Найти уравнение эллипса, вписанного в треугольник

@one man · Регистрация: 09.06.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Пришла мода на эллипсы, и хочется посмотреть на решение такой задачи.

@Nacuott · 26.06.2020, 10:09

Задача однозначно не решается.

@one man · 26.06.2020, 10:20 **[ТС]**

Что поделаешь, такая вот задача. Виктор Афанасьевич, а когда нам с Вами мешала неоднозначность?

@mihailm · 26.06.2020, 10:38

Окружность вписанная это раз)

@one man · 26.06.2020, 10:41 **[ТС]**

Процесс пошёл...

@Nacuott · 26.06.2020, 10:42

Алексей Борисович, на эллипс можно наложить условия.Например, наибольшей (наименьшей) площади, тогда задача, по-видимому, будет однозначной.

@one man · 26.06.2020, 16:40 **[ТС]**

Не, это мы недавно здесь проходили, давайте все посмотрим. Раз уж пошли эллипсы, то пусть без ограничений - только треугольник.

@jogano · 26.06.2020, 18:48

Очень сложные формулы... Но сделано. Нужно знать координаты трёх вершин треугольника и матрицу М искомого уравнения эллипса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}M\bar{x}^T+2\bar{x}\bar{b}^T+c=0$ , вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{b}$ и константа с вычисляются.
Например, для А(-4;0), B(6;4), C(2;-8) и матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=\begin{pmatrix}5 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$ выходит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{b}\left(-1,8690;3,7584 \right), \: c=-16,1140$ , то есть уравнение искомого эллипса
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5x^2+2xy+2y^2-3,738x+7,5168y-16,1140=0$
Либо дайте свои данные, я пересчитаю (считает Матлаб, рисует Геогебра).

@mihailm · 26.06.2020, 19:12

А вневписанными эллипсами мы интересуемся?)

@jogano · 26.06.2020, 19:14

mihailm, мне хватило и этого.

@mihailm · 26.06.2020, 19:43

Сообщение от Nacuott

на эллипс можно наложить условия.Например, наибольшей (наименьшей) площади

Наименьшая то площадь явно нуль, а вот наибольшая площадь, это хорошая постановка.
И есть подозрение, что это не окружность.
Так как если взять сильно тупоугольный треугольник, то мне кажется, что у наибольшего эллипса будет большая ось примерно параллельна большей стороне треугольника и гораздо больше меньшей оси.

@one man · 26.06.2020, 20:05 **[ТС]**

Хотелось именно с помощью системы уравнений описать всё множество вписанных в треугольник эллипсов. Множество точек конкретного эллипса задаётся или одним неявным, или тремя явными уравнениями, а вот множество самих эллипсов как задать, непонятно.

Сообщение от jogano

Очень сложные формулы... Но сделано.

Действительно, не так всё просто, когда неоднозначно. Например, аналог Вашего подхода – только в виде набора (взятого из бесконечного подмножества всех решений).

Кликните здесь для просмотра всего текста

Найти уравнение эллипса, вписанного в треугольник

Таким образом, мы численно, вроде, можем получить все решения. Как составить исходную систему, и возможно ли это?
Опять же, по причине появления моды на эллипсы.

@mihailm · 26.06.2020, 20:12

one man, в вашей анимации не встречается окружность, или мне показалось?

@one man · 26.06.2020, 20:15 **[ТС]**

Сообщение от jogano

считает Матлаб, рисует Геогебра

Ваш треугольник, Maple.

Кликните здесь для просмотра всего текста

@one man · 26.06.2020, 20:19 **[ТС]**

Сообщение от mihailm

one man, в вашей анимации не встречается окружность, или мне показалось?

Не знаю, может быть. Это же не все решения.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от one man

или тремя явными уравнениями,

Двумя, конечно.

@jogano · 26.06.2020, 20:41

Вот m-функция Матлаба, дающая одно решение.

