Найти сумму функционального знакопеременного ряда

@~~Eru Iluvatar~~ · 08.12.2014, 13:07. **Показов** 7453. **Ответов** 10

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите решить это задание, не вижу, как можно применить здесь нахождение суммы ряда с помощью почленного интегрирования или дифференцирования, и меня смущает то, что ряд знакочередующийся.

Условие: найти сумму ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{-1}^{n}{x}^{n+1}}{(n+1)(n+2)}$

Для начала я определил область сходимости по признаку Даламбера:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \rightarrow \infty} \begin{vmatrix}\frac{{x}^{n+2}}{(n+2)(n+3)} \frac{(n+1)(n+2)}{{x}^{n+1}}\end{vmatrix} = |x| < 1$

То есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1 < x < 1$

Исследую сходимость ряда на концах:

Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = 1$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ сходится как обобщенный гармонический

Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}{(-1)}^{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{2n+1}}{(n+1)(n+2)}$

Получили не знакочередующийся ряда, потому что числитель всегда будет отрицательным. Исследовать сходимость этого ряда как для обычного знакопостоянного?

Что делать после того, как определен интервал сходимости? Как искать сумму ряда?

Байт · 08.12.2014, 14:00

Сообщение от Eru Iluvatar

Исследовать сходимость этого ряда как для обычного знакопостоянного?

Для полученного тобой ряда - да! А вот ряд при x = 1 будет знакопеременным (-1)ⁿ, что совершенно не важно, ибо ряд сходится абсолютно.

Сообщение от Eru Iluvatar

Как искать сумму ряда?

S = ряд. S' = ... Потом домножь S' на x² и снова продиффиренцируй. Получится геометрическая прогрессия

@~~Eru Iluvatar~~ · 08.12.2014, 14:23 **[ТС]**

Я не понимаю, как тут может получиться геометрическая прогрессия, если ряд знакочередующийся. Вот что у меня вышло:

Расписываю исходный ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S = \frac{x}{2} - \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{12} - ... + \frac{{(1)}^{n}{x}^{n+1}}{(n+1)(n+2)} + ...$

Дифференцирую

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S' = \frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{4} - ... + \frac{{(-1)}^{n}{x}^{n}}{n+2}+...$

Домножаю на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}S' = \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}-...+\frac{{(-1)}^{n}{x}^{n+2}}{n+2}+...$

Снова дифференцирую

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({x}^{2}S)' = x - x^2 + x^3 - ... + {(-1)}^{n}{x}^{n+1}+...$

И получили знакопеременный ряд, для которого нет удобной формулы суммы. Выделить в нем две подпоследовательности по четным и нечетным степеням $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ , найти сумму этих рядов и сложить их?

Байт · 08.12.2014, 15:20

Сообщение от Eru Iluvatar

И получили знакопеременный ряд, для которого нет удобной формулы суммы. Выделить в нем две подпоследовательности по четным и нечетным степеням , найти сумму этих рядов и сложить их?

А чем тебе это не геометрическая прогрессия? b₀ = x, q = -x
(x²S')' = x/(1+x)

@~~Eru Iluvatar~~ · 08.12.2014, 15:37 **[ТС]**

Действительно. Возведение в нечетные степени как раз дает знакочередующийся ряд. Теперь осталось проинтегрировать его сумму, разделить на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2$ и снова проинтегрировать?

Байт · 08.12.2014, 15:53

Сообщение от Eru Iluvatar

Теперь осталось

Точно. И начальные условия не забудь

@~~Eru Iluvatar~~ · 08.12.2014, 18:32 **[ТС]**

Когда почти добрался до ответа, с начальными условиями возникла сложность. Имеем вот что:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({x}^{2}S'(x))' = \frac{x}{1+x}$

Интегрируем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}S'(x) = x - \ln(1+x)+C$
Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=0$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0 - \ln(1+0) + C = 0 \Rightarrow C = 0$

То есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}S'(x) = x - \ln(1+x)$

Разделим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}$ и интегрируем повторно:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S'(x) = \frac{1}{x} - \frac{\ln(1+x)}{{x}^{2}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x) = \ln(x) - \ln(x) + \frac{\ln(1+x)(1+x)}{x} + C$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x) = \frac{\ln(1+x)(1+x)}{x} + C$

Как отсюда найти константу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ ? Подставить самое удобное число - ноль - тут не получится, т.к. тогда на ноль будем делить. Можно подставить единицу, но тогда как найти, чему равна сумма ряда, чтобы выразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ ?

