Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки

@bobbyserf · Регистрация: 06.09.2014

Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки (1,5) и (2,4).

Байт · 15.02.2015, 14:56

bobbyserf, Задача решается в 2 этапа. На каком из них возникли сложности?

@bobbyserf · 15.02.2015, 17:03 **[ТС]**

Байт, подскажите пожалуйста как её решать.

Байт · 15.02.2015, 17:06

Сообщение от bobbyserf

подскажите пожалуйста

1) Находим уравнение прямой через 2 точки
2) Приводим его к общему уравнению прямой Ax+By+C=0
3) ПО формуле находим расстояние до точки (0,0)
Какой из этапов вызывает затруднения?

@bobbyserf · 15.02.2015, 17:25 **[ТС]**

1)(x-1)/(2-1)=(y-5)/(4-5)
y=-x+6
2)x+y-6=0
3)|1*0+1*0-6|/( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{({1}^{2}$ + $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{1}^{2}$ )= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\sqrt{2}$
так?

Байт · 15.02.2015, 17:35

Сообщение от bobbyserf

так?

Мо-ло-дец!

@Iriini · 15.02.2015, 17:42

Сообщение от bobbyserf

Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки (1,5) и (2,4).

Геометрический способ (метод площадей).
А можно ввести в рассмотрение треугольник с вершинами (0,0), (1,5) и (2,4). Тогда стороны будут иметь измерения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{26}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{20}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$
Далее теорема косинусов 26=20+2-2 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{40}$ cos A
cos A= -2/ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{40}$
Основное тригонометрическое тождество sin A=6/ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{40}$
Находим площадь треугольника
S=1/2 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{20}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ 6/ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{40}$ =3
С другой стороны S=1/2 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ h
h=6/ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ =3 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$

Байт · 15.02.2015, 17:50

Сообщение от Iriini

Геометрический способ (метод площадей).

Еще могу предложить через векторное произведение.
Через теорему синусов.
А площадь легко посчитать через определенный интеграл

@Iriini · 15.02.2015, 17:59

Сообщение от Байт

Еще могу предложить через векторное произведение.

Согласна. Полезно знать различные способы. А вот через теорему синусов хотелось бы поподробнее...

Байт · 15.02.2015, 18:08

Сообщение от Iriini

А вот через теорему синусов хотелось бы поподробнее

sinA/a = sinB/b = sin(A+B)/c = 2R. Отсюда находим синус любого из углов и высоту. Левой ногой правое ухо, но можно и так.
Но во всех случаях лучше брать не треугольник из данных точек, а взять точки, расположенные на осях, записав уравнение прямой в отрезках.
Еще один способ: Записать уравнение прямой как y=f(x), записать расстояние от произвольной точки прямой как фунции от x и найти минимум этой функции методами дифференциального исчисления.
Ну, кто еще?

@Iriini · 15.02.2015, 18:12

Сообщение от Байт

Отсюда находим синус любого из углов и высоту.

И как находим?
Хорошо бы знать R... Тогда бы уж, зная R, логично вычислить S=abc/(4R)

Байт · 15.02.2015, 18:20

Сообщение от Iriini

И как находим?

2 уравнения с двумя неизвестными (R пока можно отбросить)
Потом получаем и R, и пользуемся вашей замечательной формулой abc/4R (еще вариант).
Самый лобовой вариант: Проводим через О перпендикуляр к прямой, находим пересечение, расстояние до О
Еще один "изысканный". Поворачиваем плоскость так, чтобы прямая была параллельна одной из новых осей.
Iriini, будь другом, посчитай, сколько способов мы придумали?

@Iriini · 15.02.2015, 19:19

Сообщение от Байт

2 уравнения с двумя неизвестными

Сложновато...
sinA/a= sin B/b
sinB/b= sin (180-A-B)/с, sinB/b= sin (A+B)/с
Но любопытно

Способов 9 можно вычитать... Красиво!

