Мыльный пузырь наэлектризовывают до предельно возможного потенциала. Как и насколько изменится его радиус

@Утконос · Регистрация: 22.11.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Свободный мыльный пузырь наэлектризовывают до предельно возможного потенциала, ограниченного
пробивной прочностью окружающего воздуха. Как и насколько изменится его радиус?

@bobah16 · 26.02.2016, 09:09

Утконос, откуда такие задачи?

Откуда вообще взять коэффициент жесткости мыльного пузыря? И при чем тут "пробивная прочность окружающего воздуха"? Рядом что какой-то сток есть?
Если учесть, что пузырь никак не сдерживает разлет однородно зараженной сферы, тогда она будет разлетаться с ускорением eE/m, где Е - напряженность на поверхности заряженной сферы = q/r^2.

@Утконос · 26.02.2016, 10:35 **[ТС]**

bobah16, задача со студенческой олимпиады физтеха. В одной из тем я уже скинул ссылку могу и в этой при необходимости.
С вопросами по условию задачи не ко мне. Не я ее составлял

@bobah16 · 26.02.2016, 10:42

Утконос, да, олимпиадные задачи отличаются своими необычными формулировками.

Да, я забыл учесть разряжение воздуха внутри сферы в случае пузыря не пропускающего воздух. Тогда расширение будет происходить до тех пор пока сила из-за разницы давлений не уравновесит силу расширения.

@AGK · 05.03.2016, 18:09

Попытаюсь решить как умею.

Не по теме:

Не стреляйте в пианиста, он играет как умеет

Плакат в кинотеатре немого кино на диком западе

Обозначим внешнее давление p_o и, для начала, определим давление внутри пузыря без электризации, которое обозначим p₁ . Для этого мысленно разрежем мыльный пузырь по "экватору" и определим, с какой силой две половины пузыря "отталкиваются" за счет давления на его поверхность. Затем определим силу поверхностного натяжения, которая действует на протяжении экватора и не дает разлететься половинкам пузыря. Давление действует снаружи и изнутри нормально к поверхности. Чтобы найти результирующую силу, действующую на одну половину, надо взять следующий интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi/2} R^2(p_{1}-p_{o}) sin \theta cos \theta d\theta$ . Косинус пришел из якобиана, синус - из проекции элементарной силы давления на ось пузыря, перпендикулярную экваториальной плоскости. Получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? 2\pi R^2(p_{1}-p_{o})\int_{0}^{\pi/2} sin \theta d sin \theta = \pi R^2(p_{1}-p_{o})$ . Сила поверхностного натяжения равна длине экватора, помноженной на коэфиициент и на 2, поскольку у мыльной пленки две поверхности - внешняя и внутренняя: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F = 2 \cdot 2\pi R \sigma$ . Приравнивая одно другому, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{1}-p_{o}=\frac{4 \sigma}{R_{1} }$ , где R₁ - радиус исходного пузыря.
Теперь поместим на мыльный пузырь заряд q. Емкость сферы C=R, энергия заряженной сферы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?W=\frac{q^2}{2R}$ . Элементарная работа, затраченная на расширение сферы dA=Sp_edR, где p_e - давление за счет электростатического отталкивания. dA+dW=0, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? 4\pi R^2 p_{e}dR=-d(\frac{q^2}{2R})=\frac{q^2}{2R^2}dR$ , откуда следует, что электростатическое давление на поверхность заряженной сферы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? p_{e} = \frac{q^2}{8\pi R^4}$ .
Пусть теперь под действием заряда q мыльный пузырь за счет электростатического отталкивания несколько расширился и приобрел радиус R₂>R₁. Считаем, что электризация происходит медленно, то есть расширение пузыря происходит изотермически. Тогда давление внутри пузыря до расширения и после расширения связаны соотношением p₁R₁³=p₂R₂³. Напишем теперь условие баланса давлений для наэлектризованного пузыря:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{2}-p_{e}-p_{o}=\frac{4 \sigma}{R_{2} }$ , или, используя полученные ранее соотношения, получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (p_{o}+\frac{4 \sigma}{R_{1}})\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}{3}}-\frac{q^2}{8\pi R_{2}^4}=p_{o}+\frac{4 \sigma}{R_{2}}$ . Последнее соотношение позволяет определить (при большом желании) радиус мыльного пузыря, наэлектризованного зарядом q. А теперь - последний штрих. Сообщим такой заряд, чтобы напряженность электрического поля на границе мыльного пузыря была равна пробойной напряженности E_o, то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? E_{o}=\frac{q^2}{R_{2}^{2}}$ . С использованием последнего соотношения связь между начальным и конечным радиусом приобретет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (p_{o}+\frac{4 \sigma}{R_{1}})\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}{3}}=p_{o}+\frac{E_{o}^{2}}{8\pi}+\frac{4 \sigma}{R_{2}}$
или
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{o}R_{1}^{3} +4 \sigma R_{1}^{2}= (p_{o}+\frac{E_{o}^{2}}{8\pi}){R_{2}^{3}+4 \sigma R_{2}^{2}$
Ну а дальше кто-нибудь, не такой ленивый как я, может найти R₂/R₁ в зависимости от разных начальных условий

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

Мыльный пузырь наэлектризовывают до предельно возможного потенциала. Как и насколько изменится его радиус

