Сходимость степенного ряда

Saym · Регистрация: 02.11.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

При использовании признака Д'Аламбера, предел отношения следующего члена к предыдущему равен бесконечности, т.е. степенной ряд сходится при x=0, но в ответе указан промежуток от минус 1 до 1.
В чем ошибка?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{1}^{\propto }x^{n!}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{a}_{n}}=x^{n!}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{a}_{n+1}}=x^{(n+1)!} \lim_{n\rightarrow \propto} \frac{{a}_{n+1}}{{a}_n}=\frac{{x}^{(n+1)!}}{{x}^{n!}}=x^{(n+1)}=\begin{vmatrix} \\ x \end{vmatrix}\lim_{n\rightarrow \propto} x^n=\propto$

@Igor · 30.08.2015, 21:50

потому что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{|x|}^{(n+1)!}}{{|x|}^{n!}}\neq {|x|}^{n+1}$ .

@JIuXOMAHT · 30.08.2015, 23:07

Сообщение от Igor

потому что .

Тут как раз все правильно, просто при возведении дробных чисел по модулю меньше единицы в степень идет их уменьшение, а не увеличение.

@cmath · 31.08.2015, 03:19

Сообщение от JIuXOMAHT

Тут как раз все правильно,

А вот и не правильно.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{|x|^{(n+1)!}}{|x|^{n!}}=|x|^{(n+1)!-n!}=|x|^{n!(n+1-1)}=|x|^{n!\cdot n}$

Добавлено через 2 минуты
На интервале (-1, 1) можно мажорировать геометрической прогрессией $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum |x|^n$

@JIuXOMAHT · 31.08.2015, 07:31

Сообщение от cmath

А вот и не правильно.

А вот и да

Saym · 31.08.2015, 12:04 **[ТС]**

А почему неправильно расписать факториалы в степенях и сократить?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{x}^{(n+1)!}}{{x}^{n!}}=\frac{{x}^{1*2*3*...(n-2)(n-1)n(n+1)}}{{x}^{1*2*3*...(n-2)(n-1)n}}={x}^{n+1}$

И как из факториала (n+1) вычесть факториал n? ( не очень понял что такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{|x|}^{n!(n+1-1)}$ )
Просто выделить общее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!$ , так ?

@Igor · 31.08.2015, 12:53

Saym, а почему вы степени делите, а не вычитаете?

Saym · 31.08.2015, 14:20 **[ТС]**

Понял, спасибо

Добавлено через 21 минуту
Есть еще непонятки.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{x}^{(n+1)!}}{{x}^{n!}}={x}^{(n+1)!-n!}={x}^{n!*n}=x*{1}^{n!*n}=|x|\lim_{n\rightarrow \propto }{1}^{n!*n}=|x|\lim_{n\rightarrow \propto }{1}=|x|;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1<x<1$ - интервал сходимости
При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1:\sum {(-1)}^{n!}$
Знакочередующийся.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|{a}_{n}|=1$
Модуль общего члена равен будет единице?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }|{a}_{n}|=lim1=1.$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\neq 0$
Расходящийся.

@Igor · 31.08.2015, 14:45

Сообщение от Saym

Понял, спасибо

это хорошо, но дальше опять невнятное.

Saym · 31.08.2015, 16:53 **[ТС]**

И еще сокращение степеней в дроби $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ вызывает вопросы

а почему вы степени делите, а не вычитаете?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}}=\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}*x}=\frac{1}{{x}}={x}^{-1}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2)\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}}={x}^{2-3}={x}^{-1}$
Разве с факториалами то же самое не прокатывает?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x^{1*2*3...(n-2)(n-1)n(n+1)}} {{x}^{1*2*3...(n-2)(n-1)n}}=\frac{x^{(n+1)}}{x}=\frac{x^n*x}{x}=x^n$

Добавлено через 2 часа 2 минуты
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\propto }{x}^{n!}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}={x}^{n!}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n+1}={x}^{(n+1)!}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|=\frac{{x}^{(n+1)!}}{{x}^{n!}}=\frac{{x}^{(1*2*3...(n-2)(n-1)n(n+1)}}{{x}^{1*2*3...(n-2)(n-1)n}}=\frac{{x}^{(n+1)}}{{x}}=\frac{{x}^{n}*x}{{x}}=\lim_{{n}\rightarrow \propto }{x}^{n}=\lim {x}^{\propto }=\propto $

