Точка пересечения двух пространственных прямых?

@AKE · Регистрация: 09.05.2010

Как найти точку пересечения пространственных прямых, заданных параметрически? Или установить что её не существует?

@AKE · 04.08.2010, 21:06 **[ТС]**

Как найти точку пересечения двух пространственных прямых, заданных параметрически? Или установить что её не существует?

Добавлено через 25 минут
Вроде составил какой-то алгоритм... И вроде бы он работает... Хотя может и не всегда...

C++

int Two_Line_Intersection(TLine L1, TLine L2, T3DPoint &P)
{
  float a11 = L1.Direction.X;
  float a12 = -L2.Direction.X;
  float a21 = L1.Direction.Y;
  float a22 = -L2.Direction.Y;
  float b1  = L2.StartPoint.X - L1.StartPoint.X;
  float b2  = L2.StartPoint.Y - L1.StartPoint.Y;
  float t1, t2;
  float det = a11*a22-a12*a21;
  if (abs(det) >= EPS2)// if det != 0
  {
   float d1 = b1*a22 - a12*b2;
   float d2 = a11*b2 - a21*b1;
   t1 = d1/det; t2 = d2/det;
   float temp1 = L1.StartPoint.Z + L1.Direction.Z*t1;
   float temp2 = L2.StartPoint.Z + L2.Direction.Z*t2;
   if (abs(temp1-temp2)<EPS2) 
   {
     P.X = L1.StartPoint.X + L1.Direction.X*t1;
     P.Y = L1.StartPoint.Y + L1.Direction.Y*t1;
     P.Z = L1.StartPoint.Z + L1.Direction.Z*t1;
     return 1; // if temp1 = temp2
   }
   return 0;
  }
  a21 = L1.Direction.Z;
  a22 = -L2.Direction.Z;
  b2  = L2.StartPoint.Z - L1.StartPoint.Z;
  det = a11*a22-a12*a21;
  if (abs(det) >= EPS2)
  {
   float d1 = b1*a22 - a12*b2;
   float d2 = a11*b2 - a21*b1;
   t1 = d1/det; t2 = d2/det;
   float temp1 = L1.StartPoint.Y + L1.Direction.Y*t1;
   float temp2 = L2.StartPoint.Y + L2.Direction.Y*t2;
   if (abs(temp1-temp2)<EPS2)
   {
     P.X = L1.StartPoint.X + L1.Direction.X*t1;
     P.Y = L1.StartPoint.Y + L1.Direction.Y*t1;
     P.Z = L1.StartPoint.Z + L1.Direction.Z*t1;
     return 1; // if temp1 = temp2
   }
   return 0;   
  }
  a11 = L1.Direction.Y;
  a12 = -L2.Direction.Y;
  b1  = L2.StartPoint.Y - L1.StartPoint.Y;
  det = a11*a22-a12*a21;
  if (abs(det) >= EPS2)
  {
   float d1 = b1*a22 - a12*b2;
   float d2 = a11*b2 - a21*b1;
   t1 = d1/det; t2 = d2/det;
   float temp1 = L1.StartPoint.X + L1.Direction.X*t1;
   float temp2 = L2.StartPoint.X + L2.Direction.X*t2;
   if (abs(temp1-temp2)<EPS2)
   {
     P.X = L1.StartPoint.X + L1.Direction.X*t1;
     P.Y = L1.StartPoint.Y + L1.Direction.Y*t1;
     P.Z = L1.StartPoint.Z + L1.Direction.Z*t1;
     return 1; // if temp1 = temp2
   }
   return 0;  
  }
  return 0;
}

Евгений М. · 04.08.2010, 21:30

Про расположение двух прямых в пространстве читаем здесь.

Теперь как находит, где они пересекаются.
Имеем прямые, которые описаны так:
http://twt.mpei.ru/math/Ang/img/AG_04050000_1.GIF (1)
В точке, где эти прямые пересекаются имеет место равенство:
x1+l1t=x2+l2t
y1+m1t=y2+n2t
z1+n1t=z2+n2t
Для нахождения t выбираем то уравнение, в котором координаты направляющих векторов одновременно не равны нулю. Значение t подставляем в любую систему уравнений из (1) и находим точку где они пересекаются.
Этот алгоритм я только-что вывел. Если что могу ошибаться.

Добавлено через 29 секунд
Ой уже код успел вставить пока я писал...

Добавлено через 7 минут
AKE, Вы лучше скажите как Вы вывели то, что написали в коде программы. А то сложно понять.

@AKE · 04.08.2010, 21:38 **[ТС]**

Евгений М., спасибо. Я вывел это примерно основываясь на том, что вы написали. Только вот t там будут разные в левых и правых равенствах...
x1+l1t1=x2+l2t2
y1+m1t1=y2+n2t2
z1+n1t1=z2+n2t2
Я решаю одну систему из 2х уравнений относительно t1 и t2 и подставляю в третье уравнение...

