Исследовать на непрерывность и построить график

@Fasta · Регистрация: 13.09.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Введение: завтра математика, я в ней не шарю, надо исследовать. Прошу помочь не только ответом, но и полным решением. Заранее благодарен.

1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\left\{\begin{matrix} & {x}^{2}+1,x<1 & \\ & 2,1<x\leq 2 & \\ &3x,x>2 & \end{matrix}\right.$

2. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{{x}^{2}-16}{x+4}$

3. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{sinx}{x}$

vetvet · 14.09.2011, 23:54

1. кусочно-непрерывная функция. исследуем на концах заданных отрезков:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\to 1-0}f(x)=\lim_{n\to 1-0}x^2+1=2$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\to 1+0}f(x)=\lim_{n\to 1+0}2=2$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\to 2-0}f(x)=\lim_{n\to 2-0}2=2$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\to 2+0}f(x)=\lim_{n\to 2+0}3x=6$
в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=2$ пределы конечны, но не совпадают, т.е. имеем разрыв 1 рода - скачок.

vetvet · 15.09.2011, 00:08

2. особая точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-4$ .
находим односторонние пределы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to -4-0}\frac{x^2-16}{x+4}=\left[\frac{0}{0} \right]=\lim_{x\to -4-0}\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=\lim_{x\to -4-0}(x-4)=-8$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to -4+0}\frac{x^2-16}{x+4}=\left[\frac{0}{0} \right]=\lim_{x\to -4+0}\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=\lim_{x\to -4+0}(x-4)=-8$
односторонние пределы конечны и совпадают, но значения функции в данной точке не существует, следовательно, имеем устранимый разрыв.

@Igor · 15.09.2011, 06:32

3. ООФ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\neq 0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow 0-}(\frac{\sin x}{x})=[\frac{0}{0}]=\lim_{x\rightarrow 0-}(\cos x)=1$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow 0+}(\frac{\sin x}{x})=[\frac{0}{0}]=\lim_{x\rightarrow 0+}(\cos x)=1$
В т. x=0 функция терпит устранимый разрыв 1-ого рода.

@~~-=ЮрА=-~~ · 15.09.2011, 12:08

По 3-му решению просто бы воспользовался правилом Лопиталя и продифференцировал числитель и знаменатель в итоге получил бы
lim(sin(x)/x) {x->0} = lim(sin(x)'/x'){x->0} = lim(cos(x)/1) {x->0} = 1;
Ну а далее поддрежу решение Igor

vetvet · 15.09.2011, 12:11

-=ЮрА=-, по-моему сейчас у Igor именно это решение и есть.

@~~-=ЮрА=-~~ · 15.09.2011, 13:07

Сообщение от vetvet

-=ЮрА=-, по-моему сейчас у Igor именно это решение и есть.

- просто смутило отсутвие lim(sin(x)'/x'){x->0}, со стороны сложно понять как Igor вышел на cos(x)

@аналитика · 15.09.2011, 13:49

3.
1 - ф-ция четна и исследованию подлежит половина оси x;
2 - f(x) --> 0 при x-->{inf} на графике это д.б., я думаю...

vetvet · 15.09.2011, 14:49

ну обычно в таких заданиях требуют построить вблизи точек разрыва. но можно и так:

vetvet · 15.09.2011, 14:50

-=ЮрА=-, учитывая, что в знаменателе исчез x, это вполне можно было предположить.

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	15.09.2011, 14:50	10
	-=ЮрА=-, учитывая, что в знаменателе исчез x, это вполне можно было предположить. 1

@Fasta 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.09.2011 Сообщений: 39
		1
	Исследовать на непрерывность и построить график 14.09.2011, 18:01. Показов 18241. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Введение: завтра математика, я в ней не шарю, надо исследовать. Прошу помочь не только ответом, но и полным решением. Заранее благодарен. 1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\left\{\begin{matrix} & {x}^{2}+1,x<1 & \\ & 2,1<x\leq 2 & \\ &3x,x>2 & \end{matrix}\right.$ 2. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{{x}^{2}-16}{x+4}$ 3. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{sinx}{x}$ 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	14.09.2011, 23:54	2
	1. кусочно-непрерывная функция. исследуем на концах заданных отрезков: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\to 1-0}f(x)=\lim_{n\to 1-0}x^2+1=2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\to 1+0}f(x)=\lim_{n\to 1+0}2=2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\to 2-0}f(x)=\lim_{n\to 2-0}2=2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\to 2+0}f(x)=\lim_{n\to 2+0}3x=6$ в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=2$ пределы конечны, но не совпадают, т.е. имеем разрыв 1 рода - скачок. Миниатюры 2

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	15.09.2011, 00:08	3
	2. особая точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-4$ . находим односторонние пределы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to -4-0}\frac{x^2-16}{x+4}=\left[\frac{0}{0} \right]=\lim_{x\to -4-0}\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=\lim_{x\to -4-0}(x-4)=-8$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to -4+0}\frac{x^2-16}{x+4}=\left[\frac{0}{0} \right]=\lim_{x\to -4+0}\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=\lim_{x\to -4+0}(x-4)=-8$ односторонние пределы конечны и совпадают, но значения функции в данной точке не существует, следовательно, имеем устранимый разрыв. Миниатюры 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	15.09.2011, 06:32	4
	3. ООФ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\neq 0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow 0-}(\frac{\sin x}{x})=[\frac{0}{0}]=\lim_{x\rightarrow 0-}(\cos x)=1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow 0+}(\frac{\sin x}{x})=[\frac{0}{0}]=\lim_{x\rightarrow 0+}(\cos x)=1$ В т. x=0 функция терпит устранимый разрыв 1-ого рода. Изображения 2

@~~-=ЮрА=-~~ Заблокирован
	15.09.2011, 12:08	5
	По 3-му решению просто бы воспользовался правилом Лопиталя и продифференцировал числитель и знаменатель в итоге получил бы lim(sin(x)/x) {x->0} = lim(sin(x)'/x'){x->0} = lim(cos(x)/1) {x->0} = 1; Ну а далее поддрежу решение Igor 1

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	15.09.2011, 12:11	6
	-=ЮрА=-, по-моему сейчас у Igor именно это решение и есть. 1

@~~-=ЮрА=-~~ Заблокирован
	15.09.2011, 13:07	7
	Сообщение от vetvet -=ЮрА=-, по-моему сейчас у Igor именно это решение и есть. - просто смутило отсутвие lim(sin(x)'/x'){x->0}, со стороны сложно понять как Igor вышел на cos(x) 1

@аналитика здесь больше нет... 3374 / 1672 / 184 Регистрация: 03.02.2010 Сообщений: 1,219
	15.09.2011, 13:49	8
	3. 1 - ф-ция четна и исследованию подлежит половина оси x; 2 - f(x) --> 0 при x-->{inf} на графике это д.б., я думаю... 2

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	15.09.2011, 14:49	9
	ну обычно в таких заданиях требуют построить вблизи точек разрыва. но можно и так: Миниатюры 1