Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями

@GrishaMatan · Регистрация: 19.07.2020

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый вечер!
Задача: Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями:
1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}$
Вот приметный рисунок:

@jogano · 29.07.2020, 20:59

Перейдите в модифицированную полярно-цилиндрическую систему координат
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x=ar \cos \varphi \\ y=br \sin \varphi \\ z=z \end{cases}$ , вычислите якобиан преобразования координат (он равен abr ), затем определяете пределы изменений новых переменных: для определения максимального z достаточно приравнять правые части ваших функций (на какой высоте они пересекаются), для этого максимального значения z будет и максимальное значение переменной r. А по углу проще всего - от 0 до 2П в силу осевой симметрии вашего тела, поэтому и делается переход к полярно-цилиндрической системе. Записывается тройной интеграл для объёма, который очень легко вычисляется. Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi ab}{6}$

@slava_psk · 04.08.2020, 10:33

jogano, странно, что ответ пропорционален квадрату линейного размера.

@eropegov · 04.08.2020, 14:21

Сообщение от slava_psk

странно, что ответ пропорционален квадрату линейного размера

Это не размер.

@slava_psk · 04.08.2020, 16:02

Площадь эллипса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi ab$ . a,b - размерные параметры эллипса.

@jogano · 04.08.2020, 16:36

slava_psk, я надеялся, что за 5,5 часов вы, как человек опытный, в частности, в нахождении объёмов через тройные интегралы, сами снимете этот вопрос. Вы только мой ответ прочитали или попытались найти объём самостоятельно?

@slava_psk · 04.08.2020, 18:06

jogano, попытался через обычные цилиндрические координаты.

@eropegov · 04.08.2020, 20:32

Сообщение от slava_psk

Площадь эллипса . a,b - размерные параметры эллипса.

А при чём здесь эллипс?

@slava_psk · 04.08.2020, 20:38

eropegov, могу ошибаться. Чисто предположение.

@eropegov · 04.08.2020, 20:49

slava_psk, я пока не вижу, в чём состоит ваше предположение, оно не сформулировано.

@slava_psk · 05.08.2020, 11:04

При решении этой задачки возникла проблемка. Интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }\frac{d\varphi }{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi+{a}^{2}{sin}^{2}\varphi }=\frac{1}{ab}arctg\left(\frac{a}{b}tg\varphi \right)$ от 0 до 2*pi. Как его считать по Лейбницу?

@jogano · 05.08.2020, 12:48

slava_psk, как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

@slava_psk · 05.08.2020, 14:11

Уравнение эллиптического параболоида в цилиндрических координатах:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z={r}^{2}\left(\frac{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}{{a}^{2}{b}^{2}} \right)$
Уравнение эллиптического конуса:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=r\sqrt{\left(\frac{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}{{a}^{2}{b}^{2}} \right)}$
Уравнение кривой пересечения поверхностей:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}$ - это эллипс в плоскости z=1.
Перепишем уравнения поверхностей относительно r.
конус: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\frac{zab}{\sqrt{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}$
параболоид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=ab\sqrt{\frac{z}{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\int_{0}^{2\pi }d\varphi\int_{0}^{1}dz \int_{\frac{zab}{\sqrt{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}}^{ab\sqrt{\frac{z}{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}}rdr=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{12}\int_{0}^{2\pi }\frac{d\varphi }{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{3}\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{d\varphi }{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}= \frac{ab}{3}arctg(tg\frac{\pi a}{2b})$
Возьмем a=1 b=2 По этой формуле получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=0.523598775598299$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi ab}{6}=1.0471975511966$
Результаты отличаются в 2 раза. Где ошибка?

@jogano · 05.08.2020, 14:43

Сообщение от slava_psk

Где ошибка?

При взятии первообразной.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\varphi }{b^2 \cos ^2 \varphi +a^2 \sin ^2 \varphi }=\left|\frac{:\cos ^2 \varphi }{: \cos ^2 \varphi } \right|=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d tg \varphi }{b^2 +a^2 tg ^2 \varphi }=\frac{1}{a^2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d tg \varphi }{\left(\frac{b}{a} \right)^2 + tg ^2 \varphi }=\frac{1}{a^2}\frac{a}{b}arctg \left(\frac{a tg \varphi }{b} \right)|\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}=\frac{1}{ab}\left(\frac{\pi}{2}-0 \right)=\frac{\pi}{2ab}$

@slava_psk · 05.08.2020, 14:52

jogano, вольфрам дает другой предел.

Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями

@jogano · 05.08.2020, 14:57

slava_psk, так вы не от того предел берёте. Не угол нужно умножать на a/b, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tg \varphi$ .

@slava_psk · 05.08.2020, 15:02

jogano, извиняюсь, разобрался. Все совпадает.

@jogano · 06.08.2020, 03:57

Если бы использовать замену, предложенную в посте #2, интеграл был бы гораздо проще:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\int_{0}^{2 \pi}d\varphi \int_{0}^{1}abr dr \int_{r^2}^{r}dz=2 \pi ab \int_{0}^{1}r\left(r-r^2 \right)dr=2 \pi ab \left(\frac{r^3}{3}-\frac{r^4}{4} \right) \left| \begin{matrix}1\\ 0\end{matrix} \right.=2 \pi ab \cdot \frac{1}{12}=\frac{\pi ab}{6}$

@slava_psk · 06.08.2020, 08:11

jogano, согласен. Просто интересно было решить в обычных координатах.

