Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
 
Рейтинг 4.93/15: Рейтинг темы: голосов - 15, средняя оценка - 4.93
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
1

Что можно сказать о функции?

07.12.2013, 17:34. Просмотров 2916. Ответов 30
Метки нет (Все метки)


Что можно сказать о функции если:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \varepsilon >0https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?  \delta >0 : |x-{x}_{0}|>\delta \Rightarrow |f(x)-f({x}_{0})|>\varepsilon
0
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
07.12.2013, 17:34
Ответы с готовыми решениями:

Что можно сказать о дифференцируемости суммы в точке
Что можно сказать о дифференцируемости суммы f\left(x \right) g\left(x \right) в точке ...

Можно ли сказать, что ряд сходится по достаточному условию сходимости
Дан ряд: \sum ln\sqrt{1+{n}^{2}} Можно ли сказать, что он сходится по достаточному условию...

Что можно сказать о поведении функции в окрестности точки?
Что можно сказать о поведении функции z=f(x,y)в окресностито чки Мо, если z'(Mo)=0(по х), z'(Mo)=3...

Что можно сказать о матрицах A и B если существуют AB и BA и AB=BA
Помогите пожалуйста .Что можно сказать о матрицах A и B если существуют AB и BA и AB=BA

__________________
Помогаю в написании студенческих работ здесь.
30
4645 / 3398 / 360
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,202
Записей в блоге: 2
07.12.2013, 18:24 2
Сергей4, а случаем, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
|x-{x}_{0}|\ <\ \delta \ ?
0
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
07.12.2013, 18:36  [ТС] 3
Igor, в этом то и проблема что нет
0
Эксперт по математике/физике
4144 / 2048 / 422
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 3,102
Записей в блоге: 23
08.12.2013, 00:29 4
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\exists \varepsilon > 0: \; \forall \delta > 0: \; \left[\| f(x) - f(x_0) \| < \varepsilon \;\Rightarrow\; \left| x-x_0 \right| < \delta\right]

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\exists \varepsilon > 0: \; \| f(x) - f(x_0) \| < \varepsilon \;\Rightarrow\; \left[\forall \delta > 0: \; \left| x-x_0 \right| < \delta\right]

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\exists \varepsilon \gt 0: \; \| f(x) - f(x_0) \| \lt \varepsilon \;\Rightarrow\; x=x_0

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\exists \varepsilon \gt 0: \; x\neq x_0 \;\Rightarrow\; \| f(x) - f(x_0) \| \gt \varepsilon

Вставил квадратные скобки для понятности. Первое берётся из закона контрапозиции для внутреннего выражения.
Второй переход сложен для меня. Интуитивно понимаю, что если A свободно от x, то https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall x. A\to B эквивалентно https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\to \forall x.B, но формально доказать пока не могу.
Третий переход очевиден, по крайней мере для адекватных метрических пространств.
Четвертый — та же контрапозиция.

Если бы ещё был квантор всеобщности по x, то можно было б сказать, что https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x_0) является изолированной точной полного образа, и функция непрерывной была тогда и только тогда, когда https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0 также была бы изолированной в области определения. Но квантора я не вижу.
0
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
08.12.2013, 13:25  [ТС] 5
Mysterious Light, эээээ а проще можно я же ток на 1ом курсе и всякие хитрые словечки типа контрапозиция изолированная точка полного образа меня немного пугают. и еще этот странный перенос квантора. и чего мы получили то? что можно сказать о функции?
0
Эксперт по математике/физике
4144 / 2048 / 422
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 3,102
Записей в блоге: 23
08.12.2013, 15:12 6
Цитата Сообщение от Сергей4 Посмотреть сообщение
я же ток на 1ом курсе и всякие хитрые словечки типа контрапозиция изолированная точка полного образа меня немного пугают
самое время ботать. потом пригодится.

