Каким должен быть радиус шара?

@morgon08 · Регистрация: 27.11.2009

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным?

@Alamira · 28.12.2014, 09:14

Шар должен быть вписан в конус. Нужно выразить радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 2R и высотой Н, проведенной к основанию, через эти величины.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}_{1}=\frac{S}{p}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}\cdot (2R)\cdot H}{(2R)+2\sqrt{{R}^{2}+{H}^{2}}}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}_{1}$ - искомый радиус. Преобразуйте сами.

@morgon08 · 28.12.2014, 09:19 **[ТС]**

там должна быть производная и нахождения экстремум функции

@Alamira · 28.12.2014, 09:27

По-моему, не должна. Вот если бы мы могли менять радиус основания воронки при заданном объеме...
Но пусть другие посмотрят.

Добавлено через 2 минуты
Радиус вписанной в треугольник окружности определяется однозначно. Если бы мы вписывали прямоугольник, могли бы быть варианты.

@Nacuott · 30.12.2014, 11:26

Сообщение от Alamira

Теперь понятно. Шар должен быть вписан в конус. Нужно выразить радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 2R и высотой Н, проведенной к основанию, через эти величины.

В условии задачи об вписанном в конус шаре ничего не говорится.

Сказано-"погруженной частью".
А,вообще, задача поставлена некорректно.Диаметр шара зависит от соотношение R/H

@jdex · 02.04.2017, 14:24

Обозначения на рисунке:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?GH = {r}_{min},\: FC = {r}_{max},\: DC = R, \: BD = H, \: \angle DBC = \angle \alpha$

Определим сначала максимальное и минимальное значение радиуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{max}$ .

Очевидно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min}$ равен радиусу вписанного в конус шара. Из рисунка:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min} + {r}_{min}\cdot \frac{\sqrt{R^2+H^2}}{R} = H$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min} = \frac{RH}{R + \sqrt{R^2+H^2}}$

Шар с максимальным радиусом будет касаться образующей конуса, притом образующая будет оставаться еще касательной к шару. Из рисунка:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{max} = \sqrt{R^2+H^2}\cdot\tan \alpha = \frac{R}{H}\cdot\sqrt{R^2+H^2}$

Запишем очевидное из рисунка равенство:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h'-r=H-k$ ,

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h' = \frac{r}{\sin \alpha }$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ - высота сектора шара погруженного в конус.

Из этого равенства нас будет интересовать очевидно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ .

Используем формулу объема сектора шара:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V = 1/3 \pi H^2 (3R - H)$ ,

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H$ - высота сектора шара, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R$ - его радиус.

Таким образом мы можем записать объем погруженного в конус сектора шара $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V$ как функцию его радиуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r$ , используя предварительно найденную нами высоту сектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ . Итак:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(r) = 1/3 \pi k^2 (3R - k) = 1/3 \pi (H - h' + r)^2 (3r - H + h' - r)$

Обозначив для краткости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?s = \frac{1}{\sin \alpha }$ , получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(r) = 1/3 \pi (H + r(1 - s))^2 (r(2 + s) - H)$

Продиффернцировав по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r$ и проведя все преобразования, получим:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V'(r) = \pi (H + r - rs)(2r + Hs -rs^2 - rs)$

Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V'(r) = 0$ , когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H + r - rs = 0$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2r + Hs -rs^2 - rs = 0$

Из первого равенства получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{1} = \frac{R}{H}\cdot\(\sqrt{R^2 + H^2} + R)$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{1} > {r}_{max}$ и не подходит нам.

Из второго: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} = \frac{RH \sqrt{R^2 + H^2}}{(\sqrt{R^2 + H^2} - R)(\sqrt{R^2 + H^2} + 2R)}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} > {r}_{min}$ , поскольку

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{RH}{R + \frac{H^2 - R^2}{\sqrt{R^2 + H^2}}} > \frac{RH}{R + \sqrt{R^2+H^2}}$

Также $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} < {r}_{max}$ , поскольку

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{R}{H}\sqrt{R^2 + H^2}\cdot\frac{\sqrt{R^2 + H^2} + R}{\sqrt{R^2 + H^2} + 2R} < \frac{R}{H}\cdot\sqrt{R^2+H^2}$

Таким образом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2}$ искомое значение.