@Eugeniy · 04.08.2010, 22:07

AKE, очень просто, для этого всего лишь надо записать эти уравнения в параметрическом виде
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} {x}_{1}={a}_{1}+{b}_{1}*t & \\ .... \\ {x}_{n}={a}_{n}+{b}_{n}*t & \end{cases}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} {x}_{1}={l}_{1}+{m}_{1}*\tau & \\ .... \\ {x}_{n}={l}_{n}+{m}_{n}*\tau & \end{cases}$
Далее в этих двух системах приравниваете первые строки и находите взаимосвязь между t и tau
Получаете линейное уравнение от двух переменных. Далее во все последующее строки второй системы подставляете вместо tau t и
находите такое значение t чтобы правая часть первой и второй системы были равны, если такое есть значит прямые пересекаются, если нету значит нет.

Евгений М. · 04.08.2010, 22:27

Сообщение от AKE

Только вот t там будут разные в левых и правых равенствах

.
Да, да, да. Не учел

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от AKE

Я решаю одну систему из 2х уравнений относительно t1 и t2 и подставляю в третье уравнение..

Это как? Че-то я сильно сомневаюсь что так будет правильно. Вы уверены в этом?

@AKE · 05.08.2010, 00:04 **[ТС]**

Евгений М., из двух уравнений находим t1 и t2 подставляем их в третье если равенство соблюдается значит мы нашли точку пересечения, если нет значит таковой не существует... Какие 2 уравнения взять смотрим по определителю системы, чтобы он был отличен от нуля.

Евгений М. · 05.08.2010, 05:30

Сообщение от AKE

Какие 2 уравнения взять смотрим по определителю системы, чтобы он был отличен от нуля.

Аха. Это уже обосновано.

Добавлено:
А что если ранг системы равен 1? Или почему такого не случится?

@AKE · 05.08.2010, 17:55 **[ТС]**

Евгений М.,Если ранг равен 1 то определитель нулевой и мы берём другую систему и если у всех ранг равен 1 значит прямые параллельны...

Евгений М. · 05.08.2010, 19:07

Хм... У меня совпадают. См. вложение.
А хотя Вы правы. Совпадающие - это частный случай параллельных.
У Вас получился пример, у которых прямые были параллельные, но не совпадающие? Че-то мне кажется, что если ранг=1 то прямые совпадают.

Евгений М. · 05.08.2010, 20:13

Я рассмотрел 2 случая, когда ранг матрицы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} l_1 & -l_2 & x_2 - x_1 \\ m_1 & -m_2 & y_2 - y_1 \\ n_1 & -n_2 & z_2 - z_1 \end{pmatrix}$
равен 1.
В обеих случаях будут совпадающие прямые. Сами условия и док-во во вложении.
Но проблема с таким рангом еще не решена т.к. рассмотрены не все случаи.

Не по теме:

Почерк дает о себе знать. Но думаю идею можно понять.

@AKE · 05.08.2010, 20:43 **[ТС]**

Я к сожалению не очень понял доказательство. Я говорил про определитель (и ранг) другой системы:
из
x1+l1t1=x2+l2t2
y1+m1t1=y2+m2t2
z1+n1t1=z2+n2t2
получаем:

l1 -l2
m1 -m2
n1 -n2
и отсюда я получаю определители и уравнения...

Евгений М. · 06.08.2010, 00:06

Я вообще-то про это-же говорил.

Сообщение от AKE

Я к сожалению не очень понял доказательство.

А сами условия надеюсь поняли? Вообщем две строки/столбцы матрицы получаются умножением третей строки/столбца на число. Само доказательство несложное, можно самому легко вывести. Кстати там где я написал "К.в. прямой №1" означао "Канонический вид уравнения прямой №1".

Day · 08.08.2010, 19:32

Немного теории.
Пусть прямые задаются точками a, b и направляющими векторами u, v
НЕОБХОДИМОЕ условие переесечения - ранг (матрицы из векторов ab, u, v) <= 2 (компланарность)
Ежели это условие выполняется, надо рассмотреть варианты:
а) Вектора u, v - неколлинеарны - есть единственное пересечение
б) Они коллинеарны.
б1) вектор ab им неколлинеарен - прямые параллельны
б2) вектор ab им коллинеарен - прямые совпадают
Вообще-то этому топику место в разделе "Математика"...

Day 1171 / 981 / 83 Регистрация: 29.10.2009 Сообщений: 1,386
	08.08.2010, 19:32	14
	Немного теории. Пусть прямые задаются точками a, b и направляющими векторами u, v НЕОБХОДИМОЕ условие переесечения - ранг (матрицы из векторов ab, u, v) <= 2 (компланарность) Ежели это условие выполняется, надо рассмотреть варианты: а) Вектора u, v - неколлинеарны - есть единственное пересечение б) Они коллинеарны. б1) вектор ab им неколлинеарен - прямые параллельны б2) вектор ab им коллинеарен - прямые совпадают Вообще-то этому топику место в разделе "Математика"... 0

@AKE 11 / 11 / 3 Регистрация: 09.05.2010 Сообщений: 384
		1
	Точка пересечения двух пространственных прямых? 04.08.2010, 20:46. Просмотров 10628. Ответов 13 Метки нет (Все метки) Как найти точку пересечения пространственных прямых, заданных параметрически? Или установить что её не существует? 0

