Исследовать дробно-рациональную функцию.

@Наташа С · Регистрация: 05.12.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{5x^3}{1-x^5}$

vetvet · 15.12.2011, 16:32

Наташа С, какой вам давали план исследования и что из него вы смогли сделать самостоятельно?

@Наташа С · 15.12.2011, 16:41 **[ТС]**

Схема исследования функции:
1) найти область определения функции
2)исследовать функцию на четность,нечетность, переодичность.
3)найти участки неприрывности функции а так же точки разрыва
4) найти точки пересечения графика функции с осями координат
5) найти интервалы знака постоянства функции
6) найти интервалы возрастания и убывания экстремумы функции
7) найти интервалы выпуклости и вогнутости,точки перегиба
8) найти асимптоты.
Построить график

Добавлено через 48 секунд
я в математике не сильна,помогите пожалуйста!

vetvet · 15.12.2011, 19:44

1) Область определения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;1)\cup(1;\infty)$
2)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)=\frac{5(-x)^3}{1-(-x)^5}=-\frac{5x^3}{1+x^5}\ne y(x)\ne -y(x)\Rightarrow$ функция общего положения.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=\frac{5(x+T)^3}{1-(x+T)^5}=\frac{5x^3}{1-(x+T)^5}+\frac{5(3x^2T+3xT^2+t^3)}{1-(x+T)^5}$ очевидно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=y(x)$ только при T=0. Следовательно, функция непериодическая.
3) Знаменатель обращается в 0 при x=1.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1+0}\frac{5x^3}{1-x^5}=-\infty$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1-0} \frac{5x^3}{1-x^5}=+\infty$
Т.о. в точке x=1 функция терпит разрыв второго рода.
На всей числовой прямой, за исключением точки x=1, функция непрерывна.
4) Точки пересечения с осью Ox:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=0\Rightarrow \frac{5x^3}{1-x^5}=0$ , откуда получим x=0.
Точки пересечения с осью Oy:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(0)=\frac{5\cdot 0^3}{1-0^5}=0$
Т.о., график функции пересекает оси только в начале координат.
5) Учитывая найденную в п.4 точку пересечения с осями и ноль знаменателя, методом интервалов находим:

Исследовать дробно-рациональную функцию.

Получаем, что функция положительна на промежутке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0;1)$ и отрицательна на промежутках $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;0)\cup(1;\infty)$ .
6)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=5\cdot\frac{3x^2(1-x^5)-(-5x^4)\cdot x^3}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{3x^2-3x^7+5x^7}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{3x^2+2x^7}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{x^2(3+2x^5)}{(1-x^5)^2}$

Функция убывает на промежутке:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\infty;-\sqrt[5]{\frac{3}{2}}\right)$
Функция возрастает на промежутках:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\sqrt[5]{\frac{3}{2}};1\right)\cup(1;\infty)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\sqrt[5]{\frac{3}{2}};-\sqrt[5]{108}\right)$ - точка минимума.
7)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=5\frac{(6x+14x^6)(1-x^5)^2-2(1-x^5)(-5x^4)(3x^2+2x^7)}{(1-x^5)^4}=5\frac{2(1-x^5)(3x-3x^6+7x^6-7x^{11}+15x^6+10x^{11})}{(1-x^5)^4}=10\frac{x(3+19x^5+3x^{10})}{(1-x^5)^3}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=19^2-4\cdot 9=325$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1^5=\frac{-19+5\sqrt{13}}{6},x_1\approx -0,69$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2^5=\frac{-19-5\sqrt{13}}{6},x_1\approx -1,44$

Функция выпукла вверх на промежутках:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;-1,4)\cup(-0,7;0)\cup(1;\infty)$
Функция выпукла вниз на промежутках:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1,4;-0,7)\cup(0;1)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1,4;-1,9),(-0,7;4,8),(0;0)$ - точки перегиба.
8)
Вертикальная асимптота x=1 (см.п.3)
Горизонтальная асимптота:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^3}{1-x^5}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{15x^2}{-5x^4}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x^2}=0$
y=0 - горизонтальная асимптота.
Наклонная асимптота:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^3}{x(1-x^5)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^2}{1-x^5}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{10x}{5x^3}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{x^2}=0\Rightarrow$ наклонных асимптот нет.

