В чем геометрический смысл смешанной производной?

@HardLogin · Регистрация: 20.01.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Вопрос в названии темы. С частными производными все понятно, например в функции z=f(x;y), производная по x - это скорость изменения функции по оси х, в зависимости от y. Объясните примерно так же смешанную производную.

iifat · 24.07.2015, 14:19

Смешанная — она вторая. Как понимаю, смысл второй производной функции одной переменной тебе понятен? Нельзя ли озвучить?

@HardLogin · 24.07.2015, 14:39 **[ТС]**

Сообщение от iifat

Как понимаю, смысл второй производной функции одной переменной тебе понятен? Нельзя ли озвучить?

Понятен. Это скорость изменения скорости. Если вторая производная положительна, то скорость роста функции (угол наклона касательной) - возрастает, это возможно только если функция вогнута. Если втор. произв. отрицательна, то скорость роста функции убывает, такое характерно для выпуклости ф-ии. Если вторая производная равна нулю, то скорость в этой точке достигает максимума/минимума, и затем эта скорость соответственно начинает убывать, или возрастать (точка перегиба).

Добавлено через 2 минуты
Могу проиллюстрировать, если надо..

@PresAlexandr · 24.07.2015, 15:02

Сообщение от HardLogin

производная по x - это скорость изменения функции по оси х, в зависимости от y

Первая производная - тангенс угла наклона касательной к графику функции в заданной точке.
Вторая производная определяет вогнутость/выпуклость.
Если она больше 0, то при увеличении х кривая становится более крутой там, где наклон ее положителен, и более пологой там, где наклон отрицателен. В этом случае кривая вогнута.
Аналогично, если она меньше 0, то кривая выпукла.

iifat · 24.07.2015, 15:03

Ну, значит, смешанная — скорость изменения скорости вдоль одной координаты вдоль другой координаты

Аналог выпуклости для двух (а тем более — более

) координат сложнее, для характеристик его нужно знать четыре вторых производных (три ввиду симметрии). Ну, тут ведь как можно переформулировать: если вторая производная положительна, кривая лежит выше касательной, если отрицательная — ниже, если нулевая — поведение определяется старшими производными. Аналогично, поведение поверхности относительно касательной плоскости определяется (как минимум) вторыми частными производными.

Добавлено через 55 секунд

Сообщение от HardLogin

Могу проиллюстрировать, если надо

Мне — не надо. Ответ на свой вопрос я получил.

@helter · 24.07.2015, 15:28

Вторая производная — квадратичная форма. Её матрица в стандартном базисе как раз состоит из всех смешанных вторых производных. (Гессиан называется. Значит, если понимать геометрический смысл матрицы квадратичной формы, то геометрический смысл смешанных производных получается автоматически.)

@PresAlexandr · 24.07.2015, 15:28

По поводу производной смешанной функции: точно не знаю, пока не проверял, но если частные производные лежат в одной плоскости, то производная смешанной функции представляет собой уравнение касательной плоскости к точке поверхности, заданной смешанной функцией

iifat · 24.07.2015, 16:36

Сообщение от PresAlexandr

смешанной функции

Странного зверя ты привёл к нам в топик

Смешанная производная — знаю (хотя ничем принципиальным от прочих вторых производных она не отличается); но кто такая смешанная функция?

Сообщение от PresAlexandr

если частные производные лежат в одной плоскости

Ещё одна странная мысль. Частные производные — это два числа; при чём тут плоскость?

Сообщение от helter

если понимать геометрический смысл матрицы квадратичной формы, то геометрический смысл смешанных производных получается автоматически

Собственно, как понимаю, матрица квадратичной формы — единственное, что имеет смысл! Конкретная вторая частная производная собственного смысла не имеет.

@HardLogin · 24.07.2015, 16:45 **[ТС]**

Я еще не доходил до матриц

iifat · 24.07.2015, 16:59

Пока, наверное, и не обязательно. «Матрицу» пока можно понимать как все значения вторых частных производных в комплексе. Как первые производные функции поверхности имеют некий смысл только в комплексе — они вдвоём определяют касательную плоскость, по отдельности некоего смысла не несут.