@morgon08 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.11.2009 Сообщений: 7
		1
	Каким должен быть радиус шара? 28.12.2014, 08:23. Показов 1650. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным? 0

@Alamira 163 / 151 / 36 Регистрация: 04.11.2014 Сообщений: 303
	28.12.2014, 09:14	2
	Шар должен быть вписан в конус. Нужно выразить радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 2R и высотой Н, проведенной к основанию, через эти величины. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}_{1}=\frac{S}{p}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}\cdot (2R)\cdot H}{(2R)+2\sqrt{{R}^{2}+{H}^{2}}}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}_{1}$ - искомый радиус. Преобразуйте сами. 0

@morgon08 0 / 0 / 0 Регистрация: 27.11.2009 Сообщений: 7
	28.12.2014, 09:19 [ТС]	3
	там должна быть производная и нахождения экстремум функции 0

@Alamira 163 / 151 / 36 Регистрация: 04.11.2014 Сообщений: 303
	28.12.2014, 09:27	4
	По-моему, не должна. Вот если бы мы могли менять радиус основания воронки при заданном объеме... Но пусть другие посмотрят. Добавлено через 2 минуты Радиус вписанной в треугольник окружности определяется однозначно. Если бы мы вписывали прямоугольник, могли бы быть варианты. 0

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,922 Записей в блоге: 12
	30.12.2014, 11:26	5
	Сообщение от Alamira Теперь понятно. Шар должен быть вписан в конус. Нужно выразить радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 2R и высотой Н, проведенной к основанию, через эти величины. В условии задачи об вписанном в конус шаре ничего не говорится. Сказано-"погруженной частью". А,вообще, задача поставлена некорректно.Диаметр шара зависит от соотношение R/H 0

@jdex 1 / 1 / 1 Регистрация: 02.04.2017 Сообщений: 3
	02.04.2017, 14:24	6
	Обозначения на рисунке: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?GH = {r}_{min},\: FC = {r}_{max},\: DC = R, \: BD = H, \: \angle DBC = \angle \alpha$ Определим сначала максимальное и минимальное значение радиуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{max}$ . Очевидно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min}$ равен радиусу вписанного в конус шара. Из рисунка: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min} + {r}_{min}\cdot \frac{\sqrt{R^2+H^2}}{R} = H$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{min} = \frac{RH}{R + \sqrt{R^2+H^2}}$ Шар с максимальным радиусом будет касаться образующей конуса, притом образующая будет оставаться еще касательной к шару. Из рисунка: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{max} = \sqrt{R^2+H^2}\cdot\tan \alpha = \frac{R}{H}\cdot\sqrt{R^2+H^2}$ Запишем очевидное из рисунка равенство: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h'-r=H-k$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h' = \frac{r}{\sin \alpha }$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ - высота сектора шара погруженного в конус. Из этого равенства нас будет интересовать очевидно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ . Используем формулу объема сектора шара: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V = 1/3 \pi H^2 (3R - H)$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H$ - высота сектора шара, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R$ - его радиус. Таким образом мы можем записать объем погруженного в конус сектора шара $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V$ как функцию его радиуса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r$ , используя предварительно найденную нами высоту сектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k$ . Итак: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(r) = 1/3 \pi k^2 (3R - k) = 1/3 \pi (H - h' + r)^2 (3r - H + h' - r)$ Обозначив для краткости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?s = \frac{1}{\sin \alpha }$ , получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V(r) = 1/3 \pi (H + r(1 - s))^2 (r(2 + s) - H)$ Продиффернцировав по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r$ и проведя все преобразования, получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V'(r) = \pi (H + r - rs)(2r + Hs -rs^2 - rs)$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V'(r) = 0$ , когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H + r - rs = 0$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2r + Hs -rs^2 - rs = 0$ Из первого равенства получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{1} = \frac{R}{H}\cdot\(\sqrt{R^2 + H^2} + R)$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{1} > {r}_{max}$ и не подходит нам. Из второго: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} = \frac{RH \sqrt{R^2 + H^2}}{(\sqrt{R^2 + H^2} - R)(\sqrt{R^2 + H^2} + 2R)}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} > {r}_{min}$ , поскольку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{RH}{R + \frac{H^2 - R^2}{\sqrt{R^2 + H^2}}} > \frac{RH}{R + \sqrt{R^2+H^2}}$ Также $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2} < {r}_{max}$ , поскольку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{R}{H}\sqrt{R^2 + H^2}\cdot\frac{\sqrt{R^2 + H^2} + R}{\sqrt{R^2 + H^2} + 2R} < \frac{R}{H}\cdot\sqrt{R^2+H^2}$ Таким образом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r}_{2}$ искомое значение. Миниатюры 0