Найти угол между векторами

@Вероника_В · Регистрация: 11.09.2015

В правильном тетраэдре АВСD М и N - центры граней ВСD и АСD соответственно. Найти угол между векторами AM и BN .

@slava_psk · 27.11.2017, 14:27

AM и BN - это высоты правильного тетраэдра.Если их считать векторами то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\vec{AM} \right|=\left|\vec{BN} \right|=d$ . Они по свойствам правильного тетраэдра пересекаются, т.е лежат в одной плоскости. А поскольку AM перпендикулярна BCD, то и эта плоскость будет перпендикулярна основанию. Выберем прямоугольную систему координат так, что ось OZ совпадет с AM, а координатная плоскость Z0X пройдет через плоскость в которой лежат высоты AM и BN. Если угол между гранями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta =70.53$ градуса (это свойство правильного тетраэдра), то в нашей системе координат вектор [LATEX]\vec{BN}[LATEX], лежащий в плоскости Z0X, будет наклонен к плоскости BCD под углом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha =\frac{\pi }{2}-\beta$ .Находим координаты векторов в нашей системе координат: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{AM}(0,0,d)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{BN}(dcos\alpha ,0,dsin\alpha )$

Находим угол между векторами из их скалярного произведения:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{AM}*\vec{BN}={d}^{2}cos\gamma ={d}^{2}sin\alpha ={d}^{2}cos\beta$ ; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\gamma =\beta =70.53$ градуса

@Вероника_В 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.09.2015 Сообщений: 67
		1
	Найти угол между векторами 26.11.2017, 16:20. Показов 4286. Ответов 1 Метки нет (Все метки) В правильном тетраэдре АВСD М и N - центры граней ВСD и АСD соответственно. Найти угол между векторами AM и BN . 0

@slava_psk 626 / 433 / 217 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,004
	27.11.2017, 14:27	2
	Сообщение было отмечено Вероника_В как решение Решение AM и BN - это высоты правильного тетраэдра.Если их считать векторами то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|\vec{AM} \right\|=\left\|\vec{BN} \right\|=d$ . Они по свойствам правильного тетраэдра пересекаются, т.е лежат в одной плоскости. А поскольку AM перпендикулярна BCD, то и эта плоскость будет перпендикулярна основанию. Выберем прямоугольную систему координат так, что ось OZ совпадет с AM, а координатная плоскость Z0X пройдет через плоскость в которой лежат высоты AM и BN. Если угол между гранями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\beta =70.53$ градуса (это свойство правильного тетраэдра), то в нашей системе координат вектор [LATEX]\vec{BN}[LATEX], лежащий в плоскости Z0X, будет наклонен к плоскости BCD под углом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha =\frac{\pi }{2}-\beta$ .Находим координаты векторов в нашей системе координат: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{AM}(0,0,d)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{BN}(dcos\alpha ,0,dsin\alpha )$ Находим угол между векторами из их скалярного произведения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{AM}*\vec{BN}={d}^{2}cos\gamma ={d}^{2}sin\alpha ={d}^{2}cos\beta$ ; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\gamma =\beta =70.53$ градуса 1

Опции темы

Найти угол между векторами

Решение