Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Геометрия
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 5.00/8: Рейтинг темы: голосов - 8, средняя оценка - 5.00
6 / 6 / 0
Регистрация: 30.03.2017
Сообщений: 113
1

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми

11.12.2018, 09:53. Показов 1594. Ответов 15
Метки нет (Все метки)

Задача: На ребрах АВ, СС1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q и R — середины этих ребер. Считая АВ = а, найдите расстояние между прямой В1D1 и прямой: 1) DP; 2)DQ; 3)DR

Ну с первой все понятно расстояние будет равно а, т.к. прямые расположены на параллельных плоскостях и расстояние между ними будет равно стороне АА1

Начал решать вторую, и вроде решил, но с ответом не сходится, по вычислениям вроде все верно, возможно неправильно чертеж сделал или нахожу совершенно другое. (чертеж прилагаю) - я посчитал, что расстояние между прямыми будет равно высоте MP
0
Миниатюры
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми  
Лучшие ответы (1)
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
11.12.2018, 09:53
Ответы с готовыми решениями:

Расстояние между скрещивающимися прямыми
Нужно в общем виде объяснить три способа нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в...

Расстояние между скрещивающимися прямыми
Всем привет! На картинке присутствует условие + выполнен чертеж + алгоритмические выкладки. Меня...

Расстояние между скрещивающимися прямыми в призме
Всем привет! Есть такая задача: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона...

Расстояние между скрещивающимися прямыми в параллелепипеде
Всем привет! Условие задачи такое: В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона...

15
Эксперт по математике/физике
6050 / 4595 / 2211
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 10,006
11.12.2018, 10:43 2
Вроде бы правильно, а какой ответ в учебнике?
0
6 / 6 / 0
Регистрация: 30.03.2017
Сообщений: 113
11.12.2018, 11:26  [ТС] 3
В учебнике https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a\sqrt{6}}{3}

а у меня https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a\sqrt{3}}{3}

может где в расчетах ошибся надо пересчитать

Добавлено через 10 минут
Как лучше найти значения KQ и MQ? может я в них ошибся
0
Эксперт по математике/физике
6050 / 4595 / 2211
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 10,006
11.12.2018, 13:56 4
Ответ в учебнике верный, значит, ошиблись в расчетах (очень элементарных). Имейте в виду, что тот же ответ можно записать по-другому (у меня так и получилось сначала): https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. Следующий вариант 3) куда интереснее и труднее.
1
Эксперт по математике/физике
3780 / 2798 / 845
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 5,850
11.12.2018, 15:33 5
Цитата Сообщение от dark_te18 Посмотреть сообщение
возможно неправильно чертеж сделал
Очень странный чертеж. На нем две точки Р. Вообще удивляюсь, как уважаемый mathidiot сумел в нем разобраться. Расстояние между B1D1 и DQ - это высота в треугольнике DD1Q, опущенная на DQ, по-моему.
0
Эксперт по математике/физике
6050 / 4595 / 2211
Регистрация: 14.01.2014
Сообщений: 10,006
11.12.2018, 15:54 6
На чертеже ТС конечно не видно, что именно отрезок МР является расстоянием между скрещивающимися прямыми, но это действительно так, я делал дополнительные построения на бумаге, а не просто увидел. Скорей всего ТС кто-то подсказал, вряд ли он сам мог это понять, если потом не справился с элементарными вычислениями.
0
6 / 6 / 0
Регистрация: 30.03.2017
Сообщений: 113
11.12.2018, 17:13  [ТС] 7
Нет, сам строил все, а с элементарным у меня всегда так, решение всегда простейшее, а я вечно лезу в какие нибудь дебри
0
Модератор
Эксперт по математике/физике
6277 / 4006 / 1485
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,474
Записей в блоге: 4
11.12.2018, 20:11 8
Лучший ответ Сообщение было отмечено dark_te18 как решение

