Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.57/7: Рейтинг темы: голосов - 7, средняя оценка - 4.57
0 / 0 / 0
Регистрация: 27.11.2009
Сообщений: 7
1

Каким должен быть радиус шара?

28.12.2014, 08:23. Показов 1323. Ответов 5
Метки нет (Все метки)

Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным?
0

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
28.12.2014, 08:23
Ответы с готовыми решениями:

Определите радиус шара, при котором площадь поверхности вазы будет наименьшей
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу. Условие: Ваза имеет форму шара, со срезанной...

Определить, каким должен быть радиус диска, чтобы он имел массу m
Из материала с плотностью p изготовлен диск,толщиной h.Каким должен быть радиус диска,чтобы он...

Каким должен быть радиус контура, чтобы индукция магнитного поля в его центре была равна индукции магнитного поля Земли
Медный контур в виде круговой пели присоединен к батарее 6,3В. Каким должен быть радиус контура,...

Что должен уметь настоящий мужчина? Или каким он должен быть?
Девушки, вы часто задаетесь этим вопросом, и обычно ваши лозунги в данном направлении, мы мужская...

5
150 / 148 / 36
Регистрация: 04.11.2014
Сообщений: 303
28.12.2014, 09:14 2
Шар должен быть вписан в конус. Нужно выразить радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 2R и высотой Н, проведенной к основанию, через эти величины.
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}_{1}=\frac{S}{p}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}\cdot (2R)\cdot H}{(2R)+2\sqrt{{R}^{2}+{H}^{2}}}, где https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}_{1} - искомый радиус. Преобразуйте сами.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 27.11.2009
Сообщений: 7
28.12.2014, 09:19  [ТС] 3
там должна быть производная и нахождения экстремум функции
0
150 / 148 / 36
Регистрация: 04.11.2014
Сообщений: 303
28.12.2014, 09:27 4
По-моему, не должна. Вот если бы мы могли менять радиус основания воронки при заданном объеме...
Но пусть другие посмотрят.

Добавлено через 2 минуты
Радиус вписанной в треугольник окружности определяется однозначно. Если бы мы вписывали прямоугольник, могли бы быть варианты.
0
1656 / 885 / 159
Регистрация: 24.02.2013
Сообщений: 2,367
Записей в блоге: 12
30.12.2014, 11:26 5
Цитата Сообщение от Alamira
Теперь понятно. Шар должен быть вписан в конус. Нужно выразить радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 2R и высотой Н, проведенной к основанию, через эти величины.
В условии задачи об вписанном в конус шаре ничего не говорится.
Сказано-"погруженной частью".
А,вообще, задача поставлена некорректно.Диаметр шара зависит от соотношение R/H
0
1 / 1 / 1
Регистрация: 02.04.2017
Сообщений: 3
02.04.2017, 14:24 6
Обозначения на рисунке:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?GH = {r}_{min},\:  FC = {r}_{max},\: DC = R, \: BD = H, \: \angle DBC = \angle \alpha

Определим сначала максимальное и минимальное значение радиуса https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min} и https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{max}.

Очевидно https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min} равен радиусу вписанного в конус шара. Из рисунка:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min} + {r}_{min}\cdot \frac{\sqrt{R^2+H^2}}{R} = H

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min} = \frac{RH}{R + \sqrt{R^2+H^2}}

Шар с максимальным радиусом будет касаться образующей конуса, притом образующая будет оставаться еще касательной к шару. Из рисунка:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{max} = \sqrt{R^2+H^2}\cdot\tan \alpha = \frac{R}{H}\cdot\sqrt{R^2+H^2}

Запишем очевидное из рисунка равенство:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h'-r=H-k,

где https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h' = \frac{r}{\sin \alpha }, а https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k - высота сектора шара погруженного в конус.

Из этого равенства нас будет интересовать очевидно https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k.

Используем формулу объема сектора шара:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V = 1/3 \pi H^2 (3R - H),

где https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H - высота сектора шара, а https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R - его радиус.

Таким образом мы можем записать объем погруженного в конус сектора шара https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V как функцию его радиуса https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r, используя предварительно найденную нами высоту сектора https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k. Итак:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(r) = 1/3 \pi k^2 (3R - k) = 1/3 \pi (H - h' + r)^2 (3r - H + h' - r)

Обозначив для краткости https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?s = \frac{1}{\sin \alpha }, получим

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(r) = 1/3 \pi (H + r(1 - s))^2 (r(2 + s) - H)

Продиффернцировав по https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r и проведя все преобразования, получим:

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V'(r) = \pi (H + r - rs)(2r + Hs -rs^2 - rs)

Тогда https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V'(r) = 0, когда https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H + r - rs = 0 или https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2r + Hs -rs^2 - rs = 0

Из первого равенства получим: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{1} = \frac{R}{H}\cdot\(\sqrt{R^2 + H^2} + R). https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{1} > {r}_{max} и не подходит нам.

Из второго: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} = \frac{RH \sqrt{R^2 + H^2}}{(\sqrt{R^2 + H^2} - R)(\sqrt{R^2 + H^2} + 2R)}

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} > {r}_{min}, поскольку

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{RH}{R + \frac{H^2 - R^2}{\sqrt{R^2 + H^2}}} >  \frac{RH}{R + \sqrt{R^2+H^2}}

Также https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} < {r}_{max}, поскольку

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{R}{H}\sqrt{R^2 + H^2}\cdot\frac{\sqrt{R^2 + H^2} + R}{\sqrt{R^2 + H^2} + 2R} < \frac{R}{H}\cdot\sqrt{R^2+H^2}

Таким образом https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} искомое значение.
0
Миниатюры
Каким должен быть радиус шара?  
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
02.04.2017, 14:24

Каким должен быть файл и где он должен находиться?
Нашёл код, который берёт текстовый файл, читает его и выбирает слова, в которых есть такая же...

Каким должен быть ПИД?
Салют коллегам! Хочу поднять одну из &quot;бородатых&quot;, возможно, тем - каким должен быть...

Каким должен быть угол?
Если на плоскости от одной точки отложить 3 вектора так, чтобы между любой парой векторов был один...

Каким должен быть идеальный инсталлятор?
Собственно каким должен быть идеальный инсталлятор по вашему мнению?...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
6
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.