Доказать, что оператор является линейным ограниченным

@Argenta · Регистрация: 29.11.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

В пространстве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C[-\pi,\pi]$ рассмотрим подпространство M функций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t)$ , удовлетворяющих условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(-\pi)=x(\pi)$ Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t) \in M$ положим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_n (t) = A_n x(t) = \frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^n a_k cos kt + b_k sin kt$
где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x(t) cos kt dt, \quad b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x(t) sin kt dt$
тем самым каждой функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t) \in M$ сопоставлена частичная сумма ее ряда Фурье

Уже известно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y_n (t)=A_n x(t) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi x(\tau) \frac {sin[(2n+1)(\tau-t)/2]}{sin[(\tau-t)/2]} d\tau$
Как доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_n \in L(M)$ (т.е. является линейным ограниченным) и что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?||A_n||=\max_{t\in[-\pi,\pi]} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi | \frac {sin[(2n+1)(\tau-t)/2]}{sin[(\tau-t)/2]} | d\tau$ ?

@eropegov · 02.12.2019, 02:47

Ограниченность доказывается стандартной оценкой с внесением модуля под знак интеграла и вытаскиванием оттуда величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\max_{t\in[-\pi,\pi]}|x(t)| = ||x||$ . А если возьмёте в качестве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ константу - получите точное значение нормы оператора.

@Argenta 3 / 3 / 2 Регистрация: 29.11.2017 Сообщений: 126
		1
	Доказать, что оператор является линейным ограниченным 27.11.2019, 21:15. Показов 2596. Ответов 1 Метки нет (Все метки) В пространстве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C[-\pi,\pi]$ рассмотрим подпространство M функций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t)$ , удовлетворяющих условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(-\pi)=x(\pi)$ Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t) \in M$ положим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_n (t) = A_n x(t) = \frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^n a_k cos kt + b_k sin kt$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x(t) cos kt dt, \quad b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x(t) sin kt dt$ тем самым каждой функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t) \in M$ сопоставлена частичная сумма ее ряда Фурье Уже известно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y_n (t)=A_n x(t) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi x(\tau) \frac {sin[(2n+1)(\tau-t)/2]}{sin[(\tau-t)/2]} d\tau$ Как доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_n \in L(M)$ (т.е. является линейным ограниченным) и что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|\|A_n\|\|=\max_{t\in[-\pi,\pi]} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \| \frac {sin[(2n+1)(\tau-t)/2]}{sin[(\tau-t)/2]} \| d\tau$ ? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	02.12.2019, 02:47	2
	Сообщение было отмечено Argenta как решение Решение Ограниченность доказывается стандартной оценкой с внесением модуля под знак интеграла и вытаскиванием оттуда величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\max_{t\in[-\pi,\pi]}\|x(t)\| = \|\|x\|\|$ . А если возьмёте в качестве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ константу - получите точное значение нормы оператора. 1

Доказать, что оператор является линейным ограниченным

Решение