Евгений М. 1077 / 1003 / 106 Регистрация: 28.02.2010 Сообщений: 2,889
	04.08.2010, 21:30	3
	Про расположение двух прямых в пространстве читаем здесь. Теперь как находит, где они пересекаются. Имеем прямые, которые описаны так: http://twt.mpei.ru/math/Ang/img/AG_04050000_1.GIF (1) В точке, где эти прямые пересекаются имеет место равенство: x1+l1t=x2+l2t y1+m1t=y2+n2t z1+n1t=z2+n2t Для нахождения t выбираем то уравнение, в котором координаты направляющих векторов одновременно не равны нулю. Значение t подставляем в любую систему уравнений из (1) и находим точку где они пересекаются. Этот алгоритм я только-что вывел. Если что могу ошибаться. Добавлено через 29 секунд Ой уже код успел вставить пока я писал... Добавлено через 7 минут AKE, Вы лучше скажите как Вы вывели то, что написали в коде программы. А то сложно понять. 0

@AKE 11 / 11 / 3 Регистрация: 09.05.2010 Сообщений: 384
	04.08.2010, 21:38 [ТС]	4
	Евгений М., спасибо. Я вывел это примерно основываясь на том, что вы написали. Только вот t там будут разные в левых и правых равенствах... x1+l1t1=x2+l2t2 y1+m1t1=y2+n2t2 z1+n1t1=z2+n2t2 Я решаю одну систему из 2х уравнений относительно t1 и t2 и подставляю в третье уравнение... 0

@Eugeniy 3128 / 1321 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	04.08.2010, 22:07	5
	AKE, очень просто, для этого всего лишь надо записать эти уравнения в параметрическом виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} {x}_{1}={a}_{1}+{b}_{1}t & \\ .... \\ {x}_{n}={a}_{n}+{b}_{n}t & \end{cases}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} {x}_{1}={l}_{1}+{m}_{1}\tau & \\ .... \\ {x}_{n}={l}_{n}+{m}_{n}\tau & \end{cases}$ Далее в этих двух системах приравниваете первые строки и находите взаимосвязь между t и tau Получаете линейное уравнение от двух переменных. Далее во все последующее строки второй системы подставляете вместо tau t и находите такое значение t чтобы правая часть первой и второй системы были равны, если такое есть значит прямые пересекаются, если нету значит нет. 1

Евгений М. 1077 / 1003 / 106 Регистрация: 28.02.2010 Сообщений: 2,889
	04.08.2010, 22:27	6
	Сообщение от AKE Только вот t там будут разные в левых и правых равенствах . Да, да, да. Не учел Добавлено через 2 минуты Сообщение от AKE Я решаю одну систему из 2х уравнений относительно t1 и t2 и подставляю в третье уравнение.. Это как? Че-то я сильно сомневаюсь что так будет правильно. Вы уверены в этом? 0

@AKE 11 / 11 / 3 Регистрация: 09.05.2010 Сообщений: 384
	05.08.2010, 00:04 [ТС]	7
	Евгений М., из двух уравнений находим t1 и t2 подставляем их в третье если равенство соблюдается значит мы нашли точку пересечения, если нет значит таковой не существует... Какие 2 уравнения взять смотрим по определителю системы, чтобы он был отличен от нуля. 0

Евгений М. 1077 / 1003 / 106 Регистрация: 28.02.2010 Сообщений: 2,889
	05.08.2010, 05:30	8
	Сообщение от AKE Какие 2 уравнения взять смотрим по определителю системы, чтобы он был отличен от нуля. Аха. Это уже обосновано. Добавлено: А что если ранг системы равен 1? Или почему такого не случится? 0

@AKE 11 / 11 / 3 Регистрация: 09.05.2010 Сообщений: 384
	05.08.2010, 17:55 [ТС]	9
	Евгений М.,Если ранг равен 1 то определитель нулевой и мы берём другую систему и если у всех ранг равен 1 значит прямые параллельны... 0

@AKE 11 / 11 / 3 Регистрация: 09.05.2010 Сообщений: 384
	05.08.2010, 20:43 [ТС]	12
	Я к сожалению не очень понял доказательство. Я говорил про определитель (и ранг) другой системы: из x1+l1t1=x2+l2t2 y1+m1t1=y2+m2t2 z1+n1t1=z2+n2t2 получаем: l1 -l2 m1 -m2 n1 -n2 и отсюда я получаю определители и уравнения... 0

Евгений М. 1077 / 1003 / 106 Регистрация: 28.02.2010 Сообщений: 2,889
	06.08.2010, 00:06	13
	Я вообще-то про это-же говорил. Сообщение от AKE Я к сожалению не очень понял доказательство. А сами условия надеюсь поняли? Вообщем две строки/столбцы матрицы получаются умножением третей строки/столбца на число. Само доказательство несложное, можно самому легко вывести. Кстати там где я написал "К.в. прямой №1" означао "Канонический вид уравнения прямой №1". 1

Опции темы