Циклы: вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью

@d31m03 · Регистрация: 24.11.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброй ночи, народ) помогите с кодом пожалуйсста:
3. Вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью e=10^-4:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac 13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3+...+\frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}+...\,, $

и значение функции (для проверки):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y=\frac{\ln x}2\,, $

учесть, что 0.2 ≤ x ≤ 1.

@JokeR.BY · 25.12.2015, 17:08

перепроверьте ряд. и функцию перепишите в однозначный вид

@Cyborg Drone · 02.01.2016, 15:10

Опечатка в первом члене ряда исправлена. Формула исправлена, разночтения исключены. d31m03, не полагайтесь на то, что всем очевидно, что Вы написали, либо на то, что кому-либо захочется выяснять, как оно должно выглядеть на самом деле, этим Вы весьма уменьшаете вероятность получения ответа.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\left. \sum_{n=0}^\infty \frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^{2n+1}=\right|_{z=\frac{x-1}{x+1}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty a_n $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_1=z;\ a_n=\frac{z^{2n+1}}{2n+1};\ a_{n+1}=\frac{z^{2n+3}}{2n+3}=\frac{z^2(2n+1)}{2n+3}\,a_n=\left. \frac{z^2(n+0.5)}{n+1.5}\,a_n=\right|_{n:=n+1}=\frac{z^2(n-0.5)}{n+0.5}\,a_n $

Pascal

const e = 1e-4;
 
var n: integer;
    x, z, a, s: extended;
 
begin
  repeat
    write('x in [0.2..1];  x = ');
    readln(x)
  until (x >= 0.2) and (x <= 1);
  z := (x - 1) / (x + 1);
  a := z;
  s := a;
  n := 0;
  while abs(a) >= e do
    begin
      inc(n);
      a := z * z * a * (n - 0.5) / (n + 0.5);
      s := s + a
    end;
  writeln('        S = ', s:0:4, ', precision = ', e:0:4);
  write  ('ln(x) / 2 = ', ln(x) / 2:0:15);
  readln
end.

@d31m03 · 09.01.2016, 01:44 **[ТС]**

спасибо большое, я просто не сразу разобрался с редактором формул)
Спасибо за код, но что за превращения формул в начале вы описали? Можно немного рассказть об этом? Буду благодарен

@Cyborg Drone · 09.01.2016, 21:50

Внимание! Опечатка. Должно быть a₀=z, а не a₁=z.

Сначала представим Вашу сумму в виде ряда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac 13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3+...+\frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}+...=\left. \sum_{n=0}^\infty \frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^{2n+1} $

Переменная x от номера члена ряда n никак не зависит. Поэтому можно заранее вычислить то, что зависит от x. Обозначим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? z=\frac{x-1}{x+1} $

Получим ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{2n+1} $

Обозначим общий член ряда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{z^{2n+1}}{2n+1}=a_n $

Подставляя n=0 в общий член ряда, получим нулевой член ряда.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_0=z $

Формула общего члена ряда известна:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_n=\frac{z^{2n+1}}{2n+1} $

Найдём реекуррентное соотношение (проще говоря, найдём, каким образом можно каждый последующий член вычислить на основе предыдущего). Обычно находят коэффициент, на который нужно умножить предыдущий член, для того, чтобы получить последующий, путём деления последующего члена на предыдущий. В большинстве случаев можно обойтись без этого громоздкого деления, а просто выразить последующий член через предыдущий. Для этого в общий член ряда подставляем n+1:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_{n+1}=\frac{z^{2n+3}}{2n+3}=\frac{z^2(2n+1)}{2n+3}\,a_n=\left. \frac{z^2(n+0.5)}{n+1.5}\,a_n $

Пробуем привести к a_n: Перепишем z²ⁿ⁺³=z²z²ⁿ⁺¹, домножим числитель и знаменатель на 2n+1. В составе получившейся формулы будет формула для a_n. Заменяем это дело на a_n, и всё... Рекуррентная формула готова. Ну ладно, чтобы уменьшить опасность целочисленного переполнения, избавимся от 2n, сократив дробь на 2. Можно на этом и остановиться. Но... (n+0.5), (n+1.5)... Некрасиво как-то. Чисто из любви к искусству, представим, что члены ряда считаются от 1, а не от 0... То есть, пусть будет n:=n+1. Для этого инкремент n будем производить перед вычислением очередного члена ряда, а не после. Так как n стало больше на 1, в формуле вместо n придётся использовать n-1, чтобы значение выражения осталось тем же самым. Окончательная рекурренная формула:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_{n+1}=\frac{z^2(n-0.5)}{n+0.5}\,a_n $

Собственно, всё. Далее пишем программу.

