Метод Фурье для волнового уравнения

@m1Rr0r · Регистрация: 05.02.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U_{tt}=64U_{xx} U(x,0) = 0, U_t(x,0) = 8\pi sin{\pi x}, U(0,t) = 0, U(6,t) = 0 a = 8, l =6 $
Решение ищем в виде:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? U_n(x,t)=X_n(x)*T_n(t) $
1) Для X(x):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? X''(x) +\lambda X(x) = 0 X = C_1\cdot cos{\sqrt{\lambda}x}+C_2\cdot sin{\sqrt{\lambda}x} X(0) = C_1 = 0 X(6) = C_2\cdot sin{6\sqrt{\lambda}} C_2 \neq 0 sin{6\sqrt{\lambda}} = 0, 6\sqrt{\lambda}=\pi n \lambda_n = {(\frac{\pi n}{6})}^{2} X_n(x) = sin{\frac{\pi n x}{6}} $
2) Для T(t):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? T''(t)+64\lambda T(t)=0, \lambda = {(\frac{\pi n}{6})}^{2} T = A_n cos({(\frac{8\pi n t}{6})}) + B_n sin({(\frac{8\pi n t}{6})}) T(0) = A_n = 0 B_n = \frac{12}{\pi n^2}\int_{0}^{6}sin{\frac{\pi n x}{6}} * sin{\pi x} dx = 0 ? $
Тогда T(t) = 0
Ничего не пойму как дальше?

@jannne · 15.05.2013, 18:26

Добрый день! все решение не проверяла, но, как минимум, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{B}_{n}$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=6$
будет равно не нулю, а трем. Все остальные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{B}_{n}$ при этом все-таки равны нулю.

@m1Rr0r · 15.05.2013, 18:45 **[ТС]**

jannne, как у Вас получилось такое значение ? n подставлять нужно после вычисления интеграла или до:?

@jannne · 15.05.2013, 18:49

До вычисления. Подставляете, синус в квадрате раскладываете по формуле двойного угла $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sin}^{2}(\pi x)=\frac{1-cos(2\pi x)}{2}$ и далее интегрируете, думаю, уже без проблем. Удачи!

@m1Rr0r · 16.05.2013, 21:08 **[ТС]**

jannne, Каким способом подбирать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ ?

@jannne · 18.05.2013, 16:13

Тут нужно вспомнить, что система функций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sinx, sin2x, ..., sinNx, ...}$ представляет собой ортогональный базис, то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }sinNx*sinMxdx=0$ если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N\neq M$
В этом несложно убедиться, взяв интеграл, для чего нужно от произведения синусов перейти к разности косинусов по известной формуле триганометрии

@m1Rr0r · 18.05.2013, 17:21 **[ТС]**

jannne, Большое спасибо за помощь !

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@m1Rr0r 250 / 232 / 46 Регистрация: 05.02.2010 Сообщений: 3,288

	Метод Фурье для волнового уравнения 15.05.2013, 16:59. Показов 3374. Ответов 6 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U_{tt}=64U_{xx}<br /> U(x,0) = 0,<br /> U_t(x,0) = 8\pi sin{\pi x},<br /> U(0,t) = 0,<br /> U(6,t) = 0<br /> a = 8, l =6<br />$ Решение ищем в виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> U_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)<br />$ 1) Для X(x): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> X''(x) +\lambda X(x) = 0<br /> X = C_1\cdot cos{\sqrt{\lambda}x}+C_2\cdot sin{\sqrt{\lambda}x}<br /> X(0) = C_1 = 0<br /> X(6) = C_2\cdot sin{6\sqrt{\lambda}}<br /> C_2 \neq 0<br /> sin{6\sqrt{\lambda}} = 0, 6\sqrt{\lambda}=\pi n<br /> \lambda_n = {(\frac{\pi n}{6})}^{2}<br /> X_n(x) = sin{\frac{\pi n x}{6}}<br />$ 2) Для T(t): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> T''(t)+64\lambda T(t)=0, \lambda = {(\frac{\pi n}{6})}^{2}<br /> T = A_n cos({(\frac{8\pi n t}{6})}) + B_n sin({(\frac{8\pi n t}{6})})<br /> T(0) = A_n = 0<br /> B_n = \frac{12}{\pi n^2}\int_{0}^{6}sin{\frac{\pi n x}{6}} sin{\pi x} dx = 0 ?<br />$ Тогда T(t) = 0 Ничего не пойму как дальше? 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296
	15.05.2013, 18:26
	Добрый день! все решение не проверяла, но, как минимум, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{B}_{n}$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=6$ будет равно не нулю, а трем. Все остальные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{B}_{n}$ при этом все-таки равны нулю. 1

@m1Rr0r 250 / 232 / 46 Регистрация: 05.02.2010 Сообщений: 3,288
	15.05.2013, 18:45 [ТС]
	jannne, как у Вас получилось такое значение ? n подставлять нужно после вычисления интеграла или до:? 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296
	15.05.2013, 18:49
	До вычисления. Подставляете, синус в квадрате раскладываете по формуле двойного угла $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sin}^{2}(\pi x)=\frac{1-cos(2\pi x)}{2}$ и далее интегрируете, думаю, уже без проблем. Удачи! 1

@m1Rr0r 250 / 232 / 46 Регистрация: 05.02.2010 Сообщений: 3,288
	16.05.2013, 21:08 [ТС]
	jannne, Каким способом подбирать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ ? 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296
	18.05.2013, 16:13
	Тут нужно вспомнить, что система функций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sinx, sin2x, ..., sinNx, ...}$ представляет собой ортогональный базис, то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }sinNx*sinMxdx=0$ если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N\neq M$ В этом несложно убедиться, взяв интеграл, для чего нужно от произведения синусов перейти к разности косинусов по известной формуле триганометрии 1

@m1Rr0r 250 / 232 / 46 Регистрация: 05.02.2010 Сообщений: 3,288
	18.05.2013, 17:21 [ТС]
	jannne, Большое спасибо за помощь ! 0