Объем тела, заданного неравенствами

@Eru Iluvatar · 13.05.2015, 22:32. **Показов** 5710. **Ответов** 11

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Найти объем тела, заданного неравенствами:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?36\leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 144$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z\leq \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{3}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{3}x\leq y\leq \frac{x}{\sqrt{3}}$

Я пытался перейти к сферическим координатам, но возникла проблема с нахождением углов. Посмотрел на решение этого задания в интернете, и ничего там не понял - сферических систем координат две, но там не используется ни одна, ни вторая.

Там тело получилось таким:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{7\pi}{6}\leq \theta \frac{4\pi}{3}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arctg\sqrt{3}\leq \varphi \leq \pi$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6\leq r\leq 12$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dxdydz=r^2 \sin\varphi drd\varphi d\theta$

Якобиан преобразования выглядит как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dxdydz=r^2 \sin\varphi drd\varphi d\theta$ , что похоже на якобиан второго преобразования по этой ссылке, но углы явно не оттуда.

Какие координаты здесь надо выбрать, как найти в них правильные углы и записать интеграл?

@jogano · 14.05.2015, 00:00

Вы привели якобиан (только он должен быть без $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?drd\varphi d\theta$ ), который говорит, что есть расхождения в том, ЧТО обозначают углы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi ,\theta$ . Сначала с этим разберитесь. Обозначив углы, якобиан можно и самому вывести.
Если углы такие, как во второй системе по ссылке, то пределы угла $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ найдены не правильно.
У меня ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?84 \pi \left(\sqrt{3} -1\right)$

@Eru Iluvatar · 14.05.2015, 00:21 **[ТС]**

Вы привели якобиан (только он должен быть без

Точно. Думал про якобиан, а записал дифференциал.

что есть расхождения в том, ЧТО обозначают углы

А, ясно, заметил, что угол отклонения от оси Oz здесь фи.

Здесь часом не обобщенные координаты нужно использовать?

@jogano · 14.05.2015, 00:25

Не знаю, что вы понимаете по обобщёнными координатами... Нужны полярно-сферические координаты, или по первой системе из ссылки, или по второй - не важно, ответ будет один и тот же.

@Eru Iluvatar · 14.05.2015, 00:32 **[ТС]**

Не знаю, что вы понимаете по обобщёнными координатами

Они задаются таким формулами:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}x=ar \cos \varphi \sin \theta & \\ y = br \sin \varphi \sin \theta & \\ z = cr \cos \theta & \end{matrix}\right.$

С якобианом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J = abc r^2 \sin \theta$ .

Используются, когда тело ограничено, например, не сферой, а эллипсоидом.

@jogano · 14.05.2015, 00:36

Ясно. Обобщённые полярно-сферические. Но в данном случае это не нужно - у вас же концентрические сферы и конус, и при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2, \: y^2$ в первых двух строчках стоят одинаковые коэффициенты.

@Eru Iluvatar · 14.05.2015, 18:07 **[ТС]**

Я начал решать с самого начала. У нас первое неравенство - пространство между сферами R=6 и R=12. Второе неравенство - верхняя часть конуса. Третье неравенство - две плоскости, проходящие соответственно под углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{3}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{6}$ к плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xOy$ .

Перехожу к сферическим координатам по вторым формулам из ссылки в первом посте с якобианом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J = r^2 \sin \theta$ .

1) Первое неравенство превратится в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6\leq r \leq 12$ .

2) Уравнение конуса: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{3}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r\cos\theta = \frac{\sqrt{r^2 \cos^2 \varphi \sin^2 \theta + r^2 \sin^2 \varphi \sin^2 \theta }}{3}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r\cos\theta = \frac{\sqrt{r^2 \sin^2\theta }}{3}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r\cos\theta = \frac{r\sin\theta }{\sqrt{3}}$

А что с этим дальше делать?

@jogano · 14.05.2015, 18:54

Сообщение от Eru Iluvatar

Второе неравенство - верхняя часть конуса.

нет, нижняя часть. У вас z<=...

Сообщение от Eru Iluvatar

Третье неравенство - две плоскости, проходящие соответственно под углами и к плоскости .

Эти плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\perp XOY$ . Это углы между ними и вертикальной плоскостью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=0$ именно такие. И не просто две плоскости, и сектор между ними, причём только в III четверти, а не в I. Потому что в I четверти границы третьего условия меняются местами.

Сообщение от Eru Iluvatar

2) Уравнение конуса:

Число 3 под корнем (как в посте #1) или вне корня?

Сообщение от Eru Iluvatar

А что с этим дальше делать?

Дальше сокращаете на r и получаете уравнение конической поверхности в полярно-сферических координатах. В данном случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tg \theta =\sqrt{3} \: \Rightarrow \: \theta =\frac{\pi}{3}$ (это если у вас 3 вне корня, иначе угол будет выражаться через не табличный арктангенс). Вот под таким углом наклонены образующие конуса к лучу OZ+. Поскольку ваша область лежит ниже конической поверхности, вам нужно взять углы больше крайнего, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta \in \left[ \frac{\pi}{3}; \pi\right]$
А дальше ищете пределы изменения другого угла - $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$

Добавлено через 4 минуты
Хотя вы их уже нашли в посте #1: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \in \left[\frac{7 \pi}{6};\frac{4 \pi}{3} \right]$
Дальше записываете тройной интеграл, а под интегралом якобиан преобразования координат.

