Найти сумму ряда

@Arzybek · Регистрация: 24.09.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Приветствую знатоков мат. анализа. Необходимо найти сумму такого ряда:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{0}^{inf} ({x}^{2n+2})/( (2n+1)(2n+2))$
Попытался самостоятельно по аналогии с тем, чему нас учили, конкретно в этом номере нужно применить либо почленное дифференцирование, либо интегрирование. Попытался вынести x и получил x*(оставшийся ряд)
Принимаем оставшийся ряд за g(x), дифференцируем его и получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1/2+{x}^{4}/4+{x}^{4}/6+{x}^{6}/8...$
А дальше у меня тупик, на какое разложение это похоже, как к нему привести...

Байт · 27.12.2018, 16:50

Arzybek, во втором члене, видимо, описка, следует читать x²/4 ?
Выносите 1/2, еще разок дифференцируете, и получаете опять геометрическую прогрессию

@Arzybek · 27.12.2018, 17:10 **[ТС]**

Да, описка. Попробую

@mathmichel · 27.12.2018, 17:37

Сообщение от Arzybek

Попытался вынести x и получил x*(оставшийся ряд)

Это делать совершенно не нужно. После двукратного дифференцирования исходного ряда получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum _{n=0}^\infty x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}$ . Теперь после двукратного интегрирования возвращаемся к исходному ряду, получается симпатичная формула: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x)=\frac{1}{2}ln(1-x^2)-\frac{x}{2}ln\left(\frac{1-x}{1+x} \right)$

@Том Ардер · 27.12.2018, 18:08

Сообщение от Arzybek

Попытался вынести x и получил x*(оставшийся ряд)

Странные преобразования и разложения.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}$

Первое дифференцирование
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

Второе дифференцирование
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{x^{2n}}=\frac{1}{1-x^2}$

Добавлено через 3 минуты
mathidiot, после обновления экрана увидел Ваш ответ.

@Arzybek 7 / 7 / 0 Регистрация: 24.09.2017 Сообщений: 136
		1
	Найти сумму ряда 27.12.2018, 15:54. Показов 1887. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Приветствую знатоков мат. анализа. Необходимо найти сумму такого ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{0}^{inf} ({x}^{2n+2})/( (2n+1)(2n+2))$ Попытался самостоятельно по аналогии с тем, чему нас учили, конкретно в этом номере нужно применить либо почленное дифференцирование, либо интегрирование. Попытался вынести x и получил x*(оставшийся ряд) Принимаем оставшийся ряд за g(x), дифференцируем его и получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1/2+{x}^{4}/4+{x}^{4}/6+{x}^{6}/8...$ А дальше у меня тупик, на какое разложение это похоже, как к нему привести... 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	27.12.2018, 16:50	2
	Arzybek, во втором члене, видимо, описка, следует читать x²/4 ? Выносите 1/2, еще разок дифференцируете, и получаете опять геометрическую прогрессию 0

@Arzybek 7 / 7 / 0 Регистрация: 24.09.2017 Сообщений: 136
	27.12.2018, 17:10 [ТС]	3
	Да, описка. Попробую 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	27.12.2018, 17:37	4
	Сообщение было отмечено Arzybek как решение Решение Сообщение от Arzybek Попытался вынести x и получил x*(оставшийся ряд) Это делать совершенно не нужно. После двукратного дифференцирования исходного ряда получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum _{n=0}^\infty x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}$ . Теперь после двукратного интегрирования возвращаемся к исходному ряду, получается симпатичная формула: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x)=\frac{1}{2}ln(1-x^2)-\frac{x}{2}ln\left(\frac{1-x}{1+x} \right)$ 2

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	27.12.2018, 18:08	5
	Сообщение от Arzybek Попытался вынести x и получил x(оставшийся ряд) Странные преобразования и разложения. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{(2n+1)(2n+2)}$ Первое дифференцирование $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ Второе дифференцирование $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{x^{2n}}=\frac{1}{1-x^2}$ Добавлено через 3 минуты* mathidiot, после обновления экрана увидел Ваш ответ. 0

Найти сумму ряда

Решение