Решение

3)
1. Строим два треугольника - синий PB1D1 и салатовый BDR которые лежат на палаллельных плоскостях, содержащих нужные скрещивающиеся прямые B1D1 и DR.
2. Достраиваем плоскость салатового треугольника до сечения куба - трапеция BGRD. GR - средняя линия треугольника B1C1D1. Нужно найти расстояние от B1D1 до плоскости этого сечения.
3. Через точку E1 (середину B1D1) проводим перпендикулярную к B1D1 плоскость, построенную на двух перпендикулярных к B1D1 отрезках - EE1 и E1С1. Эта плоскость пересекает плоскость салатового сечения по высоте трапеции BGRD. Искомое расстояние равно высоте треугольника EE1H, т.е. высоте этого треугольника E1J. Но этот отрезок не есть общий перпендикуляр, он только равен ему.
3. Салатовая трапеция BGRD имеет основания https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a}{\sqrt{2}}, \: \frac{a}{2 \sqrt{2}} и боковые стороны (DR=BG) по https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a \sqrt{5}}{2}, а значит, высоту https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?EH=\frac{3a }{2\sqrt{2}}
4. В треугольнике EE1H (прямоугольном) известны катеты https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a, \: \frac{a}{2 \sqrt{2}} и гипотенуза https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?EH=\frac{3a}{2 \sqrt{2}}, а нужно найти высоту на гипотенузу. Она равна https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1J=\frac{EE_1 \cdot E_1H}{EH}=\frac{a}{3}. Это ответ.
Конечно, я не всё здесь доказываю, иначе текст растянется. Оставляют это для ТС.
P.S. Если нужно построить сам отрезок - общий перпендикуляр, то проводим через J отрезок параллельный основаниям трапеции до пересечения с салатовым отрезком DR, через точку этого пересечения проводим отрезок параллельный E1J до пересечения с B1D1, который и будет общим перпендикуляром.
2
Миниатюры
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми  
6 / 6 / 0
Регистрация: 30.03.2017
Сообщений: 113
12.12.2018, 15:22  [ТС] 9
Спасибо большое так заморочились ради меня все расписали подробно

Добавлено через 3 минуты
Можно спросить где вы строили такой чертеж? довольно полезный навык
0
Модератор
Эксперт по математике/физике
6277 / 4006 / 1485
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,474
Записей в блоге: 4
12.12.2018, 16:08 10
В Geogebra.
1
6 / 6 / 0
Регистрация: 30.03.2017
Сообщений: 113
12.12.2018, 16:45  [ТС] 11
а вот в задаче 2 у меня все никак не получается

MK = a
KQ нужно найти из треугольника KQD (получилось https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a\sqrt{2}}{3}) правильно?

и как теперь найти MQ треугольник же MKQ вроде не прямоугольный? или я ошибаюсь?
0
Модератор
Эксперт по математике/физике
6277 / 4006 / 1485
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,474
Записей в блоге: 4
12.12.2018, 18:29 12
dark_te18, нашёл описку в пункте 3. - салатовая трапеция имеет основания в 2 раза больше указанных, то есть https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a \sqrt{2}, \: \frac{a \sqrt{2}}{2}, боковая сторона правильная и дальше все остальные вычисления правильные. В Геогебре при построении отрезков в поле слева автоматически выводит их длины. Так как я брал сторону квадрата равной 5, то отрезок E1J получился равным (у Геогебры) 1,667, то есть 5/3. Значит, ответ действительно a/3.