Что такое функция Вы, вероятно, знаете.
Полный образ ф-ции f — это множество https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\operatorname{Im} f = \{ f(x) | x\in \rm{dom} f\}, dom f — область определения функции.
Изолированная точка множетсва M — такая точка x, что некоторая окрестность этой точки x не содержит ниодной точки M.
Если x — изолированная точка обл. опр. f, то f непрерывна всегда по определению непрерывности. В предыдущем сообщении я допустил ошибку.

Закон контрапозиции: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(A\to B) \leftrightarrow (\neg B\to \neg A). Если f тригонометрическая функция, то f непрерывная. Если f не непрерывная, то f не может быть тригонометрической.

По поподу переноса квантора: это сложный для меня вопрос, потому что логику первого порядка (предикатов) я знаю плохо. На чисто бытовом уровне поясню смысл переноса.
Пусть имеется суждение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall x. A\to B, причем A свободно от x, а B — нет. Для бытовых нужд варианты значений x всегда выражаются неким конкретным множеством, в нашем случае — положительной полуосью действительных чисел. Обозначим это множество M={x1,x2,x3,x4,...}, которое может быть бесконечным, и даже несчетным. Тогда всеобщность мы мыслим как большую конъюнкцию с неопределенным или даже бесконечным числом членов: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\forall x.A\to B) \;=\; (A\to B(x_1)) \;\wedge\; (A\to B(x_2)) \;\wedge\; (A\to B(x_3)) \;\wedge\;\ldots — неформально говоря. Но посылка A не зависит от x, а поэтому она может быть вынесена за скобку, например, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(A\to B)\wedge(A\to C) \;\leftrightarrow\; (A\to(B\wedge C)). Так же и здесь, только в большем масштабе.

Теперь попробую чуток по-формальнее:
Если https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vdash\forall x. A\to B, то https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x,A\vdash B — в предположении A при произвольном x доказуемо B. Тогда https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\vdash \forall x.B, поскольку A от x не зависит, и https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vdash A\to \forall x.B, что и требовалось показать.
Я не уверен, что так можно делать, как сделал.

Ничего конкретного о функции сказать нельзя.
Видно, что f(x0) является изолированной точкой. Больше сказать нечего.

P.S. я ещё в своей правоте не уверен, поэтому кто-нибудь, например, Igor или iifat, меня не оспорит.
0
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
08.12.2013, 15:20  [ТС] 7
Mysterious Light, все же я думаю все проще ибо логика предикатов это дискретная математика и в матан вряд ли ее впихнут.ладно все равно спасибо за то что потратили на меня время
0
Эксперт C
25473 / 15860 / 3393
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 34,710
20.12.2013, 23:37 8
Сергей4, Хм.. Попробуем кванторы разобрать на языке человеческом. Дали вот какое-то Е. (любое) Тогда существует (найдется, типа - мы его найдем, если будет нужно) Д, что если x отстоит от x0 больше чем на Д, то и f(x) будет отстоять от f(x0) больше чем на Е. Да, это с виду похоже на определение непрерывности, но совсем не оно.
Сейчас вот (время позднее) не могу связать все эти кванторы в единую картинку.
На всякий случай посмотри, как себя ведет f(x) = sin(1/x). Но возможно и что-то другое в этом роде.
0
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
20.12.2013, 23:39  [ТС] 9
Байт, эммм там у дельта другой квантор)
0
Эксперт C
25473 / 15860 / 3393
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 34,710
21.12.2013, 00:15 10
Цитата Сообщение от Сергей4 Посмотреть сообщение
Байт, эммм там у дельта другой квантор)
да, простите, я все перепутал. И эпсилон квантор совсем другой имеет. Простите, время позднее. Но если вы все это понимаете, почему-бы вам самому не решить эту нестандартную, но несложную задачку.?

