Топологические пространства и подпространства

@kortnij · Регистрация: 22.04.2020

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Для каждого i = {1,2} пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{X}_{i}$ - подпространство топологического пространства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{Y}_{i}$ . Доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{X}_{1}\times {X}_{2}$ - подпространство пространства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{Y}_{1}\times {Y}_{2}$

@kabenyuk · 16.12.2020, 18:31

Сообщение от kortnij

подпространство пространства

Следует из определения топологии на декартовом произведении. Кстати, доказать надо, что топология на множестве Х₁ х Х₂, индуцированная с декартова произведения Y₁ x Y₂, совпадает с топологией, которая получается на Х₁ х Х₂ из определения топологии на декартовом произведении.

@kortnij · 16.12.2020, 19:16 **[ТС]**

не совсем понятно, как именно доказывается.

@kabenyuk · 16.12.2020, 19:42

Сообщение от kortnij

не совсем понятно

Знаете почему? Потому что совсем простое утверждение.
Ну давайте начну. Введем названия для двух топологий на Х₁ х Х₂ индуцированную с Y₁ x Y₂ назовем И-топологией, а вторую Д-топологией. Можно?
Берем открытое множество V в Х₁ х Х₂ в И-топологии. Тогда существует открытое множество W в Y₁ x Y₂, для которого
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small V=W\cap(X_1\times X_2)$
Далее по определению топологии на декартовом произведении существуют открытые подмножества U₁, U₂ из игреков, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small W=U_1\times U_2,\ U_1\subset Y_1,\ U_2\subset Y_2$
Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small V=W\cap(X_1\times X_2)=(U_1\times U_2)\cap(X_1\times X_2)=(U_1\cap X_1)\times(U_2\cap X_2)=W'$
Поскольку W' - это открытое множество в Х₁ х Х₂ в Д-топологии, то все и закончилось.
То есть каждое открытое в одной топологии открыто в другой.
Хотел лишь начать, но фактически и закончил.

@kortnij · 16.12.2020, 20:06 **[ТС]**

спасибо большое!

@kortnij 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 9
		1
	Топологические пространства и подпространства 16.12.2020, 15:32. Показов 979. Ответов 4 Метки высшая математика, топология (Все метки) Для каждого i = {1,2} пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{X}_{i}$ - подпространство топологического пространства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{Y}_{i}$ . Доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{X}_{1}\times {X}_{2}$ - подпространство пространства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{Y}_{1}\times {Y}_{2}$ 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	16.12.2020, 18:31	2
	Сообщение от kortnij подпространство пространства Следует из определения топологии на декартовом произведении. Кстати, доказать надо, что топология на множестве Х₁ х Х₂, индуцированная с декартова произведения Y₁ x Y₂, совпадает с топологией, которая получается на Х₁ х Х₂ из определения топологии на декартовом произведении. 1

@kortnij 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 9
	16.12.2020, 19:16 [ТС]	3
	не совсем понятно, как именно доказывается. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	16.12.2020, 19:42	4
	Сообщение от kortnij не совсем понятно Знаете почему? Потому что совсем простое утверждение. Ну давайте начну. Введем названия для двух топологий на Х₁ х Х₂ индуцированную с Y₁ x Y₂ назовем И-топологией, а вторую Д-топологией. Можно? Берем открытое множество V в Х₁ х Х₂ в И-топологии. Тогда существует открытое множество W в Y₁ x Y₂, для которого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small V=W\cap(X_1\times X_2)$ Далее по определению топологии на декартовом произведении существуют открытые подмножества U₁, U₂ из игреков, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small W=U_1\times U_2,\ U_1\subset Y_1,\ U_2\subset Y_2$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small V=W\cap(X_1\times X_2)=(U_1\times U_2)\cap(X_1\times X_2)=(U_1\cap X_1)\times(U_2\cap X_2)=W'$ Поскольку W' - это открытое множество в Х₁ х Х₂ в Д-топологии, то все и закончилось. То есть каждое открытое в одной топологии открыто в другой. Хотел лишь начать, но фактически и закончил. 1

@kortnij 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.04.2020 Сообщений: 9
	16.12.2020, 20:06 [ТС]	5
	спасибо большое! 0