Байт Диссидент 27341 / 17061 / 3768 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,448
	15.02.2015, 18:08	10
	Сообщение от Iriini А вот через теорему синусов хотелось бы поподробнее sinA/a = sinB/b = sin(A+B)/c = 2R. Отсюда находим синус любого из углов и высоту. Левой ногой правое ухо, но можно и так. Но во всех случаях лучше брать не треугольник из данных точек, а взять точки, расположенные на осях, записав уравнение прямой в отрезках. Еще один способ: Записать уравнение прямой как y=f(x), записать расстояние от произвольной точки прямой как фунции от x и найти минимум этой функции методами дифференциального исчисления. Ну, кто еще? 0

@Iriini 266 / 192 / 50 Регистрация: 16.06.2014 Сообщений: 424
	15.02.2015, 18:12	11
	Сообщение от Байт Отсюда находим синус любого из углов и высоту. И как находим? Хорошо бы знать R... Тогда бы уж, зная R, логично вычислить S=abc/(4R) 0

@Iriini 266 / 192 / 50 Регистрация: 16.06.2014 Сообщений: 424
	15.02.2015, 19:19	13
	Сообщение от Байт 2 уравнения с двумя неизвестными Сложновато... sinA/a= sin B/b sinB/b= sin (180-A-B)/с, sinB/b= sin (A+B)/с Но любопытно Способов 9 можно вычитать... Красиво! 0

@bobbyserf 1 / 1 / 0 Регистрация: 06.09.2014 Сообщений: 105
		1
	Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки 15.02.2015, 14:26. Показов 10028. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки (1,5) и (2,4). 0

Байт Диссидент 27341 / 17061 / 3768 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,448
	15.02.2015, 14:56	2
	bobbyserf, Задача решается в 2 этапа. На каком из них возникли сложности? 0

@bobbyserf 1 / 1 / 0 Регистрация: 06.09.2014 Сообщений: 105
	15.02.2015, 17:03 [ТС]	3
	Байт, подскажите пожалуйста как её решать. 0

Байт Диссидент 27341 / 17061 / 3768 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,448
	15.02.2015, 17:06	4
	Сообщение от bobbyserf подскажите пожалуйста 1) Находим уравнение прямой через 2 точки 2) Приводим его к общему уравнению прямой Ax+By+C=0 3) ПО формуле находим расстояние до точки (0,0) Какой из этапов вызывает затруднения? 1

@bobbyserf 1 / 1 / 0 Регистрация: 06.09.2014 Сообщений: 105
	15.02.2015, 17:25 [ТС]	5
	1)(x-1)/(2-1)=(y-5)/(4-5) y=-x+6 2)x+y-6=0 3)\|10+10-6\|/( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{({1}^{2}$ + $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{1}^{2}$ )= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\sqrt{2}$ так? 0

Байт Диссидент 27341 / 17061 / 3768 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,448
	15.02.2015, 17:35	6
	Сообщение от bobbyserf так? Мо-ло-дец! 0

@Iriini 266 / 192 / 50 Регистрация: 16.06.2014 Сообщений: 424
	15.02.2015, 17:42	7
	Сообщение от bobbyserf Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки (1,5) и (2,4). Геометрический способ (метод площадей). А можно ввести в рассмотрение треугольник с вершинами (0,0), (1,5) и (2,4). Тогда стороны будут иметь измерения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{26}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{20}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ Далее теорема косинусов 26=20+2-2 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{40}$ cos A cos A= -2/ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{40}$ Основное тригонометрическое тождество sin A=6/ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{40}$ Находим площадь треугольника S=1/2 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{20}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ 6/ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{40}$ =3 С другой стороны S=1/2 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ h h=6/ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ =3 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ 1

Байт Диссидент 27341 / 17061 / 3768 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,448
	15.02.2015, 17:50	8
	Сообщение от Iriini Геометрический способ (метод площадей). Еще могу предложить через векторное произведение. Через теорему синусов. А площадь легко посчитать через определенный интеграл 0

@Iriini 266 / 192 / 50 Регистрация: 16.06.2014 Сообщений: 424
	15.02.2015, 17:59	9
	Сообщение от Байт Еще могу предложить через векторное произведение. Согласна. Полезно знать различные способы. А вот через теорему синусов хотелось бы поподробнее... 0

Байт Диссидент 27341 / 17061 / 3768 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,448
	15.02.2015, 18:20	12
	Сообщение от Iriini И как находим? 2 уравнения с двумя неизвестными (R пока можно отбросить) Потом получаем и R, и пользуемся вашей замечательной формулой abc/4R (еще вариант). Самый лобовой вариант: Проводим через О перпендикуляр к прямой, находим пересечение, расстояние до О Еще один "изысканный". Поворачиваем плоскость так, чтобы прямая была параллельна одной из новых осей. Iriini, будь другом, посчитай, сколько способов мы придумали? 0

Опции темы