Добавлено через 2 минуты
Сергей4, Кажись, это просто отрицание непрерывности
0
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
21.12.2013, 00:55  [ТС] 11
Байт, да похоже но одно условие не совпадает: то что расстояние больше дельта а в отрицании меньше.печальбеда
0
267 / 125 / 6
Регистрация: 20.10.2013
Сообщений: 196
21.12.2013, 03:50 12
Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
да, простите, я все перепутал. И эпсилон квантор совсем другой имеет. Простите, время позднее. Но если вы все это понимаете, почему-бы вам самому не решить эту нестандартную, но несложную задачку.?

Добавлено через 2 минуты
Сергей4, Кажись, это просто отрицание непрерывности
Нет, это более сильное условие, там написано, что «значение в точке x0 отличается от значения в любой другой точке больше, чем на заданное число». Тобишь если рассмотреть график функции, то будут существовать две прямые параллельные оси абцисс, которые «зажмут» только точку (x,f(x0)) и только её.
Например таковой функцией будет являтся sgn x (функция знака). Вообще непонятно, кому такое определение вообще нужно.

Добавлено через 7 минут
Заметьте, что определение охватывает глобальные свойства функции, её поведение в каждой точке (как раз то самое https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|x-x_0| > \delta) так что просто отрицанием непрерывности в точке это быть не может.
1
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
21.12.2013, 14:02  [ТС] 13
Urnwestek, так я все таки ниче не понял. из условия про дельта получается что x0 какая то бесконечно удаленная точка т к можно взять огромное дельта и расстояние все равно должно быть больше.а разность между значением функции в этой бесконечно удаленной точке и значением в любой другой точке всегда должна быть больше заданного значения. т е есть такая полоса заключенная между f(x0)-E и f(x0)+E в которой будет только эта бесконечно удаленная точка. Получается что это точка разрыва функции. я прав же?
0
Эксперт по математике/физике
4144 / 2048 / 422
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 3,102
Записей в блоге: 23
21.12.2013, 14:39 14
Цитата Сообщение от Сергей4 Посмотреть сообщение
Получается что это точка разрыва функции. я прав же?
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(0) = 0
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = 1, \;\; x \gt 1
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = -1, \;\; x \lt -1
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rm{dom} f = (-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,\infty)
x0=0, для любого x удовлетворяется Ваше условие.

Для такой функции точка 0 не является точкой разрыва, функция f в 0 непрерывна.
Цитата Сообщение от Сергей4 Посмотреть сообщение
можно взять огромное дельта и расстояние все равно должно быть больше
да нет... для любых x и x0 всегда можно взять дельту, которая больше их разности... посылка импликации будет ложной, а сама импликация в целом останется истинной. Так что ничего это ещё не значит.
0
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
21.12.2013, 14:45  [ТС] 15
Mysterious Light, почему это непрерывна предел справа и слева различны 0 точка разрыва самая настоящая. и что за дом? говоря о х0=0: я возьму х=1 а дельта равное 2 и ничего не выполнится
0
Эксперт по математике/физике
4144 / 2048 / 422
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 3,102
Записей в блоге: 23
21.12.2013, 15:55 16
Цитата Сообщение от Сергей4 Посмотреть сообщение
почему это непрерывна предел справа и слева различны 0 точка разрыва самая настоящая.
Предел ни слева, ни справа не существуют в точке 0. Это точка непрерывности в силу изолированности.
dom — область определения функции. Ещё раз подчеркну, что на отрезке (-1,1) моя функция не определена нигде, кроме точки 0.
Цитата Сообщение от Сергей4 Посмотреть сообщение
говоря о х0=0: я возьму х=1 а дельта равное 2 и ничего не выполнится
x0=0, x=1, d=2
|x0-d|>d не выполняется, следовательно, импликация |x0-x|>d => |f(x)-f(x0)|>1 выполняется. Не забываем, что из ложной посылки следует всё что угодно, например, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall a\forall b: \;\; a\gt b \Rightarrow a+1\gt b справедливо, несмотря на то, что при a=0 и b=1 посылка ложна (впрочем, как и следствие, что не важно).
0
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
21.12.2013, 16:18  [ТС] 17
Mysterious Light, это ж дискретная метаматематика ничего такого мне нужно только анализ
0
Эксперт по математике/физике
4144 / 2048 / 422
Регистрация: 19.07.2009
Сообщений: 3,102
Записей в блоге: 23
21.12.2013, 16:37 18
Цитата Сообщение от Сергей4 Посмотреть сообщение
Mysterious Light, это ж дискретная метаматематика ничего такого мне нужно только анализ
Не отвлекайтесь. Я не знаю, что Вы называете дискретной математикой, оную не учил и, вероятно, не знаю. Я Вам ответил, опираясь на двухгодичный курс матана, который мне вычитали в институте (по книгам Яковлева, по книге Тер-Крикорова и Шабунина).