Matlab M

function [b,c]=Elipso(A,B,C,M)
% функция ищет вектор b и константу с уравнения вписанного в треугольник
% АВС эллипса с уравнением XMX'+2bX'+c=0. А,В,С,b - вектора-строки, М - 
% симметричная положительно определённая матрица 2*2
% Тестовые исходные данные: [b c]=Elipso([-4 0],[6 4],[2 -8], [5 1; 1 2])
b1=inv([(B-A)*sqrt((C-A)*M*(C-A)')-(C-A)*sqrt((B-A)*M*(B-A)');-(B-A)*sqrt((C-B)*M*(C-B)')-(C-B)*sqrt((B-A)*M*(B-A)')])*[sqrt((B-A)*M*(B-A)')*(C-A)*M*A'-sqrt((C-A)*M*(C-A)')*(B-A)*M*A';sqrt((B-A)*M*(B-A)')*(C-B)*M*B'+sqrt((C-B)*M*(C-B)')*(B-A)*M*B'];
b=b1'; % переход от вектора-столбца b1 к вектору-строке b
c=(((B-A)*M*A'+(B-A)*b')^2)/((B-A)*M*(B-A)')-A*M*A'-2*b*A';

Вызов:

Matlab M

>> [b c]=Elipso([-4 0],[6 4],[2 -8], [5 1; 1 2])
 
b =
 
   -1.8690    3.7584
 
 
c =
 
  -16.1140
 
>>

@Nacuott · 26.06.2020, 23:52

Я делал по-другому. Вокруг произвольного эллипса , заданного параметрически, описал треугольник подобный заданному.
Затем, подсчитав коэффициент подобия, восстановил размер треугольника и соответственно размер эллипса.
Все просто.
Остается вопрос - существуют ли треугольники, для которых найдется эллипс (вписанный в него) , площадь которого будет больше площади вписанной в этот треугольник окружности (круга)?

@one man · 26.06.2020, 23:59 **[ТС]**

Сообщение от mihailm

в вашей анимации не встречается окружность, или мне показалось?

Сейчас на замедленных кадрах можно увидеть изменения коэффициентов в уравнении, соответствующие интервалу появления окружности. Это другое подмножество решений. При меньшей дискретности будет точнее, но тогда не будет анимации из-за объёма.

Кликните здесь для просмотра всего текста

@Nacuott · 27.06.2020, 10:02

Вот пример треугольника, когда площадь вписанного эллипса больше площади вписанного круга.
Задача. Вписать в такой треугольник эллипс наибольшей площади.

@one man · 27.06.2020, 13:53 **[ТС]**

Виктор Афанасьевич, в этой теме посмотрите про эллипсы максимальной площади в треугольнике.

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	26.06.2020, 23:52	17
	Я делал по-другому. Вокруг произвольного эллипса , заданного параметрически, описал треугольник подобный заданному. Затем, подсчитав коэффициент подобия, восстановил размер треугольника и соответственно размер эллипса. Все просто. Остается вопрос - существуют ли треугольники, для которых найдется эллипс (вписанный в него) , площадь которого будет больше площади вписанной в этот треугольник окружности (круга)? 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
		1
	Найти уравнение эллипса, вписанного в треугольник 26.06.2020, 09:50. Показов 2587. Ответов 25 Метки вписанный, треугольник, Эллипс (Все метки) Пришла мода на эллипсы, и хочется посмотреть на решение такой задачи. 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	26.06.2020, 10:09	2
	Задача однозначно не решается. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	26.06.2020, 10:20 [ТС]	3
	Что поделаешь, такая вот задача. Виктор Афанасьевич, а когда нам с Вами мешала неоднозначность? 0

