@nikkka

доказать что непрерывная на отрезке функция имеет на нем интеграл римана.
для этого надо доказать что разница сум дарбу стремится к 0.

раз функция непрерывна на отрезке, значит она равномерна непрерывна на нем. это значит что каждый из произведений стремится к 0, при . вот на этом и застрял. подскажите, в какую сторану думать дальше.

0

@Catstail

- мне кажется, это не так...

0

@helter

Это типа упражнения? Нормально упражнение, обычно бывает как теорема. (Впрочем, у Шилова в качестве упражнения был критерий Лебега. )

Берём ε > 0. По нему найдём δ > 0, чтобы при |x1 - x2| < δ было бы |f(x1) - f(x2) | < ε (равномерная непрерывность). Пусть мелкость разбиения меньше δ. Тогда ясно (мне ясно, а вам?), что для каждого отрезка разбиения разность супремума и инфимума функции по этому отрезку не превосходит 2ε. Тогда разница сумм Дарбу ≤ 2ε(b - a), что по определению предела по разбиениям (вы знаете его) и значит, что разность стремится к 0.

0

@Igor

Теорема Кантора гласит, что непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на нем.

1

@Catstail

0

@nikkka

почему не просто ε?

0

@helter

Перебдил. Ну если не превосходит ε, то не превосходит и 2ε тоже.

Вообще, это хороший момент, тут определение супремума. При фиксированных x1 и x2 имеем
f(x1) - f(x2) < ε.
Если фиксировать только x2, то это верно для всех x1 из отрезка, то есть ε - верхняя граница множества {f(x1) - f(x2) | x1 ∈ отрезку}. А точная верхняя граница этого множества меньше или равна этой границы, поэтому
sup_x1 {f(x1) - f(x2)} ≤ ε
Константу можно вынести из-под sup:
sup_x1 {f(x1)} - f(x2) ≤ ε
Это называется "при фиксированном x2 перейти к супремуму по x1". Теперь переходим к sup по x2, получаем нужную разность.

1

@nikkka

helter, во, все ясно

0