Байт · 08.12.2014, 21:30

Сообщение от Eru Iluvatar

т.к. тогда на ноль будем делить.

Перейди к пределу. Там не 0, а неопределенность.

@~~Eru Iluvatar~~ · 08.12.2014, 22:49 **[ТС]**

Я рассмотрел предел при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ , стремящемся к нулю справа, получил неопределенность, и поэтому воспользовался правилом Лопиталя. Получил вот что:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \rightarrow 0+0} \frac{(1+x) + \ln(1+x)}{1+x} = 1$

Стало быть, при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=0$ получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(0) = 1 + C = 0$ , и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C=-1$ .

Получаем, что сумма ряда равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x) = \frac{\ln(1+x) (1+x)}{x} - 1$ . Я не ошибся?

Добавлено через 7 минут
Ура! В одной точке при расчете в Мейпле сумма исходного ряда и значение полученной формулы совпали! Надеюсь, и для всех остальных точек из области сходимости тоже будет все верно.

Добавлено через 4 минуты
Только на границах области сходимости способ вычисления суммы ряда в программе и по формуле работают по-разному. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1$ результат одинаковый, а при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ в формуле происходит ошибка - деление на ноль. Хотя где там может быть деление на ноль? Знаменатель-то равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1$ ...

Добавлено через 16 минут
А, все, увидел. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ невозможно вычислить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln(0)$

@Том Ардер · 08.12.2014, 23:11

Сообщение от Eru Iluvatar

При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ невозможно вычислить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ln(0)$

А сумму ряда можно.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(-1)=\lim_{x\rightarrow -1}S(x)=-1$

Байт · 09.12.2014, 00:07

Тут происходит очень интересная штуковина. Все наши замечательные преобразования возможны при некоторых условиях. Типа равномерной сходимости или непрерывности или чего еще. Но мы о них забываем, увлекшись самой идеей преобразований. поскольку они, при всей их механистичности, очень красивы.

@~~Eru Iluvatar~~ Заблокирован
		1
	Найти сумму функционального знакопеременного ряда 08.12.2014, 13:07. Показов 7453. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Помогите решить это задание, не вижу, как можно применить здесь нахождение суммы ряда с помощью почленного интегрирования или дифференцирования, и меня смущает то, что ряд знакочередующийся. Условие: найти сумму ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{-1}^{n}{x}^{n+1}}{(n+1)(n+2)}$ Для начала я определил область сходимости по признаку Даламбера: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \rightarrow \infty} \begin{vmatrix}\frac{{x}^{n+2}}{(n+2)(n+3)} \frac{(n+1)(n+2)}{{x}^{n+1}}\end{vmatrix} = \|x\| < 1$ То есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1 < x < 1$ Исследую сходимость ряда на концах: Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = 1$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ сходится как обобщенный гармонический Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n}{(-1)}^{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^{2n+1}}{(n+1)(n+2)}$ Получили не знакочередующийся ряда, потому что числитель всегда будет отрицательным. Исследовать сходимость этого ряда как для обычного знакопостоянного? Что делать после того, как определен интервал сходимости? Как искать сумму ряда? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	08.12.2014, 14:00	2
	Сообщение от Eru Iluvatar Исследовать сходимость этого ряда как для обычного знакопостоянного? Для полученного тобой ряда - да! А вот ряд при x = 1 будет знакопеременным (-1)ⁿ, что совершенно не важно, ибо ряд сходится абсолютно. Сообщение от Eru Iluvatar Как искать сумму ряда? S = ряд. S' = ... Потом домножь S' на x² и снова продиффиренцируй. Получится геометрическая прогрессия 1

