Несколько задач по физике с конденсаторами

Конденсатор – это устройство, которое может накапливать энергию электрического поля. Простейший конденсатор – это две проводящие пластины (обкладки) площадью S, расположенных параллельно другу на некотором расстоянии d (рис 1). При подключении пластин к источнику напряжения U на одной пластине образуется заряд +Q (той, что подключена к положительному полюсу источника), а на другой заряд -Q. Важный момент – в целом конденсатор нейтрален, заряды на пластинах равны по величине и противоположны по знаку. Если написано “заряд конденсатора равен q”, то это означает, что на одной обкладке +q, а на другой обкладке –q
Замечание: исключения типа заряженного шара (вторая обкладка у него бесконечно далеко) здесь рассматривать не будем.
Итак, на пластинах заряды. А что между ними? А между ними – пустота/воздух или диэлектрик (о нем позже) и электрическое поле. Считается, что поле между пластинами постоянно по величие и направлено от положительно заряженной пластины к отрицательно заряженной. Раз векторы электрического поля одинаковы, силовые линии поля параллельны друг другу (и перпендикулярны пластинам ) и имеют одинаковую плотность. На самом деле силовые линии на краях пластин не параллельны и напряженность тоже отличается и по величине и по направлению, но для школьных задач эти краевые эффекты не учитываются. Какова напряженность поля? Раз поле постоянно и перпендикулярно пластинам, то (связь поля и напряжения). С другой стороны, поле зависит от плотности заряда на пластине и не зависит от расстояния между пластинами (опять же, если можно пренебречь краевыми эффектами, т.е. когда линейный размер пластин много больше расстояния между ними).
Умножим обе части на d:
Слева в (2) – напряжение на обкладках конденсатора, а справа – заряд, деленный на некоторую величину C, характеризующую свойства самого конденсатора (она называется емкостью конденсатора). Емкость связывает напряжение и заряд конденсатора и для плоского конденсатора рассчитывается по формуле
Мы не всегда можем посмотреть какая у конденсатора площадь пластин или какое расстояние между ним, но определить емкость можем всегда (например, по его маркировке ). Емкость – главная внешняя характеристики конденсатора, определяющая его поведение в электрических цепях.
Замечание: для реальных конденсаторов есть и другие важные параметры – полярность, максимальное напряжение, внутреннее сопротивление, но сейчас на них не будем заострять внимание.
Отсоединим конденсатор от источника напряжения, на нем по-прежнему будет заряд и напряжение Замкнем через внешнее сопротивление R на короткое время dt обкладки конденсатора. Что при этом произойдет? Пойдет ток . За время dt на сопротивлении R выделится тепловая энергия . Здесь dq-заряд, перемещенный между пластинами за время dt. Естественно, какой величины заряд переместили, на такою величину (с минусом) изменился dQ=-dq заряд пластины и выделенная энергия равна . Важно – величина энергии не зависит от величины сопротивления, а зависит только от изменения заряда. Чтобы посчитать, какая энергия выделится при полном разряде конденсатора, надо взять интеграл
Энергия конденсатора (т.е. энергия электрического поля конденсатора) связана через емкость с зарядом и напряжением на нем. Итак, с одной стороны, емкость связывает величину заряда с напряжением на конденсаторе, с другой, она связывает напряжение и заряд с энергией. Зная емкость и один из параметров (заряд, напряжение, энергия) можем вычислить все остальные. В физике напряженность поля и энергию принято обозначать одной и той же буквой Е, поэтому надо самим догадываться, что стоит в конкретной формуле (иногда помогает значок вектора, но он не всегда ставится)... А что делать, коль сущностей много, а букв так мало? Например, буква S ого-го как нагружена

Что будет если два конденсатора C1, C2 соединить параллельно (рис 3)? Представим их как один конденсатор с емкостью C. Общий заряд равен сумме зарядов конденсаторов q=q1+q2=U*C1+U*C2=U(C1+C2)=U*C, а емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме их емкостей (формула, как для последовательно соединенных сопротивлений).
Два последовательно соединенных конденсатора тоже можно рассматривать как один, но с расчетом его емкости С дело обстоит сложнее (рис 4). Пусть заряд С1 равен q1, а заряд C2 равен q2. Посмотрим на соединенные обкладки конденсаторов. На одной заряд –q1 , на другой +q2 Но до подключения к источнику заряды были нулевыми, откуда мог взяться суммарный заряд q1-q2 – ведь эти обкладки не подключены к источнику! Значит, их суммарный заряд по-прежнему нулевой и q1=q2=q. Таким образом, для объединенного конденсатора выполняется правило: заряды на обкладках равны и противоположны по знаку.
Напряжение на равно , а напряжение на равно . Суммарное напряжение равно напряжению источника, т.е. . Отсюда емкость двух последовательно соединенных конденсаторов равна . Пусть есть n последовательно соединенных конденсаторов емкостью Ck (k=1..n). Их общая емкость равна C, причем . Эта формула аналогична формуле расчета для n параллельных сопротивлений.