9) График:

vetvet · 16.12.2011, 12:49

Не по теме:

Подправила одну циферку на предпоследней картинке. Опечатка.

@Наташа С · 16.12.2011, 13:15 **[ТС]**

спасибо большое!!!

vetvet · 16.12.2011, 13:26

Наташа С, пожалуйста.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Вопросы на собеседованиях по микросервисам ArchitectMsa 27.03.2025 Работодатели ищут не просто разработчиков, знающих базовые концепции, а специалистов, разбирающихся в тонкостях масштабирования, отказоустойчивости и производительности. Сейчас на первый план выходят. . .	Взаимодействие Python с REST API py-thonny 27.03.2025 REST API - это архитектурный стиль взаимодействия компонентов распределённого приложения в сети. Python располагает функциональным набором инструментов для работы с REST API и основная библиотека для. . .	sshd restrictions, ssh access limitations jigi33 26.03.2025 sshd restrictions \| ssh access limitations рестрикции доступа на сервер sshd статья: https:/ / www. golinuxcloud. com/ restrict-allow-ssh-certain-users-groups-rhel	Компиляция C++ с Clang API NullReferenced 24.03.2025 Компиляторы обычно воспринимаются как черные ящики, которые превращают исходный код в исполняемые файлы. Мы запускаем компилятор командой в терминале, и вуаля — получаем бинарник. Но что если нужно. . .	Многопоточное программирование в C#: Класс Thread UnmanagedCoder 24.03.2025 Когда запускается приложение на компьютере, операционная система создаёт для него процесс - виртуальное адресное пространство. В C# этот процесс изначально получает один поток выполнения — главный. . .
SwiftUI Data Flow: Передача данных между представлениями mobDevWorks 23.03.2025 При первом знакомстве со SwiftUI кажется, что фреймворк предлагает избыточное количество механизмов для передачи данных: @State, @Binding, @StateObject, @ObservedObject, @EnvironmentObject и другие. . . .	Моки в Java: Сравниваем Mockito, EasyMock, JMockit Javaican 23.03.2025 Как протестировать класс, который зависит от других сложных компонентов, таких как базы данных, веб-сервисы или другие классы, с которыми и так непросто работать в тестовом окружении? Для этого и. . .	Архитектурные паттерны микросервисов: ТОП-10 шаблонов ArchitectMsa 22.03.2025 Популярность микросервисной архитектуры объясняется множеством важных преимуществ. К примеру, она позволяет командам разработчиков работать независимо друг от друга, используя различные технологии и. . .	Оптимизация рендеринга в Unity: Сортировка миллиона спрайтов GameUnited 22.03.2025 Помните, когда наличие сотни спрайтов в игре приводило к существенному падению производительности? Время таких ограничений уходит в прошлое. Сегодня геймдев сталкивается с задачами совершенно иного. . .	Образование и практика Igor3D 21.03.2025 Добрый день А вот каково качество/ эффективность ВУЗовского образования? Аналитическая геометрия изучается в первом семестре и считается довольно легким курсом, что вполне справедливо. Ну хорошо,. . .

@Наташа С 14 / 2 / 0 Регистрация: 05.12.2011 Сообщений: 62

	Исследовать дробно-рациональную функцию. 15.12.2011, 16:20. Показов 9491. Ответов 6 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{5x^3}{1-x^5}$ 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	15.12.2011, 16:32
	Наташа С, какой вам давали план исследования и что из него вы смогли сделать самостоятельно? 0

