Объём тела вращения

@alexmayy · Регистрация: 09.09.2024

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с решением такой задачи:
Найдите объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = at^2$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = alnt$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a>0$ ) и осями координат, вокруг: а) оси Ох, б) оси Оy.

zer0mail · 10.09.2024, 08:24

Нарисуйте картинки со слоями, перпендикулярными оси вращения. И напишите формулы интегралов (они элементарно выводятся по рисункам).

@palva · 10.09.2024, 15:52

Если не указаны пределы изменения параметра t, то получится бесконечная кривая, и объем тел будет бесконечным. Разве не так?

zer0mail · 10.09.2024, 16:20

Сообщение от palva

Разве не так?

Не так. В условии "и осями координат"

@Iliodor · 10.09.2024, 16:47

.. пересечение только с осью ОХ

zer0mail · 10.09.2024, 17:07

Я бы "крутил" такую фигуру.

@Iliodor · 10.09.2024, 17:12

.. бесконечность

zer0mail · 10.09.2024, 18:34

Сообщение от Iliodor

.. бесконечность

Разве?

@alexmayy · 10.09.2024, 20:26 **[ТС]**

zer0mail, у меня такой же график получился. Но ведь кривая никогда не пересечет ось OY. Какие тогда будут пределы интегрирования?

@Iliodor · 10.09.2024, 20:34

и осями координат,

.. это откуда задача

@alexmayy · 10.09.2024, 20:47 **[ТС]**

Сообщение от Iliodor

.. это откуда задача

Математический анализ в УрФУ

iifat · 11.09.2024, 01:15

Сообщение от palva

и объем тел будет бесконечным

Ну, вообще-то, не все несобственные интегралы расходятся.

@Iliodor · 11.09.2024, 02:02

.. в данном случае расходятся

@palva · 11.09.2024, 08:11

Сообщение от iifat

Ну, вообще-то, не все несобственные интегралы расходятся.

Это понятно. Я не учел условие, что оси координат используются не только как оси вращения, но и как части кривой, ограничивающей область вращения.

zer0mail · 11.09.2024, 14:42

Сообщение от alexmayy

zer0mail, у меня такой же график получился. Но ведь кривая никогда не пересечет ось OY. Какие тогда будут пределы интегрирования?

А что, бесконечность в пределах запретили?

@Cyborg Drone · 12.09.2024, 22:15

Закрашенная зелёным площадь на графике конечна. Вращение фигуры с конечной площадью даёт конечный объём?

@Iliodor · 12.09.2024, 22:34

Да - "между осями" -конечна. Только пересечение будет в точке x=a

Добавлено через 2 минуты
xlnx->0

@Cyborg Drone · 13.09.2024, 02:47

Ну да, если убрать параметр, то получится

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y=a\cdot \ln\sqrt{\frac{x}{a}} $

и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x=ae^{\frac{2y}{a}} $

Площадь

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{0}^{a}a\cdot \ln\sqrt{\frac{x}{a}}\operatorname{d}x=-\frac{a^2}{2} $

Добавлено через 29 минут
Ах, да... Объёмы же надо...

Вращение вокруг оси абсцисс:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? V=\pi \int_{0}^{a}\left( a\cdot \ln\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^2\operatorname{d}x=\frac{\pi a^3}{2} $

Вращение вокруг оси ординат:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? V=\pi \int_{-\infty }^{0}\left( ae^{\frac{2y}{a}\right)^2\operatorname{d}y=\frac{\pi a^3}{4} $

zer0mail · 14.09.2024, 09:58

Сообщение от Cyborg Drone

Закрашенная зелёным площадь на графике конечна. Вращение фигуры с конечной площадью даёт конечный объём?

Может дать и бесконечный.

@Cyborg Drone · 15.09.2024, 21:23

zer0mail, пример приведите.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Вопросы на собеседованиях по микросервисам ArchitectMsa 27.03.2025 Работодатели ищут не просто разработчиков, знающих базовые концепции, а специалистов, разбирающихся в тонкостях масштабирования, отказоустойчивости и производительности. Сейчас на первый план выходят. . .	Взаимодействие Python с REST API py-thonny 27.03.2025 REST API - это архитектурный стиль взаимодействия компонентов распределённого приложения в сети. Python располагает функциональным набором инструментов для работы с REST API и основная библиотека для. . .	sshd restrictions, ssh access limitations jigi33 26.03.2025 sshd restrictions \| ssh access limitations рестрикции доступа на сервер sshd статья: https:/ / www. golinuxcloud. com/ restrict-allow-ssh-certain-users-groups-rhel	Компиляция C++ с Clang API NullReferenced 24.03.2025 Компиляторы обычно воспринимаются как черные ящики, которые превращают исходный код в исполняемые файлы. Мы запускаем компилятор командой в терминале, и вуаля — получаем бинарник. Но что если нужно. . .	Многопоточное программирование в C#: Класс Thread UnmanagedCoder 24.03.2025 Когда запускается приложение на компьютере, операционная система создаёт для него процесс - виртуальное адресное пространство. В C# этот процесс изначально получает один поток выполнения — главный. . .
SwiftUI Data Flow: Передача данных между представлениями mobDevWorks 23.03.2025 При первом знакомстве со SwiftUI кажется, что фреймворк предлагает избыточное количество механизмов для передачи данных: @State, @Binding, @StateObject, @ObservedObject, @EnvironmentObject и другие. . . .	Моки в Java: Сравниваем Mockito, EasyMock, JMockit Javaican 23.03.2025 Как протестировать класс, который зависит от других сложных компонентов, таких как базы данных, веб-сервисы или другие классы, с которыми и так непросто работать в тестовом окружении? Для этого и. . .	Архитектурные паттерны микросервисов: ТОП-10 шаблонов ArchitectMsa 22.03.2025 Популярность микросервисной архитектуры объясняется множеством важных преимуществ. К примеру, она позволяет командам разработчиков работать независимо друг от друга, используя различные технологии и. . .	Оптимизация рендеринга в Unity: Сортировка миллиона спрайтов GameUnited 22.03.2025 Помните, когда наличие сотни спрайтов в игре приводило к существенному падению производительности? Время таких ограничений уходит в прошлое. Сегодня геймдев сталкивается с задачами совершенно иного. . .	Образование и практика Igor3D 21.03.2025 Добрый день А вот каково качество/ эффективность ВУЗовского образования? Аналитическая геометрия изучается в первом семестре и считается довольно легким курсом, что вполне справедливо. Ну хорошо,. . .

