вывод производной y=x^n

@no0ker · Регистрация: 17.12.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

разбираю вывод производной функции y=x^n;

вначале все вроде понятно (очевидно из определения производной, используя бином Ньютона)
∆y=(x+∆x)^n-x^n=x^n+C_n^1 x^(n-1) ∆x+C_n^2 x^(n-2) ∆x+ ..+(∆x)^n-x^n

но то, что из нее следует совершенно непонятно.
∆y=nx^(n-1) ∆x+o(∆x);

Не по теме:

как это вы такие красивые формулы пишите?

Евгений М. · 07.06.2011, 17:36

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(t) = o(t)$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t \rightarrow t_0 \Leftrightarrow \lim_{t\rightarrow t_0} \frac{p(t)}{t} = 0$
В теории должно быть указано типа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?... + o(\Delta x)$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x \rightarrow 0$
Это просто обозначение.

Добавлено через 2 минуты
Ниже текста "Быстрый переход" есть редактор формул. Вдобавок изучите как в LaTeX-е формулы печатать.

@A3B5 · 07.06.2011, 17:45

Сообщение от no0ker

разбираю вывод производной функции y=x^n;

вначале все вроде понятно (очевидно из определения производной, используя бином Ньютона)
∆y=(x+∆x)^n-x^n=x^n+C_n^1 x^(n-1) ∆x+C_n^2 x^(n-2) ∆x+ ..+(∆x)^n-x^n

но то, что из нее следует совершенно непонятно.
∆y=nx^(n-1) ∆x+o(∆x);

Не по теме:

как это вы такие красивые формулы пишите?

Не-а! Не совсем так:
∆y = (x+∆x)^n - x^n = x^n + C_n^1 x^(n-1) ∆x + C_n^2 x^(n-2) (∆x)^2 + ..+ (∆x)^n-x^n = C_n^1 x^(n-1) ∆x + C_n^2 x^(n-2) (∆x)^2 + ..+ (∆x)^n = C_n^1 x^(n-1) ∆x + o(∆x); где C_n^1=n.
Вот эти высшие степени (∆x)^{2}, (∆x)^{3}, ... и дают o(∆x).

Не по теме:

Можно так: C_n^2 x^{n-2}, а можно то же самое, но в обрамлении скобок $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[latex]...$ [/latex]: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^2 x^{n-2}$
И можно еще то же самое набрать в редакторе формул, но еще удобнее - в mathtype.exe (настроив Preferences -> Translators -> Physics Forum - Latex).

@no0ker · 07.06.2011, 18:35 **[ТС]**

спасибо, за помощь. но я решительно ничего не понял
почему из

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y = x^n + C_n^1 x^{n-1} \Delta x + C_n^2 x^{n-2} \Delta x^2 + ... + \Delta x^n - x^n;$

следует

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y = nx^{n-1}\Delta x + o(\Delta x);$

объясните, по возможности, простыми словами.

Добавлено через 9 минут
верно ли?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^1x^{n-1}\Delta x = \frac {n!} {1!(n-1)!} x^{n-1} \Delta x = n x^{n-1} \Delta x$

Добавлено через 29 минут
вот только куда делись другие слагаемые... =(

@A3B5 · 07.06.2011, 19:43

Сообщение от no0ker

спасибо, за помощь. но я решительно ничего не понял
почему из
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y$ = x^n + $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^1 x^{n-1} \Delta x + C_n^2 x^{n-2} \Delta x^2 + ... + \Delta x^n$ - x^n;
следует

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y = nx^{n-1}\Delta x + o(\Delta x);$
объясните, по возможности, простыми словами.

верно ли? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^1x^{n-1}\Delta x = \frac {n!} {1!(n-1)!} x^{n-1} \Delta x = n x^{n-1} \Delta x$ ___ Да, верно ___

вот только куда делись другие слагаемые... =(

(1) Выделенные красным первое и последнее слагаемое - сокращаются, так?
Остаются такие слагаемые:
(2) (главная часть, линейная по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ ): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n x^{n-1} \Delta x$
(3) (мелкие [если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ становится малым] добавки, пропорциональные квадрату $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ , кубу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ и т.д.)

Так вот, эти "мелкие добавки", перечисленные в пункте (3), и обозначены "o( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ )" ["О малое", то есть, нечто малое по сравнению с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ ], еще не ноль, но мелочь,

а главная часть - это так называемый "дифференциал".

Если поделить всё это на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ , а потом устремить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ к нулю,
"выживет в пределе" только главная часть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=n x^{n-1}$
(это и будет производная), а оставшиеся "мелкие добавки" дадут в пределе нуль.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@no0ker 101 / 88 / 7 Регистрация: 17.12.2010 Сообщений: 416

	вывод производной y=x^n 07.06.2011, 17:10. Показов 9033. Ответов 4 Метки нет (Все метки) разбираю вывод производной функции y=x^n; вначале все вроде понятно (очевидно из определения производной, используя бином Ньютона) ∆y=(x+∆x)^n-x^n=x^n+C_n^1 x^(n-1) ∆x+C_n^2 x^(n-2) ∆x+ ..+(∆x)^n-x^n но то, что из нее следует совершенно непонятно. ∆y=nx^(n-1) ∆x+o(∆x); Не по теме: как это вы такие красивые формулы пишите? 0

Евгений М. 1080 / 1007 / 107 Регистрация: 28.02.2010 Сообщений: 2,889
	07.06.2011, 17:36
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(t) = o(t)$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t \rightarrow t_0 \Leftrightarrow \lim_{t\rightarrow t_0} \frac{p(t)}{t} = 0$ В теории должно быть указано типа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?... + o(\Delta x)$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x \rightarrow 0$ Это просто обозначение. Добавлено через 2 минуты Ниже текста "Быстрый переход" есть редактор формул. Вдобавок изучите как в LaTeX-е формулы печатать. 2

@no0ker 101 / 88 / 7 Регистрация: 17.12.2010 Сообщений: 416
	07.06.2011, 18:35 [ТС]
	спасибо, за помощь. но я решительно ничего не понял почему из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y = x^n + C_n^1 x^{n-1} \Delta x + C_n^2 x^{n-2} \Delta x^2 + ... + \Delta x^n - x^n;$ следует $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y = nx^{n-1}\Delta x + o(\Delta x);$ объясните, по возможности, простыми словами. Добавлено через 9 минут верно ли? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^1x^{n-1}\Delta x = \frac {n!} {1!(n-1)!} x^{n-1} \Delta x = n x^{n-1} \Delta x$ Добавлено через 29 минут вот только куда делись другие слагаемые... =( 0