Точка пересечения двух окружностей

@Kir@ · Регистрация: 07.02.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здрям!
Я уже вторую неделю не могу решить эту задачу.
Дано:
R1 = 60
Rp = 90
Xp = 63
Yp = 9,67

Даны две окружности радиусами R1 и Rp. Они пересекаются в двух точках.
Составляю систему уравнений:
X^2 + Y^2 = R1^2
(X-Xр)^2 + (Y - Yp)^2 = Rp^2

Если подставить числовые данные, то вычисляется точка пересечения c координатами (61,91;99,66), но если решать аналитически без подстановки значений (а мне именно так и надо), то ничего не получается.
Распишите, пожалуйста, порядок решения этой системы уравнений.

P.S. "Выражаешь первое через второе, а дальше сам догадаешься" - а вот нет, не догадываюсь. Ничего дальше-то и не считается и не сходится у меня

@Igor · 01.04.2011, 13:05

2 уравнение раскрыть, и получится что-то x^2+...+y^2, где x^2+y^2=3600
В принципе стандартная система, единственное, что числа не очень хороши.

@Camelius · 01.04.2011, 13:07

X^2 + Y^2 = R1^2
(X-Xр)^2 + (Y - Yp)^2 = Rp^2 - исходная система

раскрываем скобки во втором уравнении, получим:

X^2 -2*X*Xp + Xp^2 + Y^2 - 2*Y*Yp + Yp^2 = Rp^2

выделенная часть свернется в R1^2

уравнение придет к такому виду:

C1*x+C2*y=C3 где С1 С2 и С3 - коэффициенты, выражаемые через начальные условия

Кстати попробуйте найти их сами

дальее из полученного выражения выразим например Y (но можно и Х)

Y= C3/C2 - C1*X/C2

И подставим в первое уравнение. далее просто находим Y из полученного квадратного уравнения

А как найти Х при известном Y, мне кажется, вам понятно

@Kir@ · 01.04.2011, 17:17 **[ТС]**

Z.I.V, Camelius, спасибо за ответы, но будьте добры без "стандартная схема" и "попробуйте найти сами".
Сделайте, пожалуйста, полную схему расчета. Если альтруистических соображений не хватит, то этот вопрос можно обсудить в аське.

@Camelius · 01.04.2011, 21:28

Сообщение от Camelius

X^2 -2*X*Xp + Xp^2 + Y^2 - 2*Y*Yp + Yp^2 = Rp^2
выделенная часть свернется в R1^2

R1^2 -2*X*Xp + Xp^2 - 2*Y*Yp + Yp^2 = Rp^2

2*X*Xp=R1^2 + Xp^2 - 2*Y*Yp + Yp^2 - Rp^2

В строке ниже X выражен через Y
X = (R1^2 + Xp^2 + Yp^2 - Rp^2 )/(2*Xp) - (Yp/Xp )*Y
Подставите R1^2 + Xp^2 + Yp^2 - Rp^2 )/(2*Xp) - (Yp/Xp )*Y вместо X
в 1 уравнение и решите квадратное уравнение

Проще расписать невозможно.

Получившееся квадратное уравнение все таки решите сами -не бином ньютона.

единственно - писать много, тк не числа а общий вид

PS мы не решаем ваше домашнее\семестровое за вас, а помогаем с решением в сложных моментах

Добавлено через 11 минут

Сообщение от Kir@

Если подставить числовые данные, то вычисляется точка пересечения c координатами (61,91;99,66), но если решать аналитически без подстановки значений (а мне именно так и надо), то ничего не получается.

И кстати у вас получается не одна точка с 4 координатами а две с двумя

@Kir@ · 02.04.2011, 04:12 **[ТС]**

Сообщение от Camelius

PS мы не решаем ваше домашнее\семестровое за вас, а помогаем с решением в сложных моментах

Это не домашнее задание, это б****, кусок научного труда, с которым я бьюсь уже третью неделю

Сообщение от Camelius

И кстати у вас получается не одна точка с 4 координатами а две с двумя

Да, я знаю, что квадратное уравнение имеет два корня, но построение дуги производится в первой четверти, так что точку принимать буду одну.

Спасибо за помощь!

@Kir@ · 05.04.2011, 10:22 **[ТС]**

Не смог я таки решить. Прилагаю свое решение, подскажите, где ошибка.

@Camelius · 10.04.2011, 18:22

Сведите эту систему к более простой

перенесите центр координат в центр одной из окружностей

то бишь сделайте замену U=х-хс V=y-yc

Это резко упростит вид уравнения и сведет к тому что было показано выше

а после получения результата просто перейдите к исходной сетке координат

@Kir@ · 11.04.2011, 17:38 **[ТС]**

Вот именно таким образом я еще и не решал за последний месяц. Спасибо!!!

accept · 12.04.2011, 10:18

Сообщение от Kir@

Дано:
R1 = 60

Rp = 90
Xp = 63
Yp = 9,67

Даны две окружности радиусами R1 и Rp. Они пересекаются в двух точках.