@mihailm 1590 / 1040 / 278 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,123
	26.06.2020, 10:38	4
	Окружность вписанная это раз) 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	26.06.2020, 10:41 [ТС]	5
	Процесс пошёл... 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	26.06.2020, 10:42	6
	Алексей Борисович, на эллипс можно наложить условия.Например, наибольшей (наименьшей) площади, тогда задача, по-видимому, будет однозначной. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	26.06.2020, 16:40 [ТС]	7
	Не, это мы недавно здесь проходили, давайте все посмотрим. Раз уж пошли эллипсы, то пусть без ограничений - только треугольник. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	26.06.2020, 18:48	8
	Очень сложные формулы... Но сделано. Нужно знать координаты трёх вершин треугольника и матрицу М искомого уравнения эллипса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}M\bar{x}^T+2\bar{x}\bar{b}^T+c=0$ , вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{b}$ и константа с вычисляются. Например, для А(-4;0), B(6;4), C(2;-8) и матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=\begin{pmatrix}5 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$ выходит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{b}\left(-1,8690;3,7584 \right), \: c=-16,1140$ , то есть уравнение искомого эллипса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5x^2+2xy+2y^2-3,738x+7,5168y-16,1140=0$ Либо дайте свои данные, я пересчитаю (считает Матлаб, рисует Геогебра). Миниатюры 1

@mihailm 1590 / 1040 / 278 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,123
	26.06.2020, 19:12	9
	А вневписанными эллипсами мы интересуемся?) 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	26.06.2020, 19:14	10
	mihailm, мне хватило и этого. 1

	27.06.2020, 13:53

@mihailm 1590 / 1040 / 278 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,123
	26.06.2020, 19:43	11
	Сообщение от Nacuott на эллипс можно наложить условия.Например, наибольшей (наименьшей) площади Наименьшая то площадь явно нуль, а вот наибольшая площадь, это хорошая постановка. И есть подозрение, что это не окружность. Так как если взять сильно тупоугольный треугольник, то мне кажется, что у наибольшего эллипса будет большая ось примерно параллельна большей стороне треугольника и гораздо больше меньшей оси. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	26.06.2020, 20:05 [ТС]	12
	Хотелось именно с помощью системы уравнений описать всё множество вписанных в треугольник эллипсов. Множество точек конкретного эллипса задаётся или одним неявным, или тремя явными уравнениями, а вот множество самих эллипсов как задать, непонятно. Сообщение от jogano Очень сложные формулы... Но сделано. Действительно, не так всё просто, когда неоднозначно. Например, аналог Вашего подхода – только в виде набора (взятого из бесконечного подмножества всех решений). Кликните здесь для просмотра всего текста Таким образом, мы численно, вроде, можем получить все решения. Как составить исходную систему, и возможно ли это? Опять же, по причине появления моды на эллипсы. 0

@mihailm 1590 / 1040 / 278 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,123
	26.06.2020, 20:12	13
	one man, в вашей анимации не встречается окружность, или мне показалось? 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	26.06.2020, 20:15 [ТС]	14
	Сообщение от jogano считает Матлаб, рисует Геогебра Ваш треугольник, Maple. Кликните здесь для просмотра всего текста 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	26.06.2020, 20:19 [ТС]	15
	Сообщение от mihailm one man, в вашей анимации не встречается окружность, или мне показалось? Не знаю, может быть. Это же не все решения. Добавлено через 2 минуты Сообщение от one man или тремя явными уравнениями, Двумя, конечно. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	26.06.2020, 23:59 [ТС]	18
	Сообщение от mihailm в вашей анимации не встречается окружность, или мне показалось? Сейчас на замедленных кадрах можно увидеть изменения коэффициентов в уравнении, соответствующие интервалу появления окружности. Это другое подмножество решений. При меньшей дискретности будет точнее, но тогда не будет анимации из-за объёма. Кликните здесь для просмотра всего текста 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	27.06.2020, 10:02	19
	Вот пример треугольника, когда площадь вписанного эллипса больше площади вписанного круга. Задача. Вписать в такой треугольник эллипс наибольшей площади. Миниатюры 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	27.06.2020, 13:53 [ТС]	20
	Виктор Афанасьевич, в этой теме посмотрите про эллипсы максимальной площади в треугольнике. 0