@HardLogin · 24.07.2015, 17:32 **[ТС]**

А как же работает формула для экстремумов ФНП: AC-B^2, где A, C - вторые производные по хх и yy, а B - вторая производная по xy?

@helter · 24.07.2015, 17:41

Сообщение от HardLogin

А как же работает формула для экстремумов ФНП: AC-B^2, где A, C - вторые производные по хх и yy, а B - вторая производная по xy?

Это просто критерий Сильвестра положительной или отрицательной определённости матрицы. Ваше выражение - определитель гессиана.

Общая идея та, что если первая производная (линейный функционал) занулилась, то с точностью до бесконечно малых высшего порядка приращение функции является квадратичной формой от приращения аргумента. Квадратичные формы в линейной алгебре изучены-переизучены. Вот, критерий Сильвестра, в частности.

@HardLogin · 24.07.2015, 17:54 **[ТС]**

Сообщение от helter

Общая идея та, что если первая производная (линейный функционал) занулилась, то с точностью до бесконечно малых высшего порядка приращение функции является квадратичной формой от приращения аргумента. Квадратичные формы в линейной алгебре изучены-переизучены. Вот, критерий Сильвестра, в частности.

Слишком сложно

Добавлено через 5 минут

Сообщение от iifat

Ну, значит, смешанная — скорость изменения скорости вдоль одной координаты вдоль другой координаты

Объясните получше, пожалуйста

Добавлено через 4 минуты
Просто в случае частной не смешанной производной, я могу себе представить плоскость, параллельная какой-то оси, которая "высекает" из поверхности кривую, которую мы исследуем как в случае функции одной переменной. А в случае смешанной, я ничего себе представить не могу.

@helter · 24.07.2015, 17:55

Ну чего сложного-то. По формуле Тейлора
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(x)h^2/2 + o(h^2)$
для функции какого угодно числа переменных, хоть на банаховом пространстве. Здесь f''(x)h^2 - значение квадратичной формы f''(x) на векторе h. Для предполагаемых точек экстремума вы изначально берёте f'(x) = 0, получается
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x+h) - f(x) = f''(x)h^2/2 + o(h^2)$
Приращение есть квадратичная форма (почти). Это алгебра.

Короче, сначала нужно знать линейную алгебру, иначе бесполезно. А когда будете знать линейную алгебру и немного функционального анализа, почитайте "Дифференциальное исчисление" Картана, там всё аккуратно написано для банаховых пространств.

iifat · 24.07.2015, 18:08

Сообщение от HardLogin

в случае частной не смешанной производной, я могу себе представить плоскость, параллельная какой-то оси, которая "высекает" из поверхности кривую

Как-то очень уж бедненько. В случае первых производных хорошо бы себе представлять поверхность и касательную плоскость. По крайней мере, сможешь высекать кривые любой вертикальной плоскостью, а не двумя. Тогда вторая производная — не кая-нить частная, а весь комплекс вторых — это поверхность второго порядка, несколько лучше представляющая отклонение поверхности от касательной плоскости.
Ну и, как вариант, вовсе, как по мне, не обязательно вообще как-то это представлять.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от HardLogin

Объясните получше

Куда уж, в сущности, лучше-то.
Ну, что есть первая производная по одной из переменных, ты понимаешь, так?
Теперь присмотрись: это такая же функция двух переменных, сиречь поверхность в трёхмерном пространстве. И у ей в любой точке есть скорость изменения по одной координате — и по другой. Только и всего.

@HardLogin · 25.07.2015, 11:13 **[ТС]**

В общем, расписав предел смешанной производной, я выяснил, что смешанная производная (например f''_xy ) - это то на сколько увеличиться скорость по Х в данной точке, сместив секущую плоскость, параллельную оси Х, на бесконечно малую величину dy.