там много окружностей с радиусами R1

@Kir@ · 12.04.2011, 17:42 **[ТС]**

accept, там две окружности: ротора и статор.
Ротор, радиус Рр = 90, координаты: хр, ур.
Статор, радиус Рс = 80, координаты: хс, ус.

Мне символьное решение поиска точек пересечения надо. Не получается оно.

accept · 13.04.2011, 02:29

Код

общее
(x - x0) ^ 2 + (y - y0) ^ 2 = R ^ 2

частные
(x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = R1 ^ 2
(x - x2) ^ 2 + (y - y2) ^ 2 = R2 ^ 2

частные со значениями
(x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = 90 ^ 2
(x - x2) ^ 2 + (y - y2) ^ 2 = 80 ^ 2

частные со всеми первоначальными значениями
(x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = 60 ^ 2
(x - 63) ^ 2 + (y - 9,67) ^ 2 = 90 ^ 2

какие две точки пересечения ты пытаешься найти, если их там огромное множество,
так как центр первой окружности может быть любым

(притом, по обновлённым данным центр второй окружности тоже может быть любым, как и первой, какие две точки ? )

@Kir@ · 13.04.2011, 06:33 **[ТС]**

Радиусы окружностей известны, координаты центров зависят друг от друга. У меня есть входные координаты.

accept · 13.04.2011, 07:15

Сообщение от Kir@

координаты центров зависят друг от друга.

какие там радиусы и центры ?

Сообщение от Kir@

У меня есть входные координаты.

координаты центров ?

@Ynikum · 13.04.2011, 14:01

дайте конкретнее значения

@Kir@ · 21.04.2011, 07:01 **[ТС]**

для статора:
Rс = 80
x = 69.282032 мм
y = 20.000000 мм

Для ротора:
Rр = 80
x = 63.639610 мм
y = -3.639610 мм

accept · 26.04.2011, 08:50

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text{ {(x - 69.282032)}^{2}} + {(y - 20)}^{2} = 6400 \\ & \text{ {(x - 63.63961)}^{2}} + {(y + 3.63961)}^{2} = 6400 \end{cases}$
для начала нужно установить, как эти окружности расположены относительно друг друга
80мм - предположение

@Kir@ · 26.04.2011, 11:23 **[ТС]**

accept, у меня есть и математическое и геометрчиеское решения (с точностью до 25 знаков после запятой).
Как они располагаются, мне тоже известно. Мне надо символьное решение, т.е, к примеру

у1,2 = хс*Рс/ус + ус*РС
х1,2 - таки уже сам наверное вычислю

А цифры для проверки символьного решения.

@yooll · 26.04.2011, 15:42

В новом базисе, где xc=yc=0,
x^2+y^2=Pc^2
(x-xp)^2+(y-yp)^2=Pp^2
решение:
x1.2=(2AB +/- sqrt(4*A^2*B^2-4*(1+B^2)*(A^2-Pc^2)))/(2*(1+B^2));
y1.2=A-B*x;
B=xp/yp;
A=(xp^2+yp^2-Pp^2+Pc^2)/2yp;

sqrt - корень квадратный, значение которого и будет определять количество решений.
+/- это плюс-минус

Решение будет в НОВОМ базисе, для нахождение решения начальной задачи надо будет сделать обратное преобразование.

accept · 27.04.2011, 04:11

Сообщение от Kir@

у меня есть и математическое и геометрчиеское решения

надо вычислить расстояние межу центрами и сравнить его с суммой радиусов
две окружности могут не иметь точек пересечения, могут касаться, а могут пересекаться

Сообщение от Kir@

Мне надо символьное решение, т.е, к примеру

Сообщение от Kir@

А цифры для проверки символьного решения.

нет, вот как раз эти цифры задают две определённые окружности, которые при пересечении дают две определённые точки

после доказательства, что они пересекаются, найди эти две точки, решив систему

@Kir@ 90 / 58 / 7 Регистрация: 07.02.2010 Сообщений: 729
	21.04.2011, 07:01 [ТС]	16
	для статора: Rс = 80 x = 69.282032 мм y = 20.000000 мм Для ротора: Rр = 80 x = 63.639610 мм y = -3.639610 мм 0

@yooll 57 / 57 / 1 Регистрация: 19.04.2011 Сообщений: 136
	26.04.2011, 15:42	19
	В новом базисе, где xc=yc=0, x^2+y^2=Pc^2 (x-xp)^2+(y-yp)^2=Pp^2 решение: x1.2=(2AB +/- sqrt(4A^2B^2-4(1+B^2)(A^2-Pc^2)))/(2(1+B^2)); y1.2=A-Bx; B=xp/yp; A=(xp^2+yp^2-Pp^2+Pc^2)/2yp; sqrt - корень квадратный, значение которого и будет определять количество решений. +/- это плюс-минус Решение будет в НОВОМ базисе, для нахождение решения начальной задачи надо будет сделать обратное преобразование. 0

