Изобразить поверхность второго порядка

@William Blake · Регистрация: 09.08.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Нужно изобразить тело, заданное уравнениями. Кроме того, по-хорошему, нужно изобразить его сечение плоскостью XOZ.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}; {x}^{2} + {y}^{2} = 2; z = -\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\left({x}^{2} + {y}^{2} \right) \right)$
Все бы хорошо, но преобразовать уравнения к "читаемым" уравнением у меня получается как-то фигово. Конечно, я получаю уравнения поверхностей, но тело, которое получается при построении выходит каким-то что называется ни в склад, ни в лад. Это задание из типовых расчетов по линейной алгебре и аналитической геометрии и в других заданиях получаются "красивые" фигуры. Хотя, возможно, я просто где-то ошибся. В любом случае, напишите, пожалуйста, уравнения поверхностей, которые у вас получились.
Вот, что получилось у меня:

Первое уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}$ - это уравнение конуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2} + {y}^{2} = {(z - 1 -\sqrt{2})}^{2}$ с вершиной в точке A (0, 0, 1 + sqrt(2)).
Второе уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2} + {y}^{2} = 2$ - задает цилиндр, образующие которого параллельны оси oz, радиус окружности в сечении равен sqrt(2).
Третье уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = -\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\left({x}^{2} + {y}^{2} \right) \right)$ можно представить, если захотеть, в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-z - \frac{1}{2} = \frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{4}$ - это уравнение эллиптического параболоида, кроме того, в данном случае a = b (4 = 4). Это значит, что эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг оси ее симметрии, ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке B (0, 0, 1/2).
Не знаю, в чем это можно построить на компьютере быстро и красиво. Но сами уравнения я правильно преобразовал?

@jannne · 08.11.2014, 12:58

Все правильно, только надо осознавать, что конус идет из точки А вниз, т е существует при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z<1+\sqrt{2}$

Добавлено через 5 минут
Кстати, построить сечение плоскостью X0Z очень просто -- достаточно в полученных уравнениях положить у=0. Тогда графики легко построить даже на бумажке.
А чтобы понять, какое будет тело, ограниченное этими поверхностями, надо представить, что будет в результате вращения построенного сечения вокруг оси 0Z.

@Nacuott · 08.11.2014, 13:12

Картинка будет такая.

@jannne · 08.11.2014, 13:22

Странно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+\sqrt{2}$ это больше двух, а у вас вершина конуса ниже двойки..
И надо бы подальше вниз их построить, чтоб видно было, где они пересекутся

@Nacuott · 08.11.2014, 13:30

А так, устроит?

@jannne · 08.11.2014, 13:32

ага в самый раз )))

@Nacuott · 08.11.2014, 13:34

В первой картинке оси наклонены - вот и кажется....

@William Blake 10 / 10 / 2 Регистрация: 09.08.2010 Сообщений: 321
		1
	Изобразить поверхность второго порядка 06.11.2014, 00:22. Показов 1668. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Нужно изобразить тело, заданное уравнениями. Кроме того, по-хорошему, нужно изобразить его сечение плоскостью XOZ. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}; {x}^{2} + {y}^{2} = 2; z = -\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\left({x}^{2} + {y}^{2} \right) \right)$ Все бы хорошо, но преобразовать уравнения к "читаемым" уравнением у меня получается как-то фигово. Конечно, я получаю уравнения поверхностей, но тело, которое получается при построении выходит каким-то что называется ни в склад, ни в лад. Это задание из типовых расчетов по линейной алгебре и аналитической геометрии и в других заданиях получаются "красивые" фигуры. Хотя, возможно, я просто где-то ошибся. В любом случае, напишите, пожалуйста, уравнения поверхностей, которые у вас получились. Вот, что получилось у меня: Первое уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}$ - это уравнение конуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2} + {y}^{2} = {(z - 1 -\sqrt{2})}^{2}$ с вершиной в точке A (0, 0, 1 + sqrt(2)). Второе уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2} + {y}^{2} = 2$ - задает цилиндр, образующие которого параллельны оси oz, радиус окружности в сечении равен sqrt(2). Третье уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = -\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\left({x}^{2} + {y}^{2} \right) \right)$ можно представить, если захотеть, в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-z - \frac{1}{2} = \frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{4}$ - это уравнение эллиптического параболоида, кроме того, в данном случае a = b (4 = 4). Это значит, что эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг оси ее симметрии, ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке B (0, 0, 1/2). Не знаю, в чем это можно построить на компьютере быстро и красиво. Но сами уравнения я правильно преобразовал? 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 293
	08.11.2014, 12:58	2
	Все правильно, только надо осознавать, что конус идет из точки А вниз, т е существует при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z<1+\sqrt{2}$ Добавлено через 5 минут Кстати, построить сечение плоскостью X0Z очень просто -- достаточно в полученных уравнениях положить у=0. Тогда графики легко построить даже на бумажке. А чтобы понять, какое будет тело, ограниченное этими поверхностями, надо представить, что будет в результате вращения построенного сечения вокруг оси 0Z. 1

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	08.11.2014, 13:12	3
	Картинка будет такая. Миниатюры 2

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 293
	08.11.2014, 13:22	4
	Странно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+\sqrt{2}$ это больше двух, а у вас вершина конуса ниже двойки.. И надо бы подальше вниз их построить, чтоб видно было, где они пересекутся 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	08.11.2014, 13:30	5
	А так, устроит? Миниатюры 1

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 293
	08.11.2014, 13:32	6
	ага в самый раз ))) 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	08.11.2014, 13:34	7
	В первой картинке оси наклонены - вот и кажется.... 0