Добавлено через 43 минуты
*т.е. сместив плоскость, перпендикулярную оси Y, на бесконечно малую dy

@taras atavin · 25.07.2015, 11:31

Смешанная - это скорость изменения тангенса угла наклона к плоскости XY касательной, параллельной плоскости YZ, при движении по оси X, или, что то же самое, скорость изменения тангенса угла наклона к плоскости XY касательной, параллельной плоскости XZ, при движении по оси Y.

@PresAlexandr · 27.07.2015, 08:02

По поводу смешанной функции: имелась ввиду функция от 2-х и более переменных.

Сообщение от iifat

Ещё одна странная мысль. Частные производные — это два числа; при чём тут плоскость?

Сообщение от iifat

Как первые производные функции поверхности имеют некий смысл только в комплексе — они вдвоём определяют касательную плоскость, по отдельности некоего смысла не несут.

Вы сами себя опровергаете.
Число задает тангенс наклона касательной - прямой. Два числа - два тангенса - две прямых. А две прямых уже могут задавать декартову плоскость.

@taras atavin · 27.07.2015, 08:07

Сообщение от iifat

Ещё одна странная мысль. Частные производные — это два числа; при чём тут плоскость?

При чём здесь числа? Вот в чём вопрос. А плоскость то как раз понятно.

iifat · 27.07.2015, 08:34

Сообщение от taras atavin

При чём здесь числа?

При том, что частная производная в точке — это число такое.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Как использовать OAuth2 со Spring Security в Java Javaican 14.05.2025 Протокол OAuth2 часто путают с механизмами аутентификации, хотя по сути это протокол авторизации. Представьте, что вместо передачи ключей от всего дома вашему другу, который пришёл полить цветы, вы. . .	Анализ текста на Python с NLTK и Spacy AI_Generated 14.05.2025 NLTK, старожил в мире обработки естественного языка на Python, содержит богатейшую коллекцию алгоритмов и готовых моделей. Эта библиотека отлично подходит для образовательных целей и. . .	Реализация DI в PHP Jason-Webb 13.05.2025 Когда я начинал писать свой первый крупный PHP-проект, моя архитектура напоминала запутаный клубок спагетти. Классы создавали другие классы внутри себя, зависимости жостко прописывались в коде, а о. . .	Обработка изображений в реальном времени на C# с OpenCV stackOverflow 13.05.2025 Объединение библиотеки компьютерного зрения OpenCV с современным языком программирования C# создаёт симбиоз, который открывает доступ к впечатляющему набору возможностей. Ключевое преимущество этого. . .	POCO, ACE, Loki и другие продвинутые C++ библиотеки NullReferenced 13.05.2025 В C++ разработки существует такое обилие библиотек, что порой кажется, будто ты заблудился в дремучем лесу. И среди этого многообразия POCO (Portable Components) – как маяк для тех, кто ищет. . .
Паттерны проектирования GoF на C# UnmanagedCoder 13.05.2025 Вы наверняка сталкивались с ситуациями, когда код разрастается до неприличных размеров, а его поддержка становится настоящим испытанием. Именно в такие моменты на помощь приходят паттерны Gang of. . .	Создаем CLI приложение на Python с Prompt Toolkit py-thonny 13.05.2025 Современные командные интерфейсы давно перестали быть черно-белыми текстовыми программами, которые многие помнят по старым операционным системам. CLI сегодня – это мощные, интуитивные и даже. . .	Конвейеры ETL с Apache Airflow и Python AI_Generated 13.05.2025 ETL-конвейеры – это набор процессов, отвечающих за извлечение данных из различных источников (Extract), их преобразование в нужный формат (Transform) и загрузку в целевое хранилище (Load). . . .	Выполнение асинхронных задач в Python с asyncio py-thonny 12.05.2025 Современный мир программирования похож на оживлённый мегаполис – тысячи процессов одновременно требуют внимания, ресурсов и времени. В этих джунглях операций возникают ситуации, когда программа. . .	Работа с gRPC сервисами на C# UnmanagedCoder 12.05.2025 gRPC (Google Remote Procedure Call) — открытый высокопроизводительный RPC-фреймворк, изначально разработанный компанией Google. Он отличается от традиционых REST-сервисов как минимум тем, что. . .