По поводу задачи 2) суть та же. Хотя можно решить (как и задачу 3) ) методами аналитической геометрии - составить уравнения двух параллельных плоскостей https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ax+by+cz+d_{1,2}=0, на которых лежат эти скрещивающиеся прямые, и дальше воспользоваться формулой расстояния между этими плоскостями https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho =\frac{\left|d_2-d_1 \right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
А если делать так же, как и задачу 3), то
Цитата Сообщение от dark_te18 Посмотреть сообщение
KQ нужно найти из треугольника KQD (получилось ) правильно?
Правильно, хотя это и не нужно.
Цитата Сообщение от dark_te18 Посмотреть сообщение
треугольник же MKQ вроде не прямоугольный?
Не прямоугольный.
Можно рассмотреть угол QKC с известным тангенсом https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt{2}}, а это угол равен углу KMJ (MJ - искомое расстояние между плоскостями), тогда https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MJ=MK \cdot \cos\left(  \text{arctg}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=a \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a \sqrt{6}}{3}
1
Миниатюры
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми  
6 / 6 / 0
Регистрация: 30.03.2017
Сообщений: 113
12.12.2018, 18:38  [ТС] 13
Спасибо я как раз сам смог решить эту задачку)))

просто чертеж сделал более понятный и сразу разобрал что и куда (все же в геометрии всегда чертеж решает все)

По факту в конце у меня вышло что расстояние равно https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{KC*MK}{KQ}
0
Модератор
Эксперт по математике/физике
6277 / 4006 / 1485
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,474
Записей в блоге: 4
12.12.2018, 19:02 14
А методами аналитической геометрии было бы так: если заданные прямые имеют параметрический вид
верхняя https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=B_1+\bar{L}_1u, \: u \in R и нижняя https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=D+\bar{L}_2v, \: v \in R, то уравнения параллельных плоскостей, содержащих эти прямые, имеют тогда уравнения https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( X-B_1,\left[ \bar{L}_1,\bar{L}_2\right]\right)=0, \: \left( X-D,\left[ \bar{L}_1,\bar{L}_2\right]\right)=0 соответственно. Выше я писал формулу для расстояния между параллельными прямыми - вычитаем два уравнения одно от другого и делим модуль этой разности на длину нормального вектора (векторного произведения), получаем https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho =\frac{\left|\left(B_1-D, \left[ \bar{L}_1,\bar{L}_2\right]\right) \right|}{\left| \left[ \bar{L}_1,\bar{L}_2\right]\right|}.
B1(0;0;a), D(a;a;0),
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{L}_1 \parallel \bar{B_1D_1}\left(a;a;0 \right) \: \Rightarrow \: \bar{L}_1\left(1;1;0 \right)\\\bar{L}_2 \parallel \bar{DQ}\left(-a;0;\frac{a}{2} \right) \: \Rightarrow \: \bar{L}_2\left(-1;0;\frac{1}{2} \right)\\\left[\bar{L}_1,\bar{L}_2 \right]=\bar{\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};1 \right)} \parallel \bar{\left(1;-1;2 \right)}\\\rho =\frac{\left|\left(\bar{\left(-a;-a;a \right)},\bar{\left(1;-1;2 \right)} \right) \right|}{\left|\bar{\left(1;-1;2 \right)} \right|}=\frac{\left|-a+a+2a \right|}{\sqrt{6}}=\frac{2a}{\sqrt{6}}=\frac{a \sqrt{6}}{3}
0
6 / 6 / 0
Регистрация: 30.03.2017
Сообщений: 113
12.12.2018, 19:29  [ТС] 15
сколько способов решения а я не смог сразу решить все без вашей помощи, спасибо огромное
0
1634 / 872 / 154
Регистрация: 24.02.2013
Сообщений: 2,306
Записей в блоге: 12
12.12.2018, 21:09 16
Можно еще так.
0
Миниатюры
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми  
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
12.12.2018, 21:09

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Расстояние между скрещивающимися прямыми в треугольной призме
Всем привет! Есть такая задачка: В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания...

Расстояние между скрещивающимися прямыми,правильная 4-х уг. пирамида
Правильная четырехугольная пирамида MABC, все ребра равны 1.Найти расстояние между MA и BC. ...

Расстояние между скрещивающимися прямыми, правильная треугольная призма
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 3....

Задача на расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в общем виде
Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми =b1 =b2


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
16
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.