Математически записать выражения комплексной амплитуды для гармонического сигнала

@Илья007 · Регистрация: 17.10.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Мне нужно задать математически 10 различных гармонических колебаний. Различия заключаются в том, что каждый из десяти сигналов имеет свою частоту. Причём эти частоты отличаются незначительно. То есть я хочу задать одну частоту – центральную как бы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega_0$ , и задать отклонение от этой частоты в обе стороны на несколько десятков килогерц, тем самым определив минимальную частоту и максимальную. А дальше распределю частоты из получившегося диапазона равномерно между каждым из 10-ти сигналов, в итоге получу десять различных отклонений по частоте от центральной частоты: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \omega_1, \omega_2, ... \omega_{10}$ .

То есть вещественные сигналы имеют вид:

Кликните здесь для просмотра всего текста

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S_1(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_1) \cdot t ) S_2(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_2) \cdot t ) S_3(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_3) \cdot t ) S_4(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_4) \cdot t ) S_5(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_5) \cdot t ) S_6(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_6) \cdot t ) S_7(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_7) \cdot t ) S_8(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_8) \cdot t ) S_9(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_9) \cdot t ) S_{10}(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_{10}) \cdot t )$

Всё бы хорошо, но мне не нужна центральная частота сейчас. Я и не знаю чему она там равна. Меня интересует именно частоты отклонения, и далее я бы хотел производить операции с ними.
Как раз для упрощения работы с такими сигналами и придумали комплексную огибающую, где нет центральной частоты (она равна нулю). Переход от вещественного сигнала к комплексной огибающей такой:

Задан вещественный сигнал:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \phi) = Re[\dot S(t)]$

Комплексный сигнал равен:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \phi) = Re[\dot S(t)] \dot S(t) = A \cdot[\cos(\omega_0 \cdot t + \phi) + j \cdot \sin(\omega_0 \cdot t+ \phi) ] = A \cdot e^{j\phi} \cdot e^{j\omega_0 \cdot t} = \dot A \cdot e^{j\omega t}$
где комплексная огибающая равна:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\dot A = A \cdot e^{j\phi}$

Но вот здесь я не могу сообразить, в комплексной огибающей присутствует же только фаза сигнала... А мне нужно увидеть сдвижку по частоте, сдвижку по частоте относительно нуля. Подскажите, пожалуйста, как это выполнить?

Примеряя вышесказанное к своему случаю я получаю (пример для первого сигнала):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_1(t) = A \cdot \cos((\omega_0-\omega_1) \cdot t ) \dot S_1(t) = A \cdot[\cos((\omega_0-\omega_1) \cdot t ) + j \cdot \sin((\omega_0-\omega_1) \cdot t )] = A \cdot e^{j \cdot(\omega_0-\omega_1) \cdot t} = A \cdot e^{-j \cdot \omega_1 \cdot t} \cdot e^{j \cdot \omega_0 \cdot t}$

где комплексная огибающая равна:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\dot A = A \cdot e^{-j \cdot \omega_1 \cdot t}$

Но в моём случае в комплексной огибающей есть частота, а в случае из книжки - фаза сигнала. И тут я запутался...

@Илья007 5 / 5 / 1 Регистрация: 17.10.2015 Сообщений: 382
		1
	Математически записать выражения комплексной амплитуды для гармонического сигнала 26.04.2021, 14:39. Показов 703. Ответов 0 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Мне нужно задать математически 10 различных гармонических колебаний. Различия заключаются в том, что каждый из десяти сигналов имеет свою частоту. Причём эти частоты отличаются незначительно. То есть я хочу задать одну частоту – центральную как бы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega_0$ , и задать отклонение от этой частоты в обе стороны на несколько десятков килогерц, тем самым определив минимальную частоту и максимальную. А дальше распределю частоты из получившегося диапазона равномерно между каждым из 10-ти сигналов, в итоге получу десять различных отклонений по частоте от центральной частоты: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \omega_1, \omega_2, ... \omega_{10}$ . То есть вещественные сигналы имеют вид: Кликните здесь для просмотра всего текста $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> S_1(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_1) \cdot t )<br /> S_2(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_2) \cdot t )<br /> S_3(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_3) \cdot t )<br /> S_4(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_4) \cdot t ) <br /> S_5(t) = A \cdot cos((\omega_0-\omega_5) \cdot t )<br /> <br /> S_6(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_6) \cdot t )<br /> S_7(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_7) \cdot t )<br /> S_8(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_8) \cdot t )<br /> S_9(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_9) \cdot t )<br /> S_{10}(t) = A \cdot cos((\omega_0+\omega_{10}) \cdot t )$ Всё бы хорошо, но мне не нужна центральная частота сейчас. Я и не знаю чему она там равна. Меня интересует именно частоты отклонения, и далее я бы хотел производить операции с ними. Как раз для упрощения работы с такими сигналами и придумали комплексную огибающую, где нет центральной частоты (она равна нулю). Переход от вещественного сигнала к комплексной огибающей такой: Задан вещественный сигнал: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \phi) = Re[\dot S(t)]$ Комплексный сигнал равен: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \phi) = Re[\dot S(t)]<br /> \dot S(t) = A \cdot[\cos(\omega_0 \cdot t + \phi) + j \cdot \sin(\omega_0 \cdot t+ \phi) ] = A \cdot e^{j\phi} \cdot e^{j\omega_0 \cdot t} = \dot A \cdot e^{j\omega t}$ где комплексная огибающая равна: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\dot A = A \cdot e^{j\phi}$ Но вот здесь я не могу сообразить, в комплексной огибающей присутствует же только фаза сигнала... А мне нужно увидеть сдвижку по частоте, сдвижку по частоте относительно нуля. Подскажите, пожалуйста, как это выполнить? Примеряя вышесказанное к своему случаю я получаю (пример для первого сигнала): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_1(t) = A \cdot \cos((\omega_0-\omega_1) \cdot t )<br /> \dot S_1(t) = A \cdot[\cos((\omega_0-\omega_1) \cdot t ) + j \cdot \sin((\omega_0-\omega_1) \cdot t )] = <br /> A \cdot e^{j \cdot(\omega_0-\omega_1) \cdot t} = A \cdot e^{-j \cdot \omega_1 \cdot t} \cdot e^{j \cdot \omega_0 \cdot t}$ где комплексная огибающая равна: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\dot A = A \cdot e^{-j \cdot \omega_1 \cdot t}$ Но в моём случае в комплексной огибающей есть частота, а в случае из книжки - фаза сигнала. И тут я запутался... 0

	26.04.2021, 14:39