий случай!
Помогите сделать вывод формулы Даламбера в случае когда задача коши имеет следующий вид:фото...

Решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье
Помогите с решением:cry: Задание такое: Решить смешанной задачи для уравнения колебаний струны...

Метод разделения переменных.Метод Фурье
{u}_{xx}={u}_{tt};u(x,0)=sin(\frac{\pi x}{l});{u}_{t}(x,0)=sin(\frac{3\pi x}{l});u(0,t)=0;u(l,t)=0...

Построить функцию Грина для задачи Дирихле для уравнения Лапласа
\begin{cases} &amp; \Delta U = 0; \ {(x,y)\epsilon R;\ \0&lt;y&lt;1,\ x\epsilon R} \\ &amp; {U\mid }_{dD} = g(x)...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
7
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.