Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.70/10: Рейтинг темы: голосов - 10, средняя оценка - 4.70
2 / 2 / 0
Регистрация: 19.07.2020
Сообщений: 16
1

Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями

29.07.2020, 18:56. Просмотров 1754. Ответов 18
Метки нет (Все метки)

Добрый вечер!
Задача: Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями:
1)https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}
2)https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}
Вот приметный рисунок:
0
Миниатюры
Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями  
Лучшие ответы (1)
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
29.07.2020, 18:56
Ответы с готовыми решениями:

Найти объём тела, ограниченного поверхностями
Как решить эту задачу? Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:...

Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Найти объем: x/a+y/b+z/c=1 3x/a+y/b+z/c=1 3x/a+y/b-3z/c=1 y=0 a>0 b>0 c>0

Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Нужно найти объем тела,ограниченными поверхностями x^2+y^2+z^2<=81;x^2+y^2<z^2;x>=y;z>=0 я...

Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z=4-y^2,z=0,y=0.5x^2 В объяснение приводится вот такой интеграл...

18
Модератор
Эксперт по математике/физике
6132 / 3895 / 1441
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,319
Записей в блоге: 4
29.07.2020, 20:59 2
Лучший ответ Сообщение было отмечено GrishaMatan как решение

Решение

Перейдите в модифицированную полярно-цилиндрическую систему координат
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x=ar \cos \varphi   \\ y=br \sin \varphi  \\ z=z  \end{cases}, вычислите якобиан преобразования координат (он равен abr ), затем определяете пределы изменений новых переменных: для определения максимального z достаточно приравнять правые части ваших функций (на какой высоте они пересекаются), для этого максимального значения z будет и максимальное значение переменной r. А по углу проще всего - от 0 до 2П в силу осевой симметрии вашего тела, поэтому и делается переход к полярно-цилиндрической системе. Записывается тройной интеграл для объёма, который очень легко вычисляется. Ответ https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi ab}{6}
1
459 / 353 / 164
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,623
04.08.2020, 10:33 3
jogano, странно, что ответ пропорционален квадрату линейного размера.
1
Эксперт по математике/физике
486 / 448 / 98
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,347
04.08.2020, 14:21 4
Цитата Сообщение от slava_psk Посмотреть сообщение
странно, что ответ пропорционален квадрату линейного размера
Это не размер.
1
459 / 353 / 164
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,623
04.08.2020, 16:02 5
Площадь эллипса https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi ab. a,b - размерные параметры эллипса.
1
Модератор
Эксперт по математике/физике
6132 / 3895 / 1441
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,319
Записей в блоге: 4
04.08.2020, 16:36 6
slava_psk, я надеялся, что за 5,5 часов вы, как человек опытный, в частности, в нахождении объёмов через тройные интегралы, сами снимете этот вопрос. Вы только мой ответ прочитали или попытались найти объём самостоятельно?
1
459 / 353 / 164
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,623
04.08.2020, 18:06 7
jogano, попытался через обычные цилиндрические координаты.
1
Эксперт по математике/физике
486 / 448 / 98
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,347
04.08.2020, 20:32 8
Цитата Сообщение от slava_psk Посмотреть сообщение
Площадь эллипса . a,b - размерные параметры эллипса.
А при чём здесь эллипс?
1
459 / 353 / 164
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,623
04.08.2020, 20:38 9
eropegov, могу ошибаться. Чисто предположение.
1
Эксперт по математике/физике
486 / 448 / 98
Регистрация: 30.01.2017
Сообщений: 1,347
04.08.2020, 20:49 10
slava_psk, я пока не вижу, в чём состоит ваше предположение, оно не сформулировано.
1
459 / 353 / 164
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,623
05.08.2020, 11:04 11
При решении этой задачки возникла проблемка. Интеграл https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2\pi }\frac{d\varphi }{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi+{a}^{2}{sin}^{2}\varphi }=\frac{1}{ab}arctg\left(\frac{a}{b}tg\varphi  \right) от 0 до 2*pi. Как его считать по Лейбницу?
1
Модератор
Эксперт по математике/физике
6132 / 3895 / 1441
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,319
Записей в блоге: 4
05.08.2020, 12:48 12
slava_psk, как https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}
0
459 / 353 / 164
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,623
05.08.2020, 14:11 13
