Тройной интеграл. Объём

@Ryndysh · Регистрация: 19.11.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здарствуйтеу, есть задача:
С помощью тройного интеграла вычеслить объём тела: x²+y²+z² = 4; x²+y² = 3z
Посторил, очевидно что первое уранеие сфера, второе параболоид, ну и ясно, что нужно перецти к сферическим координатам. Я перешёл, сделал замену получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{ \frac{3cos\theta}{{sin}^{2}\theta }}^{2}d\rho \int_{?}^{?}{\rho }^{2}sin\theta d\theta$
Не могли бы вы пожалуйста объяснить как меняется угол \theta просто я чего то недопонимаювроде как от 0 до\frac{\pi}{2} но я не уверен.

@mathmichel · 19.06.2017, 19:58

Переход к сферической системе координат здесь бредовый. Здесь в лучшем случае переход к цилиндрической системе (совершенно необязательный). Здесь достаточно найти линию пересечения двух тел, чтобы понять, объемы каких тел достаточно вычислить.

@Ryndysh · 19.06.2017, 20:27 **[ТС]**

При переходе к сферическим у меня получился вот такой интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{2}d\rho \int_{\rho }^{\frac{{\rho }^{2}}{3}} \rho d\rho$
ТО есть просто его посчитать и всё?

@jogano · 19.06.2017, 21:00

Ryndysh, два раза интегрируете по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ - это нормально? И угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ никак не задействован. Лучше полярно-цилиндрические координаты.

@Ryndysh · 19.06.2017, 21:02 **[ТС]**

Прошу прощения, в последнем случае dz

@Nadym · 19.06.2017, 21:03

Ryndysh, да зачем Вам эта тягомотина со сферической системой координат? Я бы из объема шара (V = 32pi/3) просто вычел бы объем параболоида, образованный вращением вокруг оси Оz параболы и вычел бы сегмент шара - тем более, что пределы тут у Вас красивые: [0; 1]. А в Вашем тройном интеграле вероятность допустить ошибку намного выше.

@Ryndysh · 19.06.2017, 21:05 **[ТС]**

Но тогда полчится не с помощью тройного интеграла, не так ли?

@Nadym · 19.06.2017, 21:09

Ryndysh, а Вам надо именно тройным?) Ну тогда делайте тройным, а моим способом проверьте правильность)

@Ryndysh · 19.06.2017, 21:12 **[ТС]**

Ага, в задании сказано тройным, спасибо проверю))

@jogano · 19.06.2017, 21:14

Сообщение от Ryndysh

Прошу прощения, в последнем случае dz

Тогда это неправильное решение с помощью полярно-цилиндрической системы. По $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ верхний предел не до 2 - у вас же часть параболоида не отдаляется от оси OZ на 2 единицы. Это сфера отдаляется.
В пределах по z тоже ошибки - ваш верхний предел на самом деле является нижним. Иначе у вас получается, что высота меряется от конической поверхности (которая у вас в условии не дана) ДО параболоида, тогда как на самом деле ОТ параболоида до сферы.

@Ryndysh · 19.06.2017, 21:22 **[ТС]**

Вот я и не понимаю каким образом меняется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ и почему играет роль как отдаляется параболоид ведь нам нужен объем внутри сферы. А что касается пределов по z то нижний я получил подставляя новые координаты в уравнение параболоида а верхний в уравнение сферы, что не так я делаю?

@jogano · 19.06.2017, 21:29

Сообщение от Ryndysh

ведь нам нужен объем внутри сферы

Между параболоидом и сферой.

Сообщение от Ryndysh

что не так я делаю?

Уже написал в последних двух строках поста #10. Для проверки вашей версии пределов по z: вас не смущает, что ваш верхний предел по z (для области $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho <3$ ) меньше нижнего? Хотя должно быть наоборот.

@mathmichel · 19.06.2017, 21:42

Объем тела считается с помощью двух различных тройных интегралов

@Ryndysh · 19.06.2017, 21:42 **[ТС]**

Всё понял, спасибо))

@Nacuott · 19.06.2017, 21:57

Здесь можно рассмотреть два тройных интеграла-первый берется в декартовых, а во втором можно перейти к сферическим координатам.
См.картинку.

@Nacuott · 19.06.2017, 22:32

mathidiot , кто-то из нас ошибся.Я проверил через тела вращение и численно через тройной в декартовых.Так что проверьте еще раз свои вычисления.

