Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые

@morphine43 · Регистрация: 29.12.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день, снова нужна помощь.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x={\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{t}; y={\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{t+1};y=x;$
Собственно задание описано в названии, не имею понятия, как в данном случае искать пересечение параметрически заданной и обычной функции.

@Ellipsoid · 25.12.2016, 19:10

Решите систему из этих трёх уравнений.

@morphine43 · 25.12.2016, 19:20 **[ТС]**

Просто приравнять $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x={\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t}$ к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y={\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t+1}$ ?
Я уже пробовал, в конце получилось, что 1/t=0, откуда следует, что y=x только при предельном переходе и устремлении t к бесконечности, собственно, что и логично, т.к. y и х это вторые замечательные пределы, то есть пересечение будет в точке x = e, причём y тоже будет равен e, но как это записать для параметрически заданной функции, что пересечение будет только при бесконечно большом t?

Добавлено через 1 минуту
И будет ли только одно пересечение?

Добавлено через 3 минуты
Хотя, если учитывать, что там предельный переход, то не факт, что вообще пересечение будет, то есть график будет стремиться пересечь точку [e;e] с двух сторон, но он её не достигнет же.

@palva · 25.12.2016, 20:36

Можно посчитать производную. довольно муторно, но получилась единица.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}=\ldots$

Добавлено через 2 минуты
Вернее, предел при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\to\infty$ равен единице.

Добавлено через 12 минут
Для чистоты надо пояснить, что функция y(x) доопределяется по непрерывности в точке e. y(e)=e. И тогда предел производной при стремлении к e равен производной в точке е.

@morphine43 · 25.12.2016, 22:00 **[ТС]**

Так если ничего не доопределять будет вообще пересечение или нет? Получается, что пересечение должно быть в точке [e;e], но т.к. параметрически заданная функция там не имеет значения, то нужно её там доопределить, а при доопределении мы можем говорить, что она там непрерывна, т.к. пределы и y и х при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\rightarrow \propto$ равен e? Или не совсем так?

@palva · 25.12.2016, 22:18

Да, так. Формально пересечения нет, если не доопределять.

@morphine43 · 26.12.2016, 18:20 **[ТС]**

Большое спасибо!

При значениях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\epsilon \left[-10;10 \right]$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\epsilon \left[-1000;1000 \right]$ yotx даже два пересечения показывает, ну возможных пересечения видимо.
График Тык

Добавлено через 18 часов 43 минуты
Ну допустим мы доопределили график параметрически заданной функции в точке [e;e], а что делать с углом, как его сосчитать?

@palva · 26.12.2016, 18:24

Производная в этой точке (y по x) это тангенс угла наклона к оси x.

@morphine43 · 26.12.2016, 18:41 **[ТС]**

Производная будет просто $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+{1}^{t}$ или у параметрической всё таки нужно считать производную по t?

Добавлено через 10 минут
Так, я неправильно написал случайно, посчитал производную $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'}_{x}$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y'}_{t}}{{x'}_{t}}$ и получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+\frac{1}{t}$

Добавлено через 56 секунд
Производная $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = x$ очевидно равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y' = 1$

@palva · 26.12.2016, 18:44

Считаете производную для произвольного t по формуле, указанной в #4, потом устремляете t к бесконечности и получаете единицу. Потом заключаете, что производная в предельной точке также равна единице, при этом используете соображения из трехтомника Фихтенгольца т. 1 пункт 113

@morphine43 · 26.12.2016, 19:18 **[ТС]**

palva,

Сообщение от palva

при этом используете соображения из трехтомника Фихтенгольца т. 1 пункт 113

То что при стремлении t к бесконечности получается единица я понял, т.к. производная будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 + \frac{1}{t}$ , но какой тогда угол получается, если обе производные 1? Если смотреть по графику, то производная параметрически заданной функции должна была быть -1, т.к. угол как раз около 90 градусов между ними в точке пересечения.

Добавлено через 5 минут
Если я правильно понял мы доопределяем функцию до непрерывной, потом говорим, что если существует правое предельное значение производной в этой точке, то оно равно правой производной соответственно, а т.к. производную мы уже нашли, то правая производная будет равна производной, которая будет равна правому предельному значению производной, то есть как бы наоборот используем это утверждение?

Добавлено через 22 минуты
Как тогда вообще угол искать? Не до конца понимаю.

@palva · 26.12.2016, 19:31

Сообщение от morphine43

т.к. производная будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+\frac1t$

Производная будет другой.

Сообщение от morphine43

а т.к. производную мы уже нашли

Производную мы не нашли. Мы нашли производную при различных t, а не в предельной точке.