@~~Eru Iluvatar~~ Заблокирован
	08.12.2014, 14:23 [ТС]	3
	Я не понимаю, как тут может получиться геометрическая прогрессия, если ряд знакочередующийся. Вот что у меня вышло: Расписываю исходный ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S = \frac{x}{2} - \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{12} - ... + \frac{{(1)}^{n}{x}^{n+1}}{(n+1)(n+2)} + ...$ Дифференцирую $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S' = \frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{4} - ... + \frac{{(-1)}^{n}{x}^{n}}{n+2}+...$ Домножаю на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}S' = \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}-...+\frac{{(-1)}^{n}{x}^{n+2}}{n+2}+...$ Снова дифференцирую $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({x}^{2}S)' = x - x^2 + x^3 - ... + {(-1)}^{n}{x}^{n+1}+...$ И получили знакопеременный ряд, для которого нет удобной формулы суммы. Выделить в нем две подпоследовательности по четным и нечетным степеням $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ , найти сумму этих рядов и сложить их? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	08.12.2014, 15:20	4
	Сообщение от Eru Iluvatar И получили знакопеременный ряд, для которого нет удобной формулы суммы. Выделить в нем две подпоследовательности по четным и нечетным степеням , найти сумму этих рядов и сложить их? А чем тебе это не геометрическая прогрессия? b₀ = x, q = -x (x²S')' = x/(1+x) 1

@~~Eru Iluvatar~~ Заблокирован
	08.12.2014, 15:37 [ТС]	5
	Действительно. Возведение в нечетные степени как раз дает знакочередующийся ряд. Теперь осталось проинтегрировать его сумму, разделить на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2$ и снова проинтегрировать? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	08.12.2014, 15:53	6
	Сообщение от Eru Iluvatar Теперь осталось Точно. И начальные условия не забудь 0

@~~Eru Iluvatar~~ Заблокирован
	08.12.2014, 18:32 [ТС]	7
	Когда почти добрался до ответа, с начальными условиями возникла сложность. Имеем вот что: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({x}^{2}S'(x))' = \frac{x}{1+x}$ Интегрируем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}S'(x) = x - \ln(1+x)+C$ Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=0$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0 - \ln(1+0) + C = 0 \Rightarrow C = 0$ То есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}S'(x) = x - \ln(1+x)$ Разделим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}$ и интегрируем повторно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S'(x) = \frac{1}{x} - \frac{\ln(1+x)}{{x}^{2}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x) = \ln(x) - \ln(x) + \frac{\ln(1+x)(1+x)}{x} + C$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x) = \frac{\ln(1+x)(1+x)}{x} + C$ Как отсюда найти константу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ ? Подставить самое удобное число - ноль - тут не получится, т.к. тогда на ноль будем делить. Можно подставить единицу, но тогда как найти, чему равна сумма ряда, чтобы выразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ ? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	08.12.2014, 21:30	8
	Сообщение от Eru Iluvatar т.к. тогда на ноль будем делить. Перейди к пределу. Там не 0, а неопределенность. 0

@~~Eru Iluvatar~~ Заблокирован
	08.12.2014, 22:49 [ТС]	9
	Я рассмотрел предел при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ , стремящемся к нулю справа, получил неопределенность, и поэтому воспользовался правилом Лопиталя. Получил вот что: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \rightarrow 0+0} \frac{(1+x) + \ln(1+x)}{1+x} = 1$ Стало быть, при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=0$ получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(0) = 1 + C = 0$ , и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C=-1$ . Получаем, что сумма ряда равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x) = \frac{\ln(1+x) (1+x)}{x} - 1$ . Я не ошибся? Добавлено через 7 минут Ура! В одной точке при расчете в Мейпле сумма исходного ряда и значение полученной формулы совпали! Надеюсь, и для всех остальных точек из области сходимости тоже будет все верно. Добавлено через 4 минуты Только на границах области сходимости способ вычисления суммы ряда в программе и по формуле работают по-разному. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1$ результат одинаковый, а при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ в формуле происходит ошибка - деление на ноль. Хотя где там может быть деление на ноль? Знаменатель-то равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1$ ... Добавлено через 16 минут А, все, увидел. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ невозможно вычислить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln(0)$ 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	08.12.2014, 23:11	10
	Сообщение от Eru Iluvatar При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ невозможно вычислить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ln(0)$ А сумму ряда можно. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(-1)=\lim_{x\rightarrow -1}S(x)=-1$ 1

	09.12.2014, 00:07