Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость или расходимость ряда

@staccy · Регистрация: 26.12.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Как применить критерий Коши к этому ряду?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{11}+\frac{1}{21}+...+\frac{1}{10n+1}+...$

@3D Homer · 09.03.2017, 15:51

Не знаю, критерий Коши ли это, но $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{10n+1}>\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{11n}=\frac{1}{11}\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{n}$ .

@staccy · 09.03.2017, 16:27 **[ТС]**

3D Homer, кажется это не совсем он

@3D Homer · 09.03.2017, 16:31

А мне кажется, что он. Правда, тут используется также факт, что ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\frac{1}{n}$ расходится. Но пока вы не объясните свою точку зрения, мы так и останемся при своем мнении.

@staccy · 09.03.2017, 16:39 **[ТС]**

3D Homer, разве в Коши не используется модуль суммы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{n+1}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{n+p}$ ?

@3D Homer · 09.03.2017, 16:42

Нет, в критерии Коши используется модуль разности этих сумм. А эта разность — это та сумма, которую я написал в сообщении №2 (с точностью до первого члена). И зачем здесь модуль, если все члены ряда положительны?

@staccy · 09.03.2017, 17:02 **[ТС]**

3D Homer, а можно подробней объяснить?

@3D Homer · 09.03.2017, 17:05

Хорошо, но вы сначала приведите формулировку критерия Коши без использования обозначения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n$ .

@staccy · 09.03.2017, 17:15 **[ТС]**

Эта, если не ошибаюсь
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\sum_{k=n}^{n+p}{a}_{k}\right|<\varepsilon$

@3D Homer · 09.03.2017, 17:24

Полная формулировка говорит: ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^\infty a_k$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon>0$ найдется такое натуральное число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N$ , что для любого натурального $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ и любого натурального $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\ge N$ имеет место $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\sum_{k=n}^{n+p}{a}_{k}\right|<\varepsilon$ .

Известно, что ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ расходится. По критерию Коши существует такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon>0$ , что для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N$ существуют такие $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\ge N$ , что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{k}\ge\varepsilon$ . С учетом сообщения 2 это противоречит сходимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{10k+1}$ по критерию Коши.

@staccy · 09.03.2017, 17:43 **[ТС]**

3D Homer, а как получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{11n}$ ?

@3D Homer · 09.03.2017, 17:48

Вопрос "как" нужно задавать не про выражение, а про утверждение, например, про равенство. Например, как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+z=y+z$ следует из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=y$ ?

@staccy · 09.03.2017, 18:03 **[ТС]**

Ладно, почему взяли для сравнения именно этот ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{11n}$ , а не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{10n+1}$ допустим?

Добавлено через 6 минут
т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{10n+2}$

@3D Homer · 09.03.2017, 18:06

Строго говоря, этот вопрос тоже неправильный. Я написал доказательство: оно находится в сообщениях 2 и 10. Вы не имеете права спрашивать "Почему вы составили именно это доказательство?". Единственный легитимный вопрос про доказательстве — это "Почему то или иное рассуждение (заключение) верно?"

В качестве исходного пункта для доказательства я взял факт, что ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится. Затем я применил к этому факту критерий Коши и получил, что у данного ряда есть сколь угодно далекие большие частичные суммы. Далее я показал, что у вашего исходного ряда суммы не могут быть намного меньше, чем у 1/n. Значит, у вашего ряда также есть сколь угодно далекие большие частичные суммы, и критерий Коши для него не выполняется.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от staccy

т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{10n+2}$

А ничего, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\frac{1}{10n+1}$ фигурирует в вашей задаче, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\frac{1}{10n+2}$ — нет? Вы уже забыли, что нужно доказать?

@staccy · 09.03.2017, 18:10 **[ТС]**

3D Homer, благодарю, все понял

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50

	Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость или расходимость ряда 09.03.2017, 15:04. Показов 7119. Ответов 14 Метки Коши, ряд (Все метки) Как применить критерий Коши к этому ряду? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{11}+\frac{1}{21}+...+\frac{1}{10n+1}+...$ 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,790
	09.03.2017, 15:51
	Сообщение было отмечено staccy как решение Решение Не знаю, критерий Коши ли это, но $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{10n+1}>\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{11n}=\frac{1}{11}\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{n}$ . 0

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	09.03.2017, 16:27 [ТС]
	3D Homer, кажется это не совсем он 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,790
	09.03.2017, 16:31
	А мне кажется, что он. Правда, тут используется также факт, что ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\frac{1}{n}$ расходится. Но пока вы не объясните свою точку зрения, мы так и останемся при своем мнении. 0

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	09.03.2017, 16:39 [ТС]
	3D Homer, разве в Коши не используется модуль суммы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{n+1}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{n+p}$ ? 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,790
	09.03.2017, 16:42
	Нет, в критерии Коши используется модуль разности этих сумм. А эта разность — это та сумма, которую я написал в сообщении №2 (с точностью до первого члена). И зачем здесь модуль, если все члены ряда положительны? 0

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	09.03.2017, 17:02 [ТС]
	3D Homer, а можно подробней объяснить? 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,790
	09.03.2017, 17:05
	Хорошо, но вы сначала приведите формулировку критерия Коши без использования обозначения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n$ . 0

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	09.03.2017, 17:15 [ТС]
	Эта, если не ошибаюсь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|\sum_{k=n}^{n+p}{a}_{k}\right\|<\varepsilon$ 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,790
	09.03.2017, 17:24
	Полная формулировка говорит: ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^\infty a_k$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon>0$ найдется такое натуральное число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N$ , что для любого натурального $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ и любого натурального $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\ge N$ имеет место $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|\sum_{k=n}^{n+p}{a}_{k}\right\|<\varepsilon$ . Известно, что ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ расходится. По критерию Коши существует такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon>0$ , что для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N$ существуют такие $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\ge N$ , что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{k}\ge\varepsilon$ . С учетом сообщения 2 это противоречит сходимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{10k+1}$ по критерию Коши. 0

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	09.03.2017, 17:43 [ТС]
	3D Homer, а как получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{11n}$ ? 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,790
	09.03.2017, 17:48
	Вопрос "как" нужно задавать не про выражение, а про утверждение, например, про равенство. Например, как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+z=y+z$ следует из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=y$ ? 0

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	09.03.2017, 18:03 [ТС]
	Ладно, почему взяли для сравнения именно этот ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{11n}$ , а не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{10n+1}$ допустим? Добавлено через 6 минут т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=n}^{n+p}\frac{1}{10n+2}$ 0

@staccy 0 / 0 / 1 Регистрация: 26.12.2016 Сообщений: 50
	09.03.2017, 18:10 [ТС]
	3D Homer, благодарю, все понял 0

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость или расходимость ряда

Решение