Циклы: вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью

Решение

Решение

@d31m03 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 18
		1
	Циклы: вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью 24.12.2015, 02:25. Показов 2624. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Доброй ночи, народ) помогите с кодом пожалуйсста: 3. Вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью e=10^-4: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac 13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3+...+\frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}+...\,,<br />$ и значение функции (для проверки): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> y=\frac{\ln x}2\,,<br />$ учесть, что 0.2 ≤ x ≤ 1. 0

@JokeR.BY CAPITAL OF ROCK! 1281 / 708 / 982 Регистрация: 03.03.2010 Сообщений: 2,286
	25.12.2015, 17:08	2
	перепроверьте ряд. и функцию перепишите в однозначный вид 0

@d31m03 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 18
	09.01.2016, 01:44 [ТС]	4
	спасибо большое, я просто не сразу разобрался с редактором формул) Спасибо за код, но что за превращения формул в начале вы описали? Можно немного рассказть об этом? Буду благодарен 0

@Cyborg Drone Модератор 9967 / 5331 / 3328 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 16,252
	09.01.2016, 21:50	5
	Сообщение было отмечено Памирыч как решение Решение Внимание! Опечатка. Должно быть a₀=z, а не a₁=z. Сначала представим Вашу сумму в виде ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac 13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3+...+\frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}+...=\left. \sum_{n=0}^\infty \frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^{2n+1}<br />$ Переменная x от номера члена ряда n никак не зависит. Поэтому можно заранее вычислить то, что зависит от x. Обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> z=\frac{x-1}{x+1}<br />$ Получим ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> S=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{2n+1}<br />$ Обозначим общий член ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \frac{z^{2n+1}}{2n+1}=a_n<br />$ Подставляя n=0 в общий член ряда, получим нулевой член ряда. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> a_0=z<br />$ Формула общего члена ряда известна: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> a_n=\frac{z^{2n+1}}{2n+1}<br />$ Найдём реекуррентное соотношение (проще говоря, найдём, каким образом можно каждый последующий член вычислить на основе предыдущего). Обычно находят коэффициент, на который нужно умножить предыдущий член, для того, чтобы получить последующий, путём деления последующего члена на предыдущий. В большинстве случаев можно обойтись без этого громоздкого деления, а просто выразить последующий член через предыдущий. Для этого в общий член ряда подставляем n+1: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> a_{n+1}=\frac{z^{2n+3}}{2n+3}=\frac{z^2(2n+1)}{2n+3}\,a_n=\left. \frac{z^2(n+0.5)}{n+1.5}\,a_n<br />$ Пробуем привести к a_n: Перепишем z²ⁿ⁺³=z²z²ⁿ⁺¹, домножим числитель и знаменатель на 2n+1. В составе получившейся формулы будет формула для a_n. Заменяем это дело на a_n, и всё... Рекуррентная формула готова. Ну ладно, чтобы уменьшить опасность целочисленного переполнения, избавимся от 2n, сократив дробь на 2. Можно на этом и остановиться. Но... (n+0.5), (n+1.5)... Некрасиво как-то. Чисто из любви к искусству, представим, что члены ряда считаются от 1, а не от 0... То есть, пусть будет n:=n+1. Для этого инкремент n будем производить перед вычислением очередного члена ряда, а не после. Так как n стало больше на 1, в формуле вместо n придётся использовать n-1, чтобы значение выражения осталось тем же самым. Окончательная рекурренная формула: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> a_{n+1}=\frac{z^2(n-0.5)}{n+0.5}\,a_n<br />$ Собственно, всё. Далее пишем программу. 0

Опции темы