@dumaqqq

Не знаю как доказать, задача такая:
Два тетраэдра расположены в пространстве так, что прямые, соединяющие соответственные вершины, принадлежат одной связке. Доказать, что прямые, по которым пересекаются соответственные грани, лежат в одной плоскости. Сформулировать двойственное предложение.

Тетраэдр ( четыре точки, не лежащие в одной плоскости, шесть прямых, попарно соединяющих эти точки, и четыре плоскости, определяемые каждой тройкой из данных четырех точек)

0

@Klavdia

В общем случае, если, например, тетраэдры - настоящие тетраэдры (прав. треуг. пирамида), а не по такому, как у Вас, определению, соответственные грани могут не пересекаться вообще. Поэтому условие не совсем корректно.

То, , означает, что все соответственные рёбра пересекаются. Таким образом, на каждой прямой, являющейся пересечением соответственных граней, лежат по 3 точки, являющихся пересечением соответственных рёбер. Причём, поскольку любые две грани имеют общее ребро, то любые две из этих прямых (которые пересечения граней) имеют по одной общей точке.

Другими словами, все 4 прямых попарно пересекаются, значит они лежат в одной плоскости.

Добавлено через 1 час 7 минут
Наезд на корректность условия был всё же преждевременный, там же не написано, что все грани обязаны пересечься. Поэтому , есть небольшие уточнения.

На самом деле, условия "связки" прямых указывают лишь на то, что соответственные рёбра лежат в одной плоскости. При этом у них есть возможность не пересекаться, т.е. быть параллельными. Если это касается одной пары рёбер, то все нижеследующие утверждения - в силе, поскольку все точки пересечения прямых, явл. пересечением соответст. граней, всё равно тогда лежат в одной плоскости.

Если параллельны своим парам по соответственности смежные рёбра, то параллельны соответствующие грани и одной из этих прямых просто нет (ну и что).
Если параллельны своим парам несмежная пара рёбер, то там из прямых, являющихся пересечением соответственных граней, складывается чудесным образом ппараллелограмм, который тоже не может лежать в разных плоскостях по определению.

1

@dumaqqq

Klavdia,
А как доказывать? Словами или надо чертить?

0

@Klavdia

Всё чертить - паутина получится непонятная. Можно, для иллюстрации, нарисовать две пирамидки и четырёхугольник, состоящий из двух соответственных рёбер и прямых, соед. соответственные вершины. Остальное, наверное, словами.

Вы, главное, сами вначале, разберитесь во всём этом, если что непонятно, спросите, отвечу.

Добавлено через 27 минут
dumaqqq

У меня там, наверное, не очень понятно сформулирован случай параллельности соответственных рёбер. Может так будет понятнее и проще:

Если есть пара параллельных соответственных рёбер, то они параллельны ещё и линии пересечения смежных с ними граней, а поскольку таких граней -2, то в результате мы получим трапецию (если одна пара рёбер параллельна) или параллелограмм (если 2 не смежные). И та и другая фигура не могут не лежать в одной плоскости.

1

@palva

Это трехмерный аналог теоремы Дезарга. Вы знаете, как доказывается двумерная теорема Дезарга выходом в трехмерное пространство? По-моему стоит попробовать доказывать вашу теорему тем же способом - выходом в 4 мерное пространство.

0