@Eru Iluvatar · 14.05.2015, 19:14 **[ТС]**

А дальше ищете пределы изменения другого угла

Этот угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ образован прямыми $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{x}{\sqrt{3}}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{3}x$ , так? То есть находится в пределах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \in [\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]$ .

Число 3 под корнем (как в посте #1) или вне корня?

Под корнем.

Добавлено через 17 минут

это если у вас 3 вне корня, иначе угол будет выражаться через не табличный арктангенс

Как это через нетабличный? Правильная запись такая:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r\cos \theta = \frac{r\sin \theta }{\sqrt{3}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos \theta = \frac{\sin \theta }{\sqrt{3}}$

По свойству пропорции: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tg \theta = \sqrt{3}$

То же самое, что получилось у вас.

это если у вас 3 вне корня

А получилось как раз для случая, если 3 под корнем.

@jogano · 14.05.2015, 19:37

Сообщение от Eru Iluvatar

Этот угол образован прямыми и , так? То есть находится в пределах .

Да, но у вас в условии значение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \sqrt{3}$ - это левая граница, которая должна быть меньше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x}{ \sqrt{3}}$ , что означает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\leq 0$ , и по неравенству и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y\leq 0$ , а это III четверть.

В посте #7 у вас 3 под корнем только во последней строчке, а выше - вне корня. Потому я и спросил.

@Eru Iluvatar · 14.05.2015, 19:59 **[ТС]**

У меня ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?84\pi(\sqrt{3}-1)$

А у меня опять вышло $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?126\pi$ . Это снова я накосячил? А то я уже боюсь.

@jogano · 14.05.2015, 20:10

Нет, не накосячили, всё так.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@Eru Iluvatar Заблокирован

	Объем тела, заданного неравенствами 13.05.2015, 22:32. Показов 5710. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Найти объем тела, заданного неравенствами: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?36\leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 144$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z\leq \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{3}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{3}x\leq y\leq \frac{x}{\sqrt{3}}$ Я пытался перейти к сферическим координатам, но возникла проблема с нахождением углов. Посмотрел на решение этого задания в интернете, и ничего там не понял - сферических систем координат две, но там не используется ни одна, ни вторая. Там тело получилось таким: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{7\pi}{6}\leq \theta \frac{4\pi}{3}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arctg\sqrt{3}\leq \varphi \leq \pi$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6\leq r\leq 12$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dxdydz=r^2 \sin\varphi drd\varphi d\theta$ Якобиан преобразования выглядит как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dxdydz=r^2 \sin\varphi drd\varphi d\theta$ , что похоже на якобиан второго преобразования по этой ссылке, но углы явно не оттуда. Какие координаты здесь надо выбрать, как найти в них правильные углы и записать интеграл? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	14.05.2015, 00:00
	Вы привели якобиан (только он должен быть без $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?drd\varphi d\theta$ ), который говорит, что есть расхождения в том, ЧТО обозначают углы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi ,\theta$ . Сначала с этим разберитесь. Обозначив углы, якобиан можно и самому вывести. Если углы такие, как во второй системе по ссылке, то пределы угла $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ найдены не правильно. У меня ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?84 \pi \left(\sqrt{3} -1\right)$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	14.05.2015, 00:25
	Не знаю, что вы понимаете по обобщёнными координатами... Нужны полярно-сферические координаты, или по первой системе из ссылки, или по второй - не важно, ответ будет один и тот же. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	14.05.2015, 00:36
	Ясно. Обобщённые полярно-сферические. Но в данном случае это не нужно - у вас же концентрические сферы и конус, и при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2, \: y^2$ в первых двух строчках стоят одинаковые коэффициенты. 0

@Eru Iluvatar Заблокирован
	14.05.2015, 18:07 [ТС]
	Я начал решать с самого начала. У нас первое неравенство - пространство между сферами R=6 и R=12. Второе неравенство - верхняя часть конуса. Третье неравенство - две плоскости, проходящие соответственно под углами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{3}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{6}$ к плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xOy$ . Перехожу к сферическим координатам по вторым формулам из ссылки в первом посте с якобианом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?J = r^2 \sin \theta$ . 1) Первое неравенство превратится в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6\leq r \leq 12$ . 2) Уравнение конуса: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{3}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r\cos\theta = \frac{\sqrt{r^2 \cos^2 \varphi \sin^2 \theta + r^2 \sin^2 \varphi \sin^2 \theta }}{3}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r\cos\theta = \frac{\sqrt{r^2 \sin^2\theta }}{3}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r\cos\theta = \frac{r\sin\theta }{\sqrt{3}}$ А что с этим дальше делать? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	14.05.2015, 20:10
	Нет, не накосячили, всё так. 0