Неопределенный интеграл

@DmitryM5 · Регистрация: 27.08.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый вечер! Подскажите как быть с таким интегралом?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+81}dx$

up?

@palva · 07.02.2018, 20:09

Разложить знаменатель на множители - умеете?

@DmitryM5 · 07.02.2018, 20:16 **[ТС]**

Сообщение от palva

Разложить знаменатель на множители - умеете?

Вроде как не раскладывается.. Вы не ошиблись?

@palva · 07.02.2018, 20:38

Ну как не раскладывается! Теоремы же есть, что в поле комплексных раскладывается на линейные, потом объединяете сопряженные корни, получаете два квадратных трехчлена.

А можно вспомнить детство и разложить по школьному, как в девятом классе
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^4+81=(x^4+18x^2+81)-18x^2=(x^2+9)^2-18x^2$ , а это разность квадратов.
Потом раскладываем на простейшие - это уже потрудиться. wolframalpha.com дает нам ответ
-x/(6 sqrt(2) (-x^2 + 3 sqrt(2) x - 9)) - x/(6 sqrt(2) (x^2 + 3 sqrt(2) x + 9))
Потом выделяем квадраты в знаменателе, это тоже много работы...

Может, интеграл можно и проще взять. Не вижу пока как.

Добавлено через 10 минут
Наверно, работы будет поменьше, если интеграл предварительно немного упростить, сделав замену.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{x^2}{x^4+81}\,dx=-\int\frac{x^4}{x^4+81}\,d\left(\frac 1x\right)=-\frac 13\int\frac{1}{1+\left(\frac 3x\right)^4}\,d\left(\frac 3x\right)$

@DmitryM5 · 07.02.2018, 20:54 **[ТС]**

Сообщение от palva

Наверно, работы будет поменьше, если интеграл предварительно немного упростить, сделав замену.

Вот так поинтереснее.. Спасибо большое, дальше сам)

Байт · 07.02.2018, 22:50

x⁴ + a⁴ = x⁴ + 2x²a² + a⁴ - 2x²a² = (x² + a²)² - (sqrt(2)xa)² = (разность квадратов)
Хотя, конечно, через комплексные сопряженные корни приятнее....

Добавлено через 2 минуты

Не по теме:

palva, прошу прощения, этот "детский" способ вы уже показали, я просто прочитал ваш пост по диагонали, и не заметил...:)

@DmitryM5 Консультант Витте 106 / 86 / 45 Регистрация: 27.08.2013 Сообщений: 1,356 Записей в блоге: 1
		1
	Неопределенный интеграл 05.02.2018, 16:32. Показов 430. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Добрый вечер! Подскажите как быть с таким интегралом? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+81}dx$ up? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	07.02.2018, 20:09	2
	Разложить знаменатель на множители - умеете? 0

@DmitryM5 Консультант Витте 106 / 86 / 45 Регистрация: 27.08.2013 Сообщений: 1,356 Записей в блоге: 1
	07.02.2018, 20:16 [ТС]	3
	Сообщение от palva Разложить знаменатель на множители - умеете? Вроде как не раскладывается.. Вы не ошиблись? 0

@palva 4240 / 2937 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	07.02.2018, 20:38	4
	Ну как не раскладывается! Теоремы же есть, что в поле комплексных раскладывается на линейные, потом объединяете сопряженные корни, получаете два квадратных трехчлена. А можно вспомнить детство и разложить по школьному, как в девятом классе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^4+81=(x^4+18x^2+81)-18x^2=(x^2+9)^2-18x^2$ , а это разность квадратов. Потом раскладываем на простейшие - это уже потрудиться. wolframalpha.com дает нам ответ -x/(6 sqrt(2) (-x^2 + 3 sqrt(2) x - 9)) - x/(6 sqrt(2) (x^2 + 3 sqrt(2) x + 9)) Потом выделяем квадраты в знаменателе, это тоже много работы... Может, интеграл можно и проще взять. Не вижу пока как. Добавлено через 10 минут Наверно, работы будет поменьше, если интеграл предварительно немного упростить, сделав замену. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\frac{x^2}{x^4+81}\,dx=-\int\frac{x^4}{x^4+81}\,d\left(\frac 1x\right)=-\frac 13\int\frac{1}{1+\left(\frac 3x\right)^4}\,d\left(\frac 3x\right)$ 3

@DmitryM5 Консультант Витте 106 / 86 / 45 Регистрация: 27.08.2013 Сообщений: 1,356 Записей в блоге: 1
	07.02.2018, 20:54 [ТС]	5
	Сообщение от palva Наверно, работы будет поменьше, если интеграл предварительно немного упростить, сделав замену. Вот так поинтереснее.. Спасибо большое, дальше сам) 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	07.02.2018, 22:50	6
	x⁴ + a⁴ = x⁴ + 2x²a² + a⁴ - 2x²a² = (x² + a²)² - (sqrt(2)xa)² = (разность квадратов) Хотя, конечно, через комплексные сопряженные корни приятнее.... Добавлено через 2 минуты Не по теме: palva, прошу прощения, этот "детский" способ вы уже показали, я просто прочитал ваш пост по диагонали, и не заметил...:) 1