@cmath · 31.08.2015, 16:55

Сообщение от Saym

Разве с факториалами

Нет. У вас второе равенство не верно. Вы воспринимаете степени числителя и знаменателя словно дробь и сокращаете, чего делать нельзя. Правильный вариант:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x^{1*2*3...(n-2)(n-1)n(n+1)}} {{x}^{1*2*3...(n-2)(n-1)n}}=x^{1*2*3...(n-2)(n-1)n(n+1)-1*2*3...(n-2)(n-1)n}$

Saym · 31.08.2015, 17:07 **[ТС]**

Спасибо. Про вычитание понял.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{1*2*3...(n-2)(n-1)n(n+1)-1*2*3...(n-2)(n-1)n}={x}^{(1*2*3...(n-2)(n-1)n)(n+1-1)}={x}^{n!(n+1-1)}={x}^{n!*n}$
Но предел - все равно бесконечность...
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }{x}^{n!*n}=\lim_{n\rightarrow \propto }{x}^{n!*n}={x}^{\propto }$

@Igor · 31.08.2015, 18:05

Сообщение от Saym

Но предел - все равно бесконечность...

ее не будет, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|x|\leq 1$ .

Saym · 31.08.2015, 19:06 **[ТС]**

То есть, как бы просто отбрасываем степень бесконечности?

Добавлено через 16 минут
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1<x<1$
При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ получаем числовой ряд
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {(-1)}^{n!}$
Он ведь знакочередующийся, так?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{1}+{(-1)}^{2}+{(-1)}^{3}+{(-1)}^{4}...=-1+1-1+1$
Отбрасываем знакочередующийся член $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{n!}$
Остается модуль общего члена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|{a}_{n}|= 1$
Находим его предел. Предел константы равен самой константе. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?lim=1.$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\neq 0.$
Получается, что этот ряд расходится.
При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1$ то же самое.Единица в степени бесконечности.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {1}^{n }$
Не выполняется необходимое условие сходимости.
Верно?

@Igor · 31.08.2015, 19:37

Не по теме:

Saym, у вас изложение такое размытое, что читать не хочется. )

Saym · 31.08.2015, 20:14 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1<x<1$ -интервал сходимости

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)x=-1:\sum {x}^{n!}=\sum {(-1)}^{n!}$

Ряд знакочередующийся.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|{a}_{n}|=1$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }|{a}_{n}|=\lim_{n\rightarrow \propto }1=1$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\neq 0$

Ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum {(-1)}^{n!}$ расходится.

2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1:\sum {x}^{n!}=\sum {1}^{n!}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}={1}^{n!}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }{a}_{n}=\lim_{n\rightarrow \propto }{1}^{n!}={1}^{\propto }=1$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\neq 0.$

Ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {1}^{n!}$ расходится.

Область сходимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1;1)$

@Igor · 31.08.2015, 20:29

Saym, вот, хорошо.
P.S. да, примерно так.

Saym · 31.08.2015, 20:55 **[ТС]**

Хочу уточнить еще. Если получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow\propto }{x}^{n}$ , то отбрасываем бесконечность и интервал сходимости: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1<x<1$ .
Это, выходит, единственный случай, когда что-либо в степени бесконечности не есть бесконечность(так как только единица в любой степени равна единице)?

@Igor · 31.08.2015, 21:57

Сообщение от Saym

Это, выходит, единственный случай, когда что-либо в степени бесконечности не есть бесконечность

ну можно и так сказать.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

Saym 5 / 5 / 4 Регистрация: 02.11.2014 Сообщений: 196

	Сходимость степенного ряда 30.08.2015, 21:31. Показов 1904. Ответов 18 Метки нет (Все метки) При использовании признака Д'Аламбера, предел отношения следующего члена к предыдущему равен бесконечности, т.е. степенной ряд сходится при x=0, но в ответе указан промежуток от минус 1 до 1. В чем ошибка? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{1}^{\propto }x^{n!}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{a}_{n}}=x^{n!}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{a}_{n+1}}=x^{(n+1)!}<br /> \lim_{n\rightarrow \propto} \frac{{a}_{n+1}}{{a}_n}=\frac{{x}^{(n+1)!}}{{x}^{n!}}=x^{(n+1)}=\begin{vmatrix}<br /> \\ x<br /> <br /> \end{vmatrix}\lim_{n\rightarrow \propto} x^n=\propto$ 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	30.08.2015, 21:50
	потому что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\|x\|}^{(n+1)!}}{{\|x\|}^{n!}}\neq {\|x\|}^{n+1}$ . 2

