Показать или опровергнуть существование операторов

@Integral13 · Регистрация: 21.05.2020

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день. Помогите, пожалуйста, решить задачу.

@kabenyuk · 27.11.2020, 13:09

Сообщение от Integral13

опровергнуть существование

Похоже, что обратимость А и В следует из обратимости обоих операторов АВ и ВА.
1) Ker(A) = Ker(B) = {0}, так как Ker(A)< Ker(BA) и Ker(B)<Ker(AB).
2) Пусть Im(A) < X (строгое включение). Тогда B(A(X))=B(Im(A))=X (так как BA обратим).
Пусть вектор x не лежит в Im(A). Тогда ввиду последнего равенства существует y из Im(A), что B(x) = B(y) ==> B(x-y)=0.
Противоречие с пунктом 1. Значит Im(A)=X и A обратим.
Аналогично доказываем, что обратим В.

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	27.11.2020, 13:09	2
	Сообщение было отмечено Integral13 как решение Решение Сообщение от Integral13 опровергнуть существование Похоже, что обратимость А и В следует из обратимости обоих операторов АВ и ВА. 1) Ker(A) = Ker(B) = {0}, так как Ker(A)< Ker(BA) и Ker(B)<Ker(AB). 2) Пусть Im(A) < X (строгое включение). Тогда B(A(X))=B(Im(A))=X (так как BA обратим). Пусть вектор x не лежит в Im(A). Тогда ввиду последнего равенства существует y из Im(A), что B(x) = B(y) ==> B(x-y)=0. Противоречие с пунктом 1. Значит Im(A)=X и A обратим. Аналогично доказываем, что обратим В. 1

Опции темы

Показать или опровергнуть существование операторов

Решение