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	05.08.2020, 14:11	13
	Уравнение эллиптического параболоида в цилиндрических координатах: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z={r}^{2}\left(\frac{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}{{a}^{2}{b}^{2}} \right)$ Уравнение эллиптического конуса: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=r\sqrt{\left(\frac{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}{{a}^{2}{b}^{2}} \right)}$ Уравнение кривой пересечения поверхностей: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}$ - это эллипс в плоскости z=1. Перепишем уравнения поверхностей относительно r. конус: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\frac{zab}{\sqrt{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}$ параболоид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=ab\sqrt{\frac{z}{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\int_{0}^{2\pi }d\varphi\int_{0}^{1}dz \int_{\frac{zab}{\sqrt{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}}^{ab\sqrt{\frac{z}{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}}rdr=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{12}\int_{0}^{2\pi }\frac{d\varphi }{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{3}\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{d\varphi }{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}= \frac{ab}{3}arctg(tg\frac{\pi a}{2b})$ Возьмем a=1 b=2 По этой формуле получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=0.523598775598299$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi ab}{6}=1.0471975511966$ Результаты отличаются в 2 раза. Где ошибка? 1

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	05.08.2020, 15:02	17
	jogano, извиняюсь, разобрался. Все совпадает. 0

@GrishaMatan 2 / 2 / 0 Регистрация: 19.07.2020 Сообщений: 20
		1
	Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями 29.07.2020, 18:56. Показов 5821. Ответов 18 Метки нет (Все метки) Добрый вечер! Задача: Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями: 1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}$ Вот приметный рисунок: Миниатюры 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	29.07.2020, 20:59	2
	Сообщение было отмечено GrishaMatan как решение Решение Перейдите в модифицированную полярно-цилиндрическую систему координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x=ar \cos \varphi \\ y=br \sin \varphi \\ z=z \end{cases}$ , вычислите якобиан преобразования координат (он равен abr ), затем определяете пределы изменений новых переменных: для определения максимального z достаточно приравнять правые части ваших функций (на какой высоте они пересекаются), для этого максимального значения z будет и максимальное значение переменной r. А по углу проще всего - от 0 до 2П в силу осевой симметрии вашего тела, поэтому и делается переход к полярно-цилиндрической системе. Записывается тройной интеграл для объёма, который очень легко вычисляется. Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi ab}{6}$ 1

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	04.08.2020, 10:33	3
	jogano, странно, что ответ пропорционален квадрату линейного размера. 1

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	04.08.2020, 14:21	4
	Сообщение от slava_psk странно, что ответ пропорционален квадрату линейного размера Это не размер. 1

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	04.08.2020, 16:02	5
	Площадь эллипса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi ab$ . a,b - размерные параметры эллипса. 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	04.08.2020, 16:36	6
	slava_psk, я надеялся, что за 5,5 часов вы, как человек опытный, в частности, в нахождении объёмов через тройные интегралы, сами снимете этот вопрос. Вы только мой ответ прочитали или попытались найти объём самостоятельно? 1

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	04.08.2020, 18:06	7
	jogano, попытался через обычные цилиндрические координаты. 1

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	04.08.2020, 20:32	8
	Сообщение от slava_psk Площадь эллипса . a,b - размерные параметры эллипса. А при чём здесь эллипс? 1

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	04.08.2020, 20:38	9
	eropegov, могу ошибаться. Чисто предположение. 1

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	04.08.2020, 20:49	10
	slava_psk, я пока не вижу, в чём состоит ваше предположение, оно не сформулировано. 1

	06.08.2020, 08:11

Опции темы

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	05.08.2020, 11:04	11
	При решении этой задачки возникла проблемка. Интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }\frac{d\varphi }{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi+{a}^{2}{sin}^{2}\varphi }=\frac{1}{ab}arctg\left(\frac{a}{b}tg\varphi \right)$ от 0 до 2*pi. Как его считать по Лейбницу? 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.08.2020, 12:48	12
	slava_psk, как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.08.2020, 14:43	14
	Сообщение от slava_psk Где ошибка? При взятии первообразной. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\varphi }{b^2 \cos ^2 \varphi +a^2 \sin ^2 \varphi }=\left\|\frac{:\cos ^2 \varphi }{: \cos ^2 \varphi } \right\|=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d tg \varphi }{b^2 +a^2 tg ^2 \varphi }=\frac{1}{a^2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d tg \varphi }{\left(\frac{b}{a} \right)^2 + tg ^2 \varphi }=\frac{1}{a^2}\frac{a}{b}arctg \left(\frac{a tg \varphi }{b} \right)\|\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}=\frac{1}{ab}\left(\frac{\pi}{2}-0 \right)=\frac{\pi}{2ab}$ 1

@slava_psk 642 / 444 / 224 Регистрация: 10.06.2016 Сообщений: 2,039
	05.08.2020, 14:52	15
	jogano, вольфрам дает другой предел. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	05.08.2020, 14:57	16
	slava_psk, так вы не от того предел берёте. Не угол нужно умножать на a/b, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tg \varphi$ . 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	06.08.2020, 03:57	18
	Если бы использовать замену, предложенную в посте #2, интеграл был бы гораздо проще: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\int_{0}^{2 \pi}d\varphi \int_{0}^{1}abr dr \int_{r^2}^{r}dz=2 \pi ab \int_{0}^{1}r\left(r-r^2 \right)dr=2 \pi ab \left(\frac{r^3}{3}-\frac{r^4}{4} \right) \left\| \begin{matrix}1\\ 0\end{matrix} \right.=2 \pi ab \cdot \frac{1}{12}=\frac{\pi ab}{6}$ 0

Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями

Решение