Уравнение эллиптического параболоида в цилиндрических координатах:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z={r}^{2}\left(\frac{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}{{a}^{2}{b}^{2}} \right)
Уравнение эллиптического конуса:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=r\sqrt{\left(\frac{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}{{a}^{2}{b}^{2}} \right)}
Уравнение кривой пересечения поверхностей:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}} - это эллипс в плоскости z=1.
Перепишем уравнения поверхностей относительно r.
конус: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=\frac{zab}{\sqrt{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}
параболоид: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r=ab\sqrt{\frac{z}{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\int_{0}^{2\pi }d\varphi\int_{0}^{1}dz \int_{\frac{zab}{\sqrt{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}}^{ab\sqrt{\frac{z}{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}}}rdr=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{12}\int_{0}^{2\pi }\frac{d\varphi }{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{3}\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }\frac{d\varphi }{{b}^{2}{cos}^{2}\varphi +{a}^{2}{sin}^{2}\varphi}= \frac{ab}{3}arctg(tg\frac{\pi a}{2b})
Возьмем a=1 b=2 По этой формуле получается https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=0.523598775598299
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi ab}{6}=1.0471975511966
Результаты отличаются в 2 раза. Где ошибка?
1
Модератор
Эксперт по математике/физике
6132 / 3895 / 1441
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,319
Записей в блоге: 4
05.08.2020, 14:43 14
Цитата Сообщение от slava_psk Посмотреть сообщение
Где ошибка?
При взятии первообразной.
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\varphi }{b^2 \cos ^2 \varphi +a^2 \sin ^2 \varphi }=\left|\frac{:\cos ^2 \varphi }{: \cos ^2 \varphi } \right|=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d tg \varphi }{b^2 +a^2 tg ^2 \varphi }=\frac{1}{a^2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d tg \varphi }{\left(\frac{b}{a} \right)^2 + tg ^2 \varphi }=\frac{1}{a^2}\frac{a}{b}arctg \left(\frac{a tg \varphi }{b} \right)|\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}=\frac{1}{ab}\left(\frac{\pi}{2}-0 \right)=\frac{\pi}{2ab}
1
459 / 353 / 164
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,623
05.08.2020, 14:52 15
jogano, вольфрам дает другой предел.
Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями
0
Модератор
Эксперт по математике/физике
6132 / 3895 / 1441
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,319
Записей в блоге: 4
05.08.2020, 14:57 16
slava_psk, так вы не от того предел берёте. Не угол нужно умножать на a/b, а https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tg \varphi.
0
459 / 353 / 164
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,623
05.08.2020, 15:02 17
jogano, извиняюсь, разобрался. Все совпадает.
0
Модератор
Эксперт по математике/физике
6132 / 3895 / 1441
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,319
Записей в блоге: 4
06.08.2020, 03:57 18
Если бы использовать замену, предложенную в посте #2, интеграл был бы гораздо проще:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\int_{0}^{2 \pi}d\varphi \int_{0}^{1}abr dr \int_{r^2}^{r}dz=2 \pi ab \int_{0}^{1}r\left(r-r^2 \right)dr=2 \pi ab \left(\frac{r^3}{3}-\frac{r^4}{4} \right) \left| \begin{matrix}1\\ 0\end{matrix} \right.=2 \pi ab \cdot \frac{1}{12}=\frac{\pi ab}{6}
0
459 / 353 / 164
Регистрация: 10.06.2016
Сообщений: 1,623
06.08.2020, 08:11 19
jogano, согласен. Просто интересно было решить в обычных координатах.
0
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
06.08.2020, 08:11

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные и любые другие студенческие работы здесь.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Найти объем тела, ограниченных поверхностями: x^2/a^2+y^2/b^2=1, x^2/a^2+z^2/b^2=1

Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Найти объем тела, ограниченного поверхностями az=a2-x2-y2 , z=0

Найти объем тела, ограниченного поверхностями
вычислить объем тела ограниченного поверхностями x^2 + y^2 + z^2 = 2Rz , x^2 + y^2= z^2 и...

Найти объем тела, ограниченного поверхностями - 2
Помогите мне, пожалуйста решить!!! У меня ответ не сходится. Посмотрите мое решение, может кто...

Найти объём тела, ограниченного поверхностями
Найти объём тела, ограниченного поверхностями: x2+y2=1 x+y+z=3 z=0 Добавлено через 13 минут...

Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Найти объем тела, ограниченного поверхностями x+z+y=5, x=0, y=0, z=0. Буду благодарен. Спасибо


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
19
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2020, vBulletin Solutions, Inc.