@mathmichel · 19.06.2017, 22:43

Это я ошибся с первым интегралом, который почему-то вычислял в сферических координатах, хотя сам выше сказал, что лучше в цилиндрических

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@Ryndysh 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.11.2016 Сообщений: 39

	Тройной интеграл. Объём 19.06.2017, 18:49. Показов 6351. Ответов 16 Метки нет (Все метки) Здарствуйтеу, есть задача: С помощью тройного интеграла вычеслить объём тела: x²+y²+z² = 4; x²+y² = 3z Посторил, очевидно что первое уранеие сфера, второе параболоид, ну и ясно, что нужно перецти к сферическим координатам. Я перешёл, сделал замену получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{ \frac{3cos\theta}{{sin}^{2}\theta }}^{2}d\rho \int_{?}^{?}{\rho }^{2}sin\theta d\theta$ Не могли бы вы пожалуйста объяснить как меняется угол \theta просто я чего то недопонимаювроде как от 0 до\frac{\pi}{2} но я не уверен. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11045 / 7348 / 3980 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,762
	19.06.2017, 19:58
	Переход к сферической системе координат здесь бредовый. Здесь в лучшем случае переход к цилиндрической системе (совершенно необязательный). Здесь достаточно найти линию пересечения двух тел, чтобы понять, объемы каких тел достаточно вычислить. 0

@Ryndysh 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.11.2016 Сообщений: 39
	19.06.2017, 20:27 [ТС]
	При переходе к сферическим у меня получился вот такой интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{2}d\rho \int_{\rho }^{\frac{{\rho }^{2}}{3}} \rho d\rho$ ТО есть просто его посчитать и всё? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	19.06.2017, 21:00
	Ryndysh, два раза интегрируете по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ - это нормально? И угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ никак не задействован. Лучше полярно-цилиндрические координаты. 0

@Ryndysh 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.11.2016 Сообщений: 39
	19.06.2017, 21:02 [ТС]
	Прошу прощения, в последнем случае dz 0

@Nadym 396 / 285 / 82 Регистрация: 24.05.2017 Сообщений: 1,112
	19.06.2017, 21:03
	Сообщение было отмечено Ryndysh как решение Решение Ryndysh, да зачем Вам эта тягомотина со сферической системой координат? Я бы из объема шара (V = 32pi/3) просто вычел бы объем параболоида, образованный вращением вокруг оси Оz параболы и вычел бы сегмент шара - тем более, что пределы тут у Вас красивые: [0; 1]. А в Вашем тройном интеграле вероятность допустить ошибку намного выше. 0

@Ryndysh 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.11.2016 Сообщений: 39
	19.06.2017, 21:05 [ТС]
	Но тогда полчится не с помощью тройного интеграла, не так ли? 0

@Nadym 396 / 285 / 82 Регистрация: 24.05.2017 Сообщений: 1,112
	19.06.2017, 21:09
	Ryndysh, а Вам надо именно тройным?) Ну тогда делайте тройным, а моим способом проверьте правильность) 0

@Ryndysh 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.11.2016 Сообщений: 39
	19.06.2017, 21:12 [ТС]
	Ага, в задании сказано тройным, спасибо проверю)) 0

@Ryndysh 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.11.2016 Сообщений: 39
	19.06.2017, 21:22 [ТС]
	Вот я и не понимаю каким образом меняется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ и почему играет роль как отдаляется параболоид ведь нам нужен объем внутри сферы. А что касается пределов по z то нижний я получил подставляя новые координаты в уравнение параболоида а верхний в уравнение сферы, что не так я делаю? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11045 / 7348 / 3980 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,762
	19.06.2017, 21:42
	Объем тела считается с помощью двух различных тройных интегралов Миниатюры 0

@Ryndysh 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.11.2016 Сообщений: 39
	19.06.2017, 21:42 [ТС]
	Всё понял, спасибо)) 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,074 Записей в блоге: 12
	19.06.2017, 21:57
	Здесь можно рассмотреть два тройных интеграла-первый берется в декартовых, а во втором можно перейти к сферическим координатам. См.картинку. Миниатюры 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,074 Записей в блоге: 12
	19.06.2017, 22:32
	mathidiot , кто-то из нас ошибся.Я проверил через тела вращение и численно через тройной в декартовых.Так что проверьте еще раз свои вычисления. 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11045 / 7348 / 3980 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,762
	19.06.2017, 22:43
	Это я ошибся с первым интегралом, который почему-то вычислял в сферических координатах, хотя сам выше сказал, что лучше в цилиндрических Миниатюры 0

Тройной интеграл. Объём

Решение