@Наташа С 14 / 2 / 0 Регистрация: 05.12.2011 Сообщений: 62
	15.12.2011, 16:41 [ТС]
	Схема исследования функции: 1) найти область определения функции 2)исследовать функцию на четность,нечетность, переодичность. 3)найти участки неприрывности функции а так же точки разрыва 4) найти точки пересечения графика функции с осями координат 5) найти интервалы знака постоянства функции 6) найти интервалы возрастания и убывания экстремумы функции 7) найти интервалы выпуклости и вогнутости,точки перегиба 8) найти асимптоты. Построить график Добавлено через 48 секунд я в математике не сильна,помогите пожалуйста! 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	15.12.2011, 19:44
	Сообщение было отмечено как решение Решение 1) Область определения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;1)\cup(1;\infty)$ 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)=\frac{5(-x)^3}{1-(-x)^5}=-\frac{5x^3}{1+x^5}\ne y(x)\ne -y(x)\Rightarrow$ функция общего положения. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=\frac{5(x+T)^3}{1-(x+T)^5}=\frac{5x^3}{1-(x+T)^5}+\frac{5(3x^2T+3xT^2+t^3)}{1-(x+T)^5}$ очевидно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=y(x)$ только при T=0. Следовательно, функция непериодическая. 3) Знаменатель обращается в 0 при x=1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1+0}\frac{5x^3}{1-x^5}=-\infty$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1-0} \frac{5x^3}{1-x^5}=+\infty$ Т.о. в точке x=1 функция терпит разрыв второго рода. На всей числовой прямой, за исключением точки x=1, функция непрерывна. 4) Точки пересечения с осью Ox: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=0\Rightarrow \frac{5x^3}{1-x^5}=0$ , откуда получим x=0. Точки пересечения с осью Oy: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(0)=\frac{5\cdot 0^3}{1-0^5}=0$ Т.о., график функции пересекает оси только в начале координат. 5) Учитывая найденную в п.4 точку пересечения с осями и ноль знаменателя, методом интервалов находим: Получаем, что функция положительна на промежутке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0;1)$ и отрицательна на промежутках $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;0)\cup(1;\infty)$ . 6) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=5\cdot\frac{3x^2(1-x^5)-(-5x^4)\cdot x^3}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{3x^2-3x^7+5x^7}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{3x^2+2x^7}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{x^2(3+2x^5)}{(1-x^5)^2}$ Функция убывает на промежутке: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\infty;-\sqrt[5]{\frac{3}{2}}\right)$ Функция возрастает на промежутках: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\sqrt[5]{\frac{3}{2}};1\right)\cup(1;\infty)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\sqrt[5]{\frac{3}{2}};-\sqrt[5]{108}\right)$ - точка минимума. 7) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=5\frac{(6x+14x^6)(1-x^5)^2-2(1-x^5)(-5x^4)(3x^2+2x^7)}{(1-x^5)^4}=5\frac{2(1-x^5)(3x-3x^6+7x^6-7x^{11}+15x^6+10x^{11})}{(1-x^5)^4}=10\frac{x(3+19x^5+3x^{10})}{(1-x^5)^3}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=19^2-4\cdot 9=325$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1^5=\frac{-19+5\sqrt{13}}{6},x_1\approx -0,69$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2^5=\frac{-19-5\sqrt{13}}{6},x_1\approx -1,44$ Функция выпукла вверх на промежутках: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;-1,4)\cup(-0,7;0)\cup(1;\infty)$ Функция выпукла вниз на промежутках: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1,4;-0,7)\cup(0;1)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1,4;-1,9),(-0,7;4,8),(0;0)$ - точки перегиба. 8) Вертикальная асимптота x=1 (см.п.3) Горизонтальная асимптота: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^3}{1-x^5}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{15x^2}{-5x^4}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x^2}=0$ y=0 - горизонтальная асимптота. Наклонная асимптота: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^3}{x(1-x^5)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^2}{1-x^5}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{10x}{5x^3}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{x^2}=0\Rightarrow$ наклонных асимптот нет. 9) График: 6

vetvet
	16.12.2011, 12:49
	Не по теме: Подправила одну циферку на предпоследней картинке. Опечатка. 0

@Наташа С 14 / 2 / 0 Регистрация: 05.12.2011 Сообщений: 62
	16.12.2011, 13:15 [ТС]
	спасибо большое!!! 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,560
	16.12.2011, 13:26
	Наташа С, пожалуйста. 0

Опции темы

Исследовать дробно-рациональную функцию.

Решение