@Kir@ 90 / 58 / 7 Регистрация: 07.02.2010 Сообщений: 729
		1
	Точка пересечения двух окружностей 01.04.2011, 12:37. Показов 21602. Ответов 25 Метки нет (Все метки) Здрям! Я уже вторую неделю не могу решить эту задачу. Дано: R1 = 60 Rp = 90 Xp = 63 Yp = 9,67 Даны две окружности радиусами R1 и Rp. Они пересекаются в двух точках. Составляю систему уравнений: X^2 + Y^2 = R1^2 (X-Xр)^2 + (Y - Yp)^2 = Rp^2 Если подставить числовые данные, то вычисляется точка пересечения c координатами (61,91;99,66), но если решать аналитически без подстановки значений (а мне именно так и надо), то ничего не получается. Распишите, пожалуйста, порядок решения этой системы уравнений. P.S. "Выражаешь первое через второе, а дальше сам догадаешься" - а вот нет, не догадываюсь. Ничего дальше-то и не считается и не сходится у меня 0

@Igor 4652 / 3404 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	01.04.2011, 13:05	2
	2 уравнение раскрыть, и получится что-то x^2+...+y^2, где x^2+y^2=3600 В принципе стандартная система, единственное, что числа не очень хороши. 0

@Camelius 1 / 1 / 0 Регистрация: 12.01.2011 Сообщений: 7
	01.04.2011, 13:07	3
	X^2 + Y^2 = R1^2 (X-Xр)^2 + (Y - Yp)^2 = Rp^2 - исходная система раскрываем скобки во втором уравнении, получим: X^2 -2XXp + Xp^2 + Y^2 - 2YYp + Yp^2 = Rp^2 выделенная часть свернется в R1^2 уравнение придет к такому виду: C1x+C2y=C3 где С1 С2 и С3 - коэффициенты, выражаемые через начальные условия Кстати попробуйте найти их сами дальее из полученного выражения выразим например Y (но можно и Х) Y= C3/C2 - C1X/C2* И подставим в первое уравнение. далее просто находим Y из полученного квадратного уравнения А как найти Х при известном Y, мне кажется, вам понятно 0

@Kir@ 90 / 58 / 7 Регистрация: 07.02.2010 Сообщений: 729
	01.04.2011, 17:17 [ТС]	4
	Z.I.V, Camelius, спасибо за ответы, но будьте добры без "стандартная схема" и "попробуйте найти сами". Сделайте, пожалуйста, полную схему расчета. Если альтруистических соображений не хватит, то этот вопрос можно обсудить в аське. 0

@Camelius 1 / 1 / 0 Регистрация: 12.01.2011 Сообщений: 7
	01.04.2011, 21:28	5
	Сообщение от Camelius X^2 -2XXp + Xp^2 + Y^2 - 2YYp + Yp^2 = Rp^2 выделенная часть свернется в R1^2 R1^2 -2XXp + Xp^2 - 2YYp + Yp^2 = Rp^2 2XXp=R1^2 + Xp^2 - 2YYp + Yp^2 - Rp^2 В строке ниже X выражен через Y X = (R1^2 + Xp^2 + Yp^2 - Rp^2 )/(2Xp) - (Yp/Xp )Y Подставите R1^2 + Xp^2 + Yp^2 - Rp^2 )/(2Xp) - (Yp/Xp )Y вместо X в 1 уравнение и решите квадратное уравнение Проще расписать невозможно. Получившееся квадратное уравнение все таки решите сами -не бином ньютона. единственно - писать много, тк не числа а общий вид PS мы не решаем ваше домашнее\семестровое за вас, а помогаем с решением в сложных моментах Добавлено через 11 минут Сообщение от Kir@ Если подставить числовые данные, то вычисляется точка пересечения c координатами (61,91;99,66), но если решать аналитически без подстановки значений (а мне именно так и надо), то ничего не получается. И кстати у вас получается не одна точка с 4 координатами а две с двумя 1

@Kir@ 90 / 58 / 7 Регистрация: 07.02.2010 Сообщений: 729
	02.04.2011, 04:12 [ТС]	6
	Сообщение от Camelius PS мы не решаем ваше домашнее\семестровое за вас, а помогаем с решением в сложных моментах Это не домашнее задание, это б**, кусок научного труда, с которым я бьюсь уже третью неделю Сообщение от Camelius** И кстати у вас получается не одна точка с 4 координатами а две с двумя Да, я знаю, что квадратное уравнение имеет два корня, но построение дуги производится в первой четверти, так что точку принимать буду одну. Спасибо за помощь! 0