Решение

Решение

@Утконос 4 / 5 / 0 Регистрация: 22.11.2015 Сообщений: 143

	Мыльный пузырь наэлектризовывают до предельно возможного потенциала. Как и насколько изменится его радиус 25.02.2016, 17:33. Показов 3813. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Свободный мыльный пузырь наэлектризовывают до предельно возможного потенциала, ограниченного пробивной прочностью окружающего воздуха. Как и насколько изменится его радиус? 0

@bobah16 373 / 343 / 42 Регистрация: 14.07.2015 Сообщений: 2,890
	26.02.2016, 09:09
	Утконос, откуда такие задачи? Откуда вообще взять коэффициент жесткости мыльного пузыря? И при чем тут "пробивная прочность окружающего воздуха"? Рядом что какой-то сток есть? Если учесть, что пузырь никак не сдерживает разлет однородно зараженной сферы, тогда она будет разлетаться с ускорением eE/m, где Е - напряженность на поверхности заряженной сферы = q/r^2. 0

@Утконос 4 / 5 / 0 Регистрация: 22.11.2015 Сообщений: 143
	26.02.2016, 10:35 [ТС]
	bobah16, задача со студенческой олимпиады физтеха. В одной из тем я уже скинул ссылку могу и в этой при необходимости. С вопросами по условию задачи не ко мне. Не я ее составлял 0

@bobah16 373 / 343 / 42 Регистрация: 14.07.2015 Сообщений: 2,890
	26.02.2016, 10:42
	Сообщение было отмечено Утконос как решение Решение Утконос, да, олимпиадные задачи отличаются своими необычными формулировками. Да, я забыл учесть разряжение воздуха внутри сферы в случае пузыря не пропускающего воздух. Тогда расширение будет происходить до тех пор пока сила из-за разницы давлений не уравновесит силу расширения. 1

@AGK 765 / 666 / 194 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 2,163
	05.03.2016, 18:09
	Сообщение было отмечено Утконос как решение Решение Попытаюсь решить как умею. Не по теме: Не стреляйте в пианиста, он играет как умеет Плакат в кинотеатре немого кино на диком западе Обозначим внешнее давление p_o и, для начала, определим давление внутри пузыря без электризации, которое обозначим p₁ . Для этого мысленно разрежем мыльный пузырь по "экватору" и определим, с какой силой две половины пузыря "отталкиваются" за счет давления на его поверхность. Затем определим силу поверхностного натяжения, которая действует на протяжении экватора и не дает разлететься половинкам пузыря. Давление действует снаружи и изнутри нормально к поверхности. Чтобы найти результирующую силу, действующую на одну половину, надо взять следующий интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi/2} R^2(p_{1}-p_{o}) sin \theta cos \theta d\theta$ . Косинус пришел из якобиана, синус - из проекции элементарной силы давления на ось пузыря, перпендикулярную экваториальной плоскости. Получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? 2\pi R^2(p_{1}-p_{o})\int_{0}^{\pi/2} sin \theta d sin \theta = \pi R^2(p_{1}-p_{o})$ . Сила поверхностного натяжения равна длине экватора, помноженной на коэфиициент и на 2, поскольку у мыльной пленки две поверхности - внешняя и внутренняя: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F = 2 \cdot 2\pi R \sigma$ . Приравнивая одно другому, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{1}-p_{o}=\frac{4 \sigma}{R_{1} }$ , где R₁ - радиус исходного пузыря. Теперь поместим на мыльный пузырь заряд q. Емкость сферы C=R, энергия заряженной сферы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?W=\frac{q^2}{2R}$ . Элементарная работа, затраченная на расширение сферы dA=Sp_edR, где p_e - давление за счет электростатического отталкивания. dA+dW=0, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? 4\pi R^2 p_{e}dR=-d(\frac{q^2}{2R})=\frac{q^2}{2R^2}dR$ , откуда следует, что электростатическое давление на поверхность заряженной сферы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? p_{e} = \frac{q^2}{8\pi R^4}$ . Пусть теперь под действием заряда q мыльный пузырь за счет электростатического отталкивания несколько расширился и приобрел радиус R₂>R₁. Считаем, что электризация происходит медленно, то есть расширение пузыря происходит изотермически. Тогда давление внутри пузыря до расширения и после расширения связаны соотношением p₁R₁³=p₂R₂³. Напишем теперь условие баланса давлений для наэлектризованного пузыря: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{2}-p_{e}-p_{o}=\frac{4 \sigma}{R_{2} }$ , или, используя полученные ранее соотношения, получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (p_{o}+\frac{4 \sigma}{R_{1}})\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}{3}}-\frac{q^2}{8\pi R_{2}^4}=p_{o}+\frac{4 \sigma}{R_{2}}$ . Последнее соотношение позволяет определить (при большом желании) радиус мыльного пузыря, наэлектризованного зарядом q. А теперь - последний штрих. Сообщим такой заряд, чтобы напряженность электрического поля на границе мыльного пузыря была равна пробойной напряженности E_o, то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? E_{o}=\frac{q^2}{R_{2}^{2}}$ . С использованием последнего соотношения связь между начальным и конечным радиусом приобретет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (p_{o}+\frac{4 \sigma}{R_{1}})\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}{3}}=p_{o}+\frac{E_{o}^{2}}{8\pi}+\frac{4 \sigma}{R_{2}}$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{o}R_{1}^{3} +4 \sigma R_{1}^{2}= (p_{o}+\frac{E_{o}^{2}}{8\pi}){R_{2}^{3}+4 \sigma R_{2}^{2}$ Ну а дальше кто-нибудь, не такой ленивый как я, может найти R₂/R₁ в зависимости от разных начальных условий 1