Докажите, что любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами обязательно имеет вещественный корень

@Cover05 · Регистрация: 17.02.2019

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Докажите, что любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами обязательно имеет вещественный корень.

@jogano · 17.05.2019, 21:48

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_n\left(x \right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to \infty}P_n\left(x \right)=\lim_{x \to \infty}x^n\left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\frac{a_{n-2}}{x^2}+...+\frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\right)$
Скобка стремится к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n$ при стремлении х к бесконечности любого знака. А вот
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^n \to +\infty, \: x \to +\infty\\x^n \to -\infty, \: x \to -\infty\\$ за счёт нечётности n. То есть для достаточно больших по модулю х многочлен принимает на левом и правом бесконечном интервалах значения разных знаков, будучи непрерывной функцией, а значит, пересекает ось ОХ минимум один раз.

Байт · 18.05.2019, 09:59

Есть еще алгебраический подход. У многочлена степени n ровно n комплексных корней. Но корни с мнимой частью непременно ходят парами. Не меньше чем один корень останется без пары. Он - действительный.
Хотя конечном, в этом разделе логичнее использовать подход уважаемого jogano.

@Cover05 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.02.2019 Сообщений: 15
		1
	Докажите, что любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами обязательно имеет вещественный корень 17.05.2019, 19:41. Показов 7753. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Докажите, что любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами обязательно имеет вещественный корень. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	17.05.2019, 21:48	2
	Сообщение было отмечено Cover05 как решение Решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_n\left(x \right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to \infty}P_n\left(x \right)=\lim_{x \to \infty}x^n\left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\frac{a_{n-2}}{x^2}+...+\frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\right)$ Скобка стремится к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n$ при стремлении х к бесконечности любого знака. А вот $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^n \to +\infty, \: x \to +\infty\\x^n \to -\infty, \: x \to -\infty\\$ за счёт нечётности n. То есть для достаточно больших по модулю х многочлен принимает на левом и правом бесконечном интервалах значения разных знаков, будучи непрерывной функцией, а значит, пересекает ось ОХ минимум один раз. 2

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	18.05.2019, 09:59	3
	Есть еще алгебраический подход. У многочлена степени n ровно n комплексных корней. Но корни с мнимой частью непременно ходят парами. Не меньше чем один корень останется без пары. Он - действительный. Хотя конечном, в этом разделе логичнее использовать подход уважаемого jogano. 0

Опции темы

Докажите, что любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами обязательно имеет вещественный корень

Решение