Вращения тела в пространстве (углы Эйлера)

@diman551 · Регистрация: 09.10.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем здравствуйте!

Задача про углы Эйлера: необходимо продемонстрировать анимацию вращения тела.
Задаются три угла поворота (порядок осей вращения) и значения 3-ёх поворотов в градусах.
Надо определить конечные координаты тела и соответственно сделать анимацию этого действия.
Можете порекомендовать способы решения?

Спасибо!

@palva · 10.10.2014, 14:48

Написать матрицу оператора поворота, в которую в качестве параметров войдут эти три угла. Потом применять этот оператор к нужным точкам тела, умножая матрицу на радиус вектор точки тела.

@diman551 · 10.10.2014, 17:39 **[ТС]**

palva, а, собственно, как мы получаем координаты точек тела?
Это конечные координаты вращаемого тела?

@palva · 10.10.2014, 18:25

Берем радиус-вектор точки тела до поворота, то есть из координат точки до поворота вычитаем координаты центра вращения. Умножаем вектор (слева) на матрицу поворота, получаем радиус-вектор данной точки после поворота. Далее к центру вращения прикладываем (сложение координат) этот новый радиус-вектор, получаем координаты точки после поворота.

Добавлено через 8 минут
Здесь я называю вектор, идущий от центра вращения в данную точку, радиусом-вектором точки. Это не совсем корректно, поскольку по-определению радиус-вектор идет из начала координат. Просто я не хочу придумывать для этого вектора новый термин. Но если начало координат поместить в центр вращения, то термин будет корректным.

@diman551 · 24.02.2015, 04:21 **[ТС]**

palva, никак я не могу сообразить...
Не мог бы ты мне накидать начальную версию, хотя бы что к чему?

@palva · 24.02.2015, 13:44

Задача слишком неопределенная. Надо определить систему координат, что значит углы Эйлера (они могут по-разному задаваться). Анимацию какого действия надо делать, поворот вокруг одной оси или последовательные повороты вокруг осей Эйлера. Анимация это проекция тела на экран, тогда встанет вопрос о форме тела, поскольку от формы зависит, какие точки тела будут видимыми, какие нет и т. д.

@jogano · 25.02.2015, 18:31

Если новый базис $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E'^T$ (новые векторы расположены в столбец) выражается через старый базис как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E'^T=C^TE^T$ , то матрица перехода между базисами - это С.
Чтобы получить новые координаты одного и того же вектора в новом базисе, нужно обратную к матрице преобразования умножить на вектор-столбец старых координат справа: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x'}^T=C^{-1}\bar{x}^T$
Например, при повороте вокруг OZ в направлении от ОХ к OY на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\gamma$ новые векторы выражаются через старые как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}\bar{e'_1}\\ \bar{e'_2}\\ \bar{e'_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0\\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ \bar{e_3}\end{pmatrix}$
Нужно эту матрицу транспонировать и взять обратную, получится в данном случае та же самая матрица $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0\\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ .
Значит, новые координаты будут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}x'_1\\ x'_2\\ x'_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0\\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}$
То же самое делаете с поворотами вокруг двух других осей. При выполнении нескольких поворотов новые матрицы умножаются слева в правой части последнего выражения).
P.S. Это всё касается поворота вокруг начала координат, а не произвольной точки.

@diman551 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.10.2014 Сообщений: 3
		1
	Вращения тела в пространстве (углы Эйлера) 10.10.2014, 01:17. Показов 1482. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Всем здравствуйте! Задача про углы Эйлера: необходимо продемонстрировать анимацию вращения тела. Задаются три угла поворота (порядок осей вращения) и значения 3-ёх поворотов в градусах. Надо определить конечные координаты тела и соответственно сделать анимацию этого действия. Можете порекомендовать способы решения? Спасибо! 0

@palva 3959 / 2870 / 668 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,684 Записей в блоге: 4
	10.10.2014, 14:48	2
	Написать матрицу оператора поворота, в которую в качестве параметров войдут эти три угла. Потом применять этот оператор к нужным точкам тела, умножая матрицу на радиус вектор точки тела. 0

@diman551 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.10.2014 Сообщений: 3
	10.10.2014, 17:39 [ТС]	3
	palva, а, собственно, как мы получаем координаты точек тела? Это конечные координаты вращаемого тела? 0

@palva 3959 / 2870 / 668 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,684 Записей в блоге: 4
	10.10.2014, 18:25	4
	Берем радиус-вектор точки тела до поворота, то есть из координат точки до поворота вычитаем координаты центра вращения. Умножаем вектор (слева) на матрицу поворота, получаем радиус-вектор данной точки после поворота. Далее к центру вращения прикладываем (сложение координат) этот новый радиус-вектор, получаем координаты точки после поворота. Добавлено через 8 минут Здесь я называю вектор, идущий от центра вращения в данную точку, радиусом-вектором точки. Это не совсем корректно, поскольку по-определению радиус-вектор идет из начала координат. Просто я не хочу придумывать для этого вектора новый термин. Но если начало координат поместить в центр вращения, то термин будет корректным. 0

@diman551 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.10.2014 Сообщений: 3
	24.02.2015, 04:21 [ТС]	5
	palva, никак я не могу сообразить... Не мог бы ты мне накидать начальную версию, хотя бы что к чему? 0

@palva 3959 / 2870 / 668 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,684 Записей в блоге: 4
	24.02.2015, 13:44	6
	Задача слишком неопределенная. Надо определить систему координат, что значит углы Эйлера (они могут по-разному задаваться). Анимацию какого действия надо делать, поворот вокруг одной оси или последовательные повороты вокруг осей Эйлера. Анимация это проекция тела на экран, тогда встанет вопрос о форме тела, поскольку от формы зависит, какие точки тела будут видимыми, какие нет и т. д. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6356 / 4064 / 1511 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	25.02.2015, 18:31	7
	Если новый базис $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E'^T$ (новые векторы расположены в столбец) выражается через старый базис как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E'^T=C^TE^T$ , то матрица перехода между базисами - это С. Чтобы получить новые координаты одного и того же вектора в новом базисе, нужно обратную к матрице преобразования умножить на вектор-столбец старых координат справа: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x'}^T=C^{-1}\bar{x}^T$ Например, при повороте вокруг OZ в направлении от ОХ к OY на угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\gamma$ новые векторы выражаются через старые как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}\bar{e'_1}\\ \bar{e'_2}\\ \bar{e'_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0\\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\bar{e_1}\\ \bar{e_2}\\ \bar{e_3}\end{pmatrix}$ Нужно эту матрицу транспонировать и взять обратную, получится в данном случае та же самая матрица $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0\\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ . Значит, новые координаты будут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}x'_1\\ x'_2\\ x'_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0\\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}$ То же самое делаете с поворотами вокруг двух других осей. При выполнении нескольких поворотов новые матрицы умножаются слева в правой части последнего выражения). P.S. Это всё касается поворота вокруг начала координат, а не произвольной точки. 0

Опции темы