Теперь вернемcя к формуле расчета емкости плоского конденсатора, (сейчас важно только то, что расстояние между пластинами стоит в знаменателе. Мысленно разместим между обкладками третью пластину, на расстоянии d1 от первой пластины и d2 от второй (d1+d2=d). Такую конструкцию можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Емкость первого , емкость второго По формуле их общая емкость равна , т.е. совпадает с емкостью конденсатора до мысленного добавления третьей пластины. Получается, она никак не влияет и при необходимости можно вставить столько пластин, сколько надо.

Заполним пространство между обкладками диэлектриком (например, опустим его в воду или в спирт). Диэлектрик ток не проводит, но под действием внешнего электрического поля его молекулы поляризуются и порождают свое поле, направлении навстречу исходному и уменьшающее его (рис 2) В результате исходное поле уменьшилось в раз (е называется диэлектрической проницаемостью, ДП). А раз поле уменьшилось в раз, то из формулы следует, что во столько же раз уменьшилось и напряжение между пластинами. Из формулы следует, что емкость конденсатора увеличилась в раз. Посмотрите на формулу емкости для плоского конденсатора: стоящая в числителе и есть ДП (если пространство между обкладками заполнено диэлектриком). ДП для вакуума 1, для воздуха 1.0006 а для воды 88 при и падает до 55 при

Перейдем к практическому применению , т.е. к решению задач.
Задача 1. Конденсатор подключили к батарее, зарядили . А затем отсоединили и опустили в диэлектрик (ДП 25). Как изменилось напряжение и энергия конденсатора?
После отключения заряд был Q. При погружении он не меняется (все физика – в этом предложении, дальше только формулы). – напряжение. Раз емкость конденсатора увеличилась в 20 раз, то напряжение на нем уменьшилось в 20 раз. Из формулы следует, что энергия тоже уменьшилась в 20 раз.
Замечание. Раз энергия системы уменьшается при заполнении конденсатора диэлектриком, конденсатор при погружении стремится «всосать» спирт.

Задача 2. Из конденсатора емкости С, заряженного до напряжения U вытащили диэлектрическую пластину с ДП 10. Какую работу при этом совершили? Действуем, как в задаче 1. Раз емкость уменьшилась в 10 раз, то напряжение на конденсаторе и его энергия возросли в 10 раз. Разница между начальной и конечной энергией и есть та работа, которую совершили при вытягивании пластины. Работа

Задача 3. В конденсатор емкостью С вставили диэлектрическую пластину с ДП=3 толщиной в половину расстояния между обкладками. Как изменилась емкость конденсатора? Мысленно вставим пластину посредине и получится два последовательно соединенных конденсатора емкостью 2С. Теперь один из них заполняется диэлектриком и его емкость становится равной , а общая емкость , т.е. вырастет в 1.5 раза.

Задача 4 (более сложная). В конденсатор емкостью С вставили пластину, ДП которой линейно растет от 10 (у одной обкладки) до 20 (у другой обкладки) . Как изменилась емкость конденсатора? Представим наш конденсатор как множество последовательно соединенных конденсаторов емкостью . Тогда их общая емкость . После того, как вставили пластину, в подынтегральном выражении надо учесть ДП: . Значит, емкость увеличится в раз.

Посчитаем емкость конденсатора с пластинами 10x10 см и расстоянием между ними 1см (между пластинами вакуум, т.е. ). Подставляя эти значения в формулу (3), получаем Фарад (в формуле m означает "метр"). Сама величина имеет размерность Ф/м (Фарад/метр) и называется "электрическая постоянная" или "диэлектрическая проницаемость вакуума".

Не знаю - может, кого-то еще больше запутал (тогда забудьте эту тему), но может, кому и помог

Миниатюры

 

1

блин, не получается отредактировать основное сообщение

0

Сообщение от zer0mail блин, не получается отредактировать основное сообщение

А что конкретно хочется отредактировать в основном сообщении?

0

Сообщение от VSI что конкретно хочется отредактировать

Там в одном месте емкость в виде вопросика прописалась.
Мне помогло. Надеюсь, что не только мне.

0

Сообщение от AGK Там в одном месте емкость в виде вопросика прописалась

Исправил
А чуть выше по тексту -

...откуда мог взяться суммарный заряд q1-2 – ведь эти обкладки не подключены к источнику!

Это правильно? Или должно быть

q1-q2

?

0

Сообщение от VSI Или должно быть

Наверное "или". Но я бы дождался реакции zer0mail, вдруг у него еще какие-то поправки будут.

0

Спасибо за правки. Должно быть q1-q2.
Еще вместо " а напряжение на C2 равно U2=q/C1" должно быть "а напряжение на C2 равно U2=q/C2".
В самом конце в числителе формулы вместо нужно

Добавлено через 4 минуты
Вместо "то из формулы следует, что во столько же раз уменьшилось и напряжение между пластинами"
написать "то из формулы следует, что во столько же раз уменьшилось и напряжение между пластинами"

0

zer0mail, все, что Вы указали, исправил. Проверьте. Еще что-то надо корректировать?
P.S. Прошу прощения за то, что по собственной инициативе поместил по центру строки формулы (1), (2), (3) и (4). Если что не так, скажите, сразу уберу центровку.

1

Когда несколько часов правишь текст, глаз "замыливается". Может, кто свежим взглядом найдет ошибки и неточности, пусть напишет здесь, в теме (обсудим, поправим).

0