@alexmayy 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.09.2024 Сообщений: 3

	Объём тела вращения 09.09.2024, 23:41. Показов 1005. Ответов 21 Метки высшая математика, матанализ (Все метки) Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с решением такой задачи: Найдите объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = at^2$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = alnt$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a>0$ ) и осями координат, вокруг: а) оси Ох, б) оси Оy. 0

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	10.09.2024, 08:24
	Нарисуйте картинки со слоями, перпендикулярными оси вращения. И напишите формулы интегралов (они элементарно выводятся по рисункам). 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,860 Записей в блоге: 4
	10.09.2024, 15:52
	Если не указаны пределы изменения параметра t, то получится бесконечная кривая, и объем тел будет бесконечным. Разве не так? 0

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	10.09.2024, 16:20
	Сообщение от palva Разве не так? Не так. В условии "и осями координат" 0

@Iliodor 596 / 434 / 115 Регистрация: 14.03.2021 Сообщений: 1,675
	10.09.2024, 16:47
	.. пересечение только с осью ОХ 0

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	10.09.2024, 17:07
	Я бы "крутил" такую фигуру. Миниатюры 0

@Iliodor 596 / 434 / 115 Регистрация: 14.03.2021 Сообщений: 1,675
	10.09.2024, 17:12
	.. бесконечность 1

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	10.09.2024, 18:34
	Сообщение от Iliodor .. бесконечность Разве? 0

@alexmayy 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.09.2024 Сообщений: 3
	10.09.2024, 20:26 [ТС]
	zer0mail, у меня такой же график получился. Но ведь кривая никогда не пересечет ось OY. Какие тогда будут пределы интегрирования? 0

@Iliodor 596 / 434 / 115 Регистрация: 14.03.2021 Сообщений: 1,675
	10.09.2024, 20:34
	и осями координат, .. это откуда задача 0

@Cyborg Drone Модератор 10151 / 5488 / 3371 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 16,779
	15.09.2024, 21:23
	zer0mail, пример приведите. 0

Опции темы

@alexmayy 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.09.2024 Сообщений: 3
	10.09.2024, 20:47 [ТС]
	Сообщение от Iliodor .. это откуда задача Математический анализ в УрФУ 0

iifat 2795 / 1841 / 202 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,348
	11.09.2024, 01:15
	Сообщение от palva и объем тел будет бесконечным Ну, вообще-то, не все несобственные интегралы расходятся. 0

@Iliodor 596 / 434 / 115 Регистрация: 14.03.2021 Сообщений: 1,675
	11.09.2024, 02:02
	.. в данном случае расходятся 0

@palva 4256 / 2952 / 688 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,860 Записей в блоге: 4
	11.09.2024, 08:11
	Сообщение от iifat Ну, вообще-то, не все несобственные интегралы расходятся. Это понятно. Я не учел условие, что оси координат используются не только как оси вращения, но и как части кривой, ограничивающей область вращения. 0

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	11.09.2024, 14:42
	Сообщение от alexmayy zer0mail, у меня такой же график получился. Но ведь кривая никогда не пересечет ось OY. Какие тогда будут пределы интегрирования? А что, бесконечность в пределах запретили? 0

@Cyborg Drone Модератор 10151 / 5488 / 3371 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 16,779
	12.09.2024, 22:15
	Закрашенная зелёным площадь на графике конечна. Вращение фигуры с конечной площадью даёт конечный объём? 0

@Iliodor 596 / 434 / 115 Регистрация: 14.03.2021 Сообщений: 1,675
	12.09.2024, 22:34
	Да - "между осями" -конечна. Только пересечение будет в точке x=a Добавлено через 2 минуты xlnx->0 0

@Cyborg Drone Модератор 10151 / 5488 / 3371 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 16,779
	13.09.2024, 02:47
	Ну да, если убрать параметр, то получится $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> y=a\cdot \ln\sqrt{\frac{x}{a}}<br />$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x=ae^{\frac{2y}{a}}<br />$ Площадь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \int_{0}^{a}a\cdot \ln\sqrt{\frac{x}{a}}\operatorname{d}x=-\frac{a^2}{2}<br />$ Добавлено через 29 минут Ах, да... Объёмы же надо... Вращение вокруг оси абсцисс: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> V=\pi \int_{0}^{a}\left( a\cdot \ln\sqrt{\frac{x}{a}}\right)^2\operatorname{d}x=\frac{\pi a^3}{2}<br />$ Вращение вокруг оси ординат: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> V=\pi \int_{-\infty }^{0}\left( ae^{\frac{2y}{a}\right)^2\operatorname{d}y=\frac{\pi a^3}{4}<br />$ 1

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	14.09.2024, 09:58
	Сообщение от Cyborg Drone Закрашенная зелёным площадь на графике конечна. Вращение фигуры с конечной площадью даёт конечный объём? Может дать и бесконечный. 0