@Camelius 1 / 1 / 0 Регистрация: 12.01.2011 Сообщений: 7
	10.04.2011, 18:22	8
	Сведите эту систему к более простой перенесите центр координат в центр одной из окружностей то бишь сделайте замену U=х-хс V=y-yc Это резко упростит вид уравнения и сведет к тому что было показано выше а после получения результата просто перейдите к исходной сетке координат 0

@Kir@ 90 / 58 / 7 Регистрация: 07.02.2010 Сообщений: 729
	11.04.2011, 17:38 [ТС]	9
	Вот именно таким образом я еще и не решал за последний месяц. Спасибо!!! 0

accept 4866 / 3288 / 468 Регистрация: 10.12.2008 Сообщений: 10,570
	12.04.2011, 10:18	10
	Сообщение от Kir@ Дано: R1 = 60 Rp = 90 Xp = 63 Yp = 9,67 Даны две окружности радиусами R1 и Rp. Они пересекаются в двух точках. там много окружностей с радиусами R1 0

@Kir@ 90 / 58 / 7 Регистрация: 07.02.2010 Сообщений: 729
	12.04.2011, 17:42 [ТС]	11
	accept, там две окружности: ротора и статор. Ротор, радиус Рр = 90, координаты: хр, ур. Статор, радиус Рс = 80, координаты: хс, ус. Мне символьное решение поиска точек пересечения надо. Не получается оно. 0

	27.04.2011, 04:11

Опции темы

accept 4866 / 3288 / 468 Регистрация: 10.12.2008 Сообщений: 10,570
	13.04.2011, 02:29	12
	Код общее (x - x0) ^ 2 + (y - y0) ^ 2 = R ^ 2 частные (x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = R1 ^ 2 (x - x2) ^ 2 + (y - y2) ^ 2 = R2 ^ 2 частные со значениями (x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = 90 ^ 2 (x - x2) ^ 2 + (y - y2) ^ 2 = 80 ^ 2 частные со всеми первоначальными значениями (x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = 60 ^ 2 (x - 63) ^ 2 + (y - 9,67) ^ 2 = 90 ^ 2 какие две точки пересечения ты пытаешься найти, если их там огромное множество, так как центр первой окружности может быть любым (притом, по обновлённым данным центр второй окружности тоже может быть любым, как и первой, какие две точки ? ) 0

@Kir@ 90 / 58 / 7 Регистрация: 07.02.2010 Сообщений: 729
	13.04.2011, 06:33 [ТС]	13
	Радиусы окружностей известны, координаты центров зависят друг от друга. У меня есть входные координаты. 0

accept 4866 / 3288 / 468 Регистрация: 10.12.2008 Сообщений: 10,570
	13.04.2011, 07:15	14
	Сообщение от Kir@ координаты центров зависят друг от друга. какие там радиусы и центры ? Сообщение от Kir@ У меня есть входные координаты. координаты центров ? 0

@Ynikum 5 / 3 / 2 Регистрация: 09.06.2010 Сообщений: 89
	13.04.2011, 14:01	15
	дайте конкретнее значения 0

accept 4866 / 3288 / 468 Регистрация: 10.12.2008 Сообщений: 10,570
	26.04.2011, 08:50	17
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text{ {(x - 69.282032)}^{2}} + {(y - 20)}^{2} = 6400 \\ & \text{ {(x - 63.63961)}^{2}} + {(y + 3.63961)}^{2} = 6400 \end{cases}$ для начала нужно установить, как эти окружности расположены относительно друг друга 80мм - предположение 0

@Kir@ 90 / 58 / 7 Регистрация: 07.02.2010 Сообщений: 729
	26.04.2011, 11:23 [ТС]	18
	accept, у меня есть и математическое и геометрчиеское решения (с точностью до 25 знаков после запятой). Как они располагаются, мне тоже известно. Мне надо символьное решение, т.е, к примеру у1,2 = хсРс/ус + усРС х1,2 - таки уже сам наверное вычислю А цифры для проверки символьного решения. 0

accept 4866 / 3288 / 468 Регистрация: 10.12.2008 Сообщений: 10,570
	27.04.2011, 04:11	20
	Сообщение от Kir@ у меня есть и математическое и геометрчиеское решения надо вычислить расстояние межу центрами и сравнить его с суммой радиусов две окружности могут не иметь точек пересечения, могут касаться, а могут пересекаться Сообщение от Kir@ Мне надо символьное решение, т.е, к примеру Сообщение от Kir@ А цифры для проверки символьного решения. нет, вот как раз эти цифры задают две определённые окружности, которые при пересечении дают две определённые точки после доказательства, что они пересекаются, найди эти две точки, решив систему 0