0 / 0 / 0
Регистрация: 16.04.2019
Сообщений: 14
1

Доказать, что компактное множество пересекается с замкнутым тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно нулю

04.11.2019, 17:05. Показов 1612. Ответов 2
Метки нет (Все метки)

Студворк — интернет-сервис помощи студентам
Даны два множества в R^n , одно из которых компактно, а другое замкнуто.
Доказать, что они пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно нулю. Останется ли этот результат справедливым, если
а) не предполагать компактность одного из множеств, а считать их оба
замкнутыми;
б) вместо R^n взять произвольное полное метрическое пространство?

По определению как-то не очень выходит, а как по-другому даже не знаю...
0
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
04.11.2019, 17:05
Ответы с готовыми решениями:

Доказать, что A · B = {ab | a ∈ A, b ∈ B} — это подгруппа в G тогда и только тогда, когда A · B = B · A
Пусть G — группа, A,B — подгруппы в G. Доказать, что A · B = {ab | a ∈ A, b ∈ B} — это...

Доказать, что подграф H графа G является порождённым множеством своих вершин тогда и только тогда
Докажите, что подграф H графа G является порождённым множеством своих вершин тогда и только тогда,...

Выдать Yes тогда и только тогда, когда X и Y являются соседними элементами в списке S
Доброго времени суток. Я тут как и большинство, студент. Функциональное осилил, логическое —...

Предикат range(?M, ?N, ?L), истинный тогда и только тогда, когда L - список целых чисел
Доброго времени суток. Помогите, пожалуйста со следующей задачей: Напишите предикат range(?M,...

2
Эксперт по математике/физике
505 / 465 / 100
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,371
04.11.2019, 22:38 2
Определений здесь, пожалуй, потребуется больше одного.

Если два множества пересекаются, то расстояние между ними нулевое - это очевидно. Половина задачи уже сделана.

Возьмём теперь компактное множество https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A и замкнутое https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B, расстояние между которыми равно нулю. Если рассмотреть функцию https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f: A \to \mathbb{R}, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = \inf_{y \in B} \rho(x,y), то она непрерывна на https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A (вам стоит по-честному проверить это), а стало быть, достигает минимума в некоторой точке https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0 \in A. Докажите, что точка https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0 предельная для https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B, и радуйесь.
0
Эксперт по математике/физике
4057 / 3021 / 913
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 6,160
05.11.2019, 17:59 3
Цитата Сообщение от eropegov Посмотреть сообщение
функцию
А вот немного по другому. Так как В замкнуто, то дополнение открыто. Если А не пересекается с В, то А лежит в этом дополнении. Значит вокруг каждой точки компакта А можно построить шар, лежащий в этом дополнении и находящийся на положительном расстоянии от В. Теперь выбираем конечное покрытие А из этих шаров и т.д.

Контрпример к задаче а) почти очевиден. Достаточно взять в качестве А множество, ограниченное кривой 1/x (x>0), а В симметричное ему множество относительно, скажем, оси иксов.
0
05.11.2019, 17:59
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
05.11.2019, 17:59
Помогаю со студенческими работами здесь

Предикат (р х у s) - истинный тогда и только тогда, когда х и у являются соседними элементами списка s
Здравствуйте , из-за моих плохих занний lisp возникла проблема с задачей, буду благодарен если...

Теорема Последовательность {xn : n ∈N} сходится тогда и только тогда, когда она ограничена и имеет единственный частичный предел
Теорема. Последовательность {xn : n ∈N} сходится тогда и только тогда, когда она ограничена и...

Известно, что число делится на три тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на три. Проверим этот признак для заданного трехзначного числа X
Известно, что число делится на три тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на три....

Массив: Построить массив из нулей и единиц, в которой bi = 1 тогда и только тогда, когда в i-ой строке матрицы есть хотя бы отрицательный элемент
Даны натуральное число n, действительная квадратная матрица порядка n. Построить последовательность...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
3
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2023, CyberForum.ru