Saym 5 / 5 / 4 Регистрация: 02.11.2014 Сообщений: 196
	31.08.2015, 12:04 [ТС]
	А почему неправильно расписать факториалы в степенях и сократить? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{x}^{(n+1)!}}{{x}^{n!}}=\frac{{x}^{123...(n-2)(n-1)n(n+1)}}{{x}^{123...(n-2)(n-1)n}}={x}^{n+1}$ И как из факториала (n+1) вычесть факториал n? ( не очень понял что такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\|x\|}^{n!(n+1-1)}$ ) Просто выделить общее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!$ , так ? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	31.08.2015, 12:53
	Saym, а почему вы степени делите, а не вычитаете? 1

Saym 5 / 5 / 4 Регистрация: 02.11.2014 Сообщений: 196
	31.08.2015, 14:20 [ТС]
	Понял, спасибо Добавлено через 21 минуту Есть еще непонятки. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{x}^{(n+1)!}}{{x}^{n!}}={x}^{(n+1)!-n!}={x}^{n!n}=x{1}^{n!n}=\|x\|\lim_{n\rightarrow \propto }{1}^{n!n}=\|x\|\lim_{n\rightarrow \propto }{1}=\|x\|;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1<x<1$ - интервал сходимости При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1:\sum {(-1)}^{n!}$ Знакочередующийся. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|{a}_{n}\|=1$ Модуль общего члена равен будет единице? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\|{a}_{n}\|=lim1=1.$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\neq 0$ Расходящийся. 0

Saym 5 / 5 / 4 Регистрация: 02.11.2014 Сообщений: 196
	31.08.2015, 17:07 [ТС]
	Спасибо. Про вычитание понял. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{123...(n-2)(n-1)n(n+1)-123...(n-2)(n-1)n}={x}^{(123...(n-2)(n-1)n)(n+1-1)}={x}^{n!(n+1-1)}={x}^{n!n}$ Но предел - все равно бесконечность... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }{x}^{n!n}=\lim_{n\rightarrow \propto }{x}^{n!*n}={x}^{\propto }$ 0

Saym 5 / 5 / 4 Регистрация: 02.11.2014 Сообщений: 196
	31.08.2015, 19:06 [ТС]
	То есть, как бы просто отбрасываем степень бесконечности? Добавлено через 16 минут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1<x<1$ При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ получаем числовой ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {(-1)}^{n!}$ Он ведь знакочередующийся, так? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{1}+{(-1)}^{2}+{(-1)}^{3}+{(-1)}^{4}...=-1+1-1+1$ Отбрасываем знакочередующийся член $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(-1)}^{n!}$ Остается модуль общего члена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|{a}_{n}\|= 1$ Находим его предел. Предел константы равен самой константе. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?lim=1.$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\neq 0.$ Получается, что этот ряд расходится. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1$ то же самое.Единица в степени бесконечности. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {1}^{n }$ Не выполняется необходимое условие сходимости. Верно? 0

@Igor
	31.08.2015, 19:37
	Не по теме: Saym, у вас изложение такое размытое, что читать не хочется. ) 0

Saym 5 / 5 / 4 Регистрация: 02.11.2014 Сообщений: 196
	31.08.2015, 20:14 [ТС]
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1<x<1$ -интервал сходимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)x=-1:\sum {x}^{n!}=\sum {(-1)}^{n!}$ Ряд знакочередующийся. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|{a}_{n}\|=1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\|{a}_{n}\|=\lim_{n\rightarrow \propto }1=1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\neq 0$ Ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum {(-1)}^{n!}$ расходится. 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1:\sum {x}^{n!}=\sum {1}^{n!}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}={1}^{n!}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }{a}_{n}=\lim_{n\rightarrow \propto }{1}^{n!}={1}^{\propto }=1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1\neq 0.$ Ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {1}^{n!}$ расходится. Область сходимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1;1)$ 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	31.08.2015, 20:29
	Saym, вот, хорошо. P.S. да, примерно так. 1

Saym 5 / 5 / 4 Регистрация: 02.11.2014 Сообщений: 196
	31.08.2015, 20:55 [ТС]
	Хочу уточнить еще. Если получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow\propto }{x}^{n}$ , то отбрасываем бесконечность и интервал сходимости: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-1<x<1$ . Это, выходит, единственный случай, когда что-либо в степени бесконечности не есть бесконечность(так как только единица в любой степени равна единице)? 0

Сходимость степенного ряда

Решение