@HardLogin 54 / 54 / 2 Регистрация: 20.01.2013 Сообщений: 832 Записей в блоге: 1

	В чем геометрический смысл смешанной производной? 24.07.2015, 13:52. Показов 8045. Ответов 20 Метки нет (Все метки) Вопрос в названии темы. С частными производными все понятно, например в функции z=f(x;y), производная по x - это скорость изменения функции по оси х, в зависимости от y. Объясните примерно так же смешанную производную. 0

iifat 2830 / 1866 / 203 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,418
	24.07.2015, 14:19
	Смешанная — она вторая. Как понимаю, смысл второй производной функции одной переменной тебе понятен? Нельзя ли озвучить? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	24.07.2015, 15:28
	Вторая производная — квадратичная форма. Её матрица в стандартном базисе как раз состоит из всех смешанных вторых производных. (Гессиан называется. Значит, если понимать геометрический смысл матрицы квадратичной формы, то геометрический смысл смешанных производных получается автоматически.) 0

@PresAlexandr 43 / 43 / 16 Регистрация: 16.05.2009 Сообщений: 372
	24.07.2015, 15:28
	По поводу производной смешанной функции: точно не знаю, пока не проверял, но если частные производные лежат в одной плоскости, то производная смешанной функции представляет собой уравнение касательной плоскости к точке поверхности, заданной смешанной функцией 0

@HardLogin 54 / 54 / 2 Регистрация: 20.01.2013 Сообщений: 832 Записей в блоге: 1
	24.07.2015, 16:45 [ТС]
	Я еще не доходил до матриц 0

iifat 2830 / 1866 / 203 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,418
	24.07.2015, 16:59
	Пока, наверное, и не обязательно. «Матрицу» пока можно понимать как все значения вторых частных производных в комплексе. Как первые производные функции поверхности имеют некий смысл только в комплексе — они вдвоём определяют касательную плоскость, по отдельности некоего смысла не несут. 0

@HardLogin 54 / 54 / 2 Регистрация: 20.01.2013 Сообщений: 832 Записей в блоге: 1
	24.07.2015, 17:32 [ТС]
	А как же работает формула для экстремумов ФНП: AC-B^2, где A, C - вторые производные по хх и yy, а B - вторая производная по xy? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	24.07.2015, 17:55
	Ну чего сложного-то. По формуле Тейлора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(x)h^2/2 + o(h^2)$ для функции какого угодно числа переменных, хоть на банаховом пространстве. Здесь f''(x)h^2 - значение квадратичной формы f''(x) на векторе h. Для предполагаемых точек экстремума вы изначально берёте f'(x) = 0, получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x+h) - f(x) = f''(x)h^2/2 + o(h^2)$ Приращение есть квадратичная форма (почти). Это алгебра. Короче, сначала нужно знать линейную алгебру, иначе бесполезно. А когда будете знать линейную алгебру и немного функционального анализа, почитайте "Дифференциальное исчисление" Картана, там всё аккуратно написано для банаховых пространств. 0

@HardLogin 54 / 54 / 2 Регистрация: 20.01.2013 Сообщений: 832 Записей в блоге: 1
	25.07.2015, 11:13 [ТС]
	В общем, расписав предел смешанной производной, я выяснил, что смешанная производная (например f''_xy ) - это то на сколько увеличиться скорость по Х в данной точке, сместив секущую плоскость, параллельную оси Х, на бесконечно малую величину dy. Добавлено через 43 минуты *т.е. сместив плоскость, перпендикулярную оси Y, на бесконечно малую dy 0

@taras atavin 4226 / 1796 / 211 Регистрация: 24.11.2009 Сообщений: 27,562
	25.07.2015, 11:31
	Смешанная - это скорость изменения тангенса угла наклона к плоскости XY касательной, параллельной плоскости YZ, при движении по оси X, или, что то же самое, скорость изменения тангенса угла наклона к плоскости XY касательной, параллельной плоскости XZ, при движении по оси Y. 0