Повторю: я привел пример функции. которая непрерывна в точке x0 и удовлетворяет Вашему условию (из первого поста).

На всякий случай поставлю такой вопрос:
f(x)=x непрерывна в точке x=0. По опр. непрерывности https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall \varepsilon>0\exists \delta>0 \forall x: \;\; |x| < \delta \Rightarrow |f(x)| < \varepsilon. Пусть https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon=1, выберем дельту, которая существует; я знаю, что любую дельту, какую бы вы не выбрали, будет больше 1. ОК. Итак, напрямую из определения непр. следует, что
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\exists \delta>0 \forall x: \;\; |x| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x)| < 1
Допустим, Вы сказали, что дельта равна 1. Получится
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall x: \;\; |x| \lt 1 \;\Rightarrow\; |f(x)| = |x| \lt 1
Интиуция подсказывает, что это утверждение справедливо, что характерно, ведь f(x)=x таки непрерывна в 0.
Однако... что будет, если мы возьмем x=2?
Посылка |x|<1 ложна, как и следствие |f(x)|<1. А импликация |x|<1 => |x|<1 истинна. Вообще, импликация https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\Rightarrow A всегда истинна, независимо от истинности A.
0
267 / 125 / 6
Регистрация: 20.10.2013
Сообщений: 196
22.12.2013, 00:24 19
Добавлено через 6 минут
Mysterious Light, что-то вы не то говорите. sgn x в нуле конечно же разрывна. и конечно же она не изолированна.
И конечно же если пара (точка, функция) удовлетворяет условию, то это точка разрыва либо изолированная точка, однако обратное — неверно.

Добавлено через 6 минут
А, не заметил что у вас x>1, x<1 и 0 не принадлежит области опредления. Ну пример всё-равно неправильный. Если x0=0, и x0 не в области определения то f(x_0) попросту взять нельзя, а значит, нельзя и записать условие (очевидно что там имелись в виду x0 и x из области определения). И x0 не изолирована, «изолированность» точки определена лишь для точек области определения.

Добавлено через 5 минут
А, вчитал ещё раз. x>1, x<-1 и x=0. Тогда да, точка изолирована (а значит и функция в ней непрерывна) и пример правильный, что-то я того...
2
40 / 12 / 6
Регистрация: 29.11.2013
Сообщений: 77
22.12.2013, 00:25  [ТС] 20
Urnwestek, да можно же объяснить внятно?точка разрыва или изолированная точка? че писать то
0
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
22.12.2013, 00:25

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные и любые другие студенческие работы здесь или здесь.

Можно сказать что делегат - шаблон для создания функции?
Можно сказать что делегат - некий шаблон для создания функции?

Что можно сказать о сайте?
Вот сайт. Тематика в двух словах - эвакуатор в Москве. Хотелось бы услышать критику.

Что можно сказать об истинности высказывания A
2. Что можно сказать об истинности высказывания A, если B и C истинные высказывания и при этом:

Что можно сказать о состоянии их рассудка
Помогите пожалуйста решить на Prologe логическую задачу Гусеница и Ящерка Билли дружат. Гусеница...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
20
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.