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от morphine43

Как тогда вообще угол искать? Не до конца понимаю.

Доказать, что производная y по x в предельной точке (e,e) равна единице. Угол будет нулевым.

@morphine43 · 26.12.2016, 19:42 **[ТС]**

palva,

Сообщение от palva

Производная будет другой.

Но как? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'}_{x}=\frac{{y'}_{t}}{{x'}_{t}}=\frac{\left( {\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t+1}\right)'}{\left( {\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t+1}\right)'}=\frac{{\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t+1}*ln\left(1+\frac{1}{t} \right)*\left(-1 \right)*\frac{1}{{t}^{2}}}{{\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t}*ln\left(1+\frac{1}{t} \right)*\left(-1 \right)*\frac{1}{{t}^{2}}}=1+\frac{1}{t}$ Разве производная не так будет считаться?

Сообщение от palva

Угол будет нулевым.

И почему угол будет нулевым, если на графике явно видно почти перпендикулярное пересечение?

@palva · 26.12.2016, 20:10

У меня так получилось, но возможно у меня ошибка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'}_{x}=\frac{{y'}_{t}}{{x'}_{t}}=\frac{\frac{d}{dt}{\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t+1}}{\frac{d}{dt}{\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t}}=\frac{{\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t+1}\left(\ln\left(1+\frac{1}{t} \right)-\frac{1}{t} \right)}{{\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t}\left(\ln\left(1+\frac{1}{t} \right)-\frac{1}{t+1} \right)}$

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от morphine43

И почему угол будет нулевым, если на графике явно видно почти перпендикулярное пересечение?

А почему вы верите графику, если знаете, что пересечения нет? Вы же это доказали.

Добавлено через 4 минуты
Возможно, в производной я напутал, но скобка у меня не сократилась. Но даже если вы и правы, то все равно предельное значение производной равно единице.

@morphine43 · 26.12.2016, 20:17 **[ТС]**

Ну предельное значение действительно равное единице.

Сообщение от palva

А почему вы верите графику, если знаете, что пересечения нет?

Ну на графике тоже пересечения нет по факту, просто видно как идут оба графика и пересекаются они под углом примерно 90 градусов, иначе как у нас может быть пересечение только в одной точке, если угол 0 градусов? Тогда пересечений было бы как минимум два, или вообще бесконечное количество.

@palva · 26.12.2016, 20:21

Еще раз проверил по wolframalpha. Вроде бы производную числителя и знаменателя взял правильно.

Сообщение от morphine43

как у нас может быть пересечение только в одной точке, если угол 0 градусов?

А что здесь странного. Касательная к окружности имеет одну общую точку, а угол равен нулю.

@morphine43 · 26.12.2016, 20:23 **[ТС]**

Не могли бы Вы тогда попробовать примерно построить график, чтобы я мог понять, как идёт это пересечение, если возможно?
Насчёт производной сейчас перепроверю, видимо я где-то не так взял.

@palva · 26.12.2016, 20:40

Хотя увидел ошибку. Надо проверить предельное значение. Там неопределенность будет. Я что-то поторопился вчера.

Добавлено через 15 минут
Похоже, что предельное значение равно 1. Попробуйте сами посчитать. Я раскладывал логарифм в ряд до члена 1/t^2.

@morphine43 · 26.12.2016, 20:50 **[ТС]**

Сообщение от palva

Похоже, что предельное значение равно 1

Запихал всё по отдельности вольфрам, получил производные, потом отдельно сосчитал предел отношения производных, в итоге на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\infty$ и на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\infty$ выдаётся минус единица, как я и думал, т.к. если построить графики явно видно, что параметрическая функция вблизи точки [e;e] ведёт себя как функция перпендикулярная к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=x$ в этой точке.

Добавлено через 3 минуты
Кажется картинки отдельно нельзя вставлять.

@palva · 26.12.2016, 20:54

А с пересечением видно же, что y всегда немного больше чем x, то есть пересечения нет, и кривая как-то приближается к точке (e,e) как-то слева снизу, поскольку обе координаты увеличиваются.

Добавлено через 1 минуту
А почему минус, когда формулы почти совпадают?

