@Nemas

Всем здравствуйте, помогите, пожалуйста, с данным заданием. Очень много раз переделывала и все никак не получается выполнить. Задание: Доказать, что...

Миниатюры

 

0

@angor6

Наверное, доказательство можно построить на том, что симметрическая разность множеств A и B -- это множество, элементы которого не являются общими для множеств A и B. Если же указанные множества совпадают, то элементов, которые не являются для этих множеств общими, нет, то есть их симметрическая разность -- пустое множество...

1

@Nemas

По условию дано, что симметрическая разность есть пустое множество, но если это еще доказать, то даже лучше, наверное, будет, поэтому соглашусь с вашим мнением, но как доказать, что из этого следует A=B?

0

@angor6

Хотя бы методом "от противного".

1

@Nemas

Я пробовала, но к противоречию не получилось придти

0

@angor6

Приведите Ваши рассуждения, пожалуйста.

1

@Nemas

Не буду отрицать, что может быть неправильным)

Вложения, ожидающие проверки

Решение.jpg

0

@angor6

Не нарушайте, пожалуйста, правила форума. Набирайте текст вручную.

1

@Nemas

Решение:
Пусть A симметрическая разность B не равно пустому множеству. Тогда существует такой x принадлежащий (A симметрическая разность B), раскрываем симметрическую разность, затем раскрываю "или". Прихожу такому виду: (x принадлежит A или x не принадлежит B) или (x не принадлежит A или x принадлежит B) (*). Так как после преобразований (*) не равно пустому множеству, то есть A и B различны, однако, в случае (*) не возможно, чтобы x принадлежал A и в тоже время x не принадлежал B, а значит, A=B, что приводит к противоречию.

0

@angor6

Докажите сначала, что если симметрическая разность двух множеств является пустым множеством, то указанные два множества совпадают. Затем докажите, что если два множества совпадают, то их симметрическая разность является пустым множеством.

2

@Nemas

Хорошо, поняла. Спасибо)

0

@3D Homer

Несколько замечания о доказательстве в сообщении 9.

Надо писать: "Пусть симметрическая разность A и B не равно пустому множеству".

Вы пользуетесь неправильным определением симметрической разности. Если x ∈ A ÷ B, то (x ∈ A и x ∉ B) или (x ∉ A и x ∈ B).

Строго говоря, (*) — это утверждение про x, а не множество. Поэтому (*) не может быть пустым (и вообще никаким) множеством.

Это вам нужно доказать, а вы мимоходом вставляете это, как будто это известно (после слов "так как").

Структура предложения "Так как ..., то есть ..., однако ..." становится слишком сложной и непонятной. После слов "так как" должно идти вспомогательное утверждение, которое будет использоваться как причина истинности главного утверждения. Например, "Так как n > 2 и n четное, (имеем то, что) n не является простым". Где у вас главное утверждение? До слова "однако" есть только одно утверждение (не считая "то есть ..."), а именно, "(*) не равно пустому множеству", и непонятно, является ли оно вспомогательным (причиной) или главным.

Почему? Симметрическая разность как раз и состоит (в том числе) из таких x, а по предположению она не пуста. Также "невозможно" пишется слитно.

Я бы не использовал доказательство от противного без необходимости. Вот одно направление. Пусть A ÷ B = ∅. По определению ÷ имеем , откуда . Если , то , так как противоречило бы . Значит, . Аналогично показывается, что влечет . Значит, A = B.

3

@Nemas

Спасибо большое, что указали на ошибки в решении))

0