Добавлено через 1 минуту
Мои производные правильные?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@morphine43 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.12.2015 Сообщений: 65

	Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые 25.12.2016, 18:20. Показов 8201. Ответов 34 Метки нет (Все метки) Добрый день, снова нужна помощь. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x={\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{t}; y={\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{t+1};y=x;$ Собственно задание описано в названии, не имею понятия, как в данном случае искать пересечение параметрически заданной и обычной функции. 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	25.12.2016, 19:10
	Решите систему из этих трёх уравнений. 0

@morphine43 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.12.2015 Сообщений: 65
	25.12.2016, 19:20 [ТС]
	Просто приравнять $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x={\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t}$ к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y={\left(1+\frac{1}{t} \right)}^{t+1}$ ? Я уже пробовал, в конце получилось, что 1/t=0, откуда следует, что y=x только при предельном переходе и устремлении t к бесконечности, собственно, что и логично, т.к. y и х это вторые замечательные пределы, то есть пересечение будет в точке x = e, причём y тоже будет равен e, но как это записать для параметрически заданной функции, что пересечение будет только при бесконечно большом t? Добавлено через 1 минуту И будет ли только одно пересечение? Добавлено через 3 минуты Хотя, если учитывать, что там предельный переход, то не факт, что вообще пересечение будет, то есть график будет стремиться пересечь точку [e;e] с двух сторон, но он её не достигнет же. 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,915 Записей в блоге: 4
	25.12.2016, 20:36
	Можно посчитать производную. довольно муторно, но получилась единица. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}=\ldots$ Добавлено через 2 минуты Вернее, предел при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\to\infty$ равен единице. Добавлено через 12 минут Для чистоты надо пояснить, что функция y(x) доопределяется по непрерывности в точке e. y(e)=e. И тогда предел производной при стремлении к e равен производной в точке е. 0

@morphine43 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.12.2015 Сообщений: 65
	25.12.2016, 22:00 [ТС]
	Так если ничего не доопределять будет вообще пересечение или нет? Получается, что пересечение должно быть в точке [e;e], но т.к. параметрически заданная функция там не имеет значения, то нужно её там доопределить, а при доопределении мы можем говорить, что она там непрерывна, т.к. пределы и y и х при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\rightarrow \propto$ равен e? Или не совсем так? 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,915 Записей в блоге: 4
	25.12.2016, 22:18
	Да, так. Формально пересечения нет, если не доопределять. 0

@morphine43 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.12.2015 Сообщений: 65
	26.12.2016, 18:20 [ТС]
	Большое спасибо! При значениях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\epsilon \left[-10;10 \right]$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\epsilon \left[-1000;1000 \right]$ yotx даже два пересечения показывает, ну возможных пересечения видимо. График Тык Добавлено через 18 часов 43 минуты Ну допустим мы доопределили график параметрически заданной функции в точке [e;e], а что делать с углом, как его сосчитать? 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,915 Записей в блоге: 4
	26.12.2016, 18:24
	Производная в этой точке (y по x) это тангенс угла наклона к оси x. 0

@morphine43 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.12.2015 Сообщений: 65
	26.12.2016, 18:41 [ТС]
	Производная будет просто $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+{1}^{t}$ или у параметрической всё таки нужно считать производную по t? Добавлено через 10 минут Так, я неправильно написал случайно, посчитал производную $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y'}_{x}$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{y'}_{t}}{{x'}_{t}}$ и получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+\frac{1}{t}$ Добавлено через 56 секунд Производная $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = x$ очевидно равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y' = 1$ 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,915 Записей в блоге: 4
	26.12.2016, 18:44
	Считаете производную для произвольного t по формуле, указанной в #4, потом устремляете t к бесконечности и получаете единицу. Потом заключаете, что производная в предельной точке также равна единице, при этом используете соображения из трехтомника Фихтенгольца т. 1 пункт 113 0

@morphine43 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.12.2015 Сообщений: 65
	26.12.2016, 20:23 [ТС]
	Не могли бы Вы тогда попробовать примерно построить график, чтобы я мог понять, как идёт это пересечение, если возможно? Насчёт производной сейчас перепроверю, видимо я где-то не так взял. 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,915 Записей в блоге: 4
	26.12.2016, 20:40
	Хотя увидел ошибку. Надо проверить предельное значение. Там неопределенность будет. Я что-то поторопился вчера. Добавлено через 15 минут Похоже, что предельное значение равно 1. Попробуйте сами посчитать. Я раскладывал логарифм в ряд до члена 1/t^2. 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,915 Записей в блоге: 4
	26.12.2016, 20:54
	А с пересечением видно же, что y всегда немного больше чем x, то есть пересечения нет, и кривая как-то приближается к точке (e,e) как-то слева снизу, поскольку обе координаты увеличиваются. Добавлено через 1 минуту А почему минус, когда формулы почти совпадают? Добавлено через 1 минуту Мои производные правильные? 0