Градиент функции нескольких переменных.

Eastman · Регистрация: 17.04.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Прошу помочь в срочном решении задачи(до завтра терпит):

Найти градиенту функции u=f(x,y,z) в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(x_0,y_0,z_0)$ и вычислить его модуль:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=y\ln(1+x^2)-\operatorname{arctg}z$

Не по теме:

Прошу не считать наглостью, просто уже нет времени для вхождения в тему. Был бы весьма признателен.

vetvet · 11.01.2012, 14:05

А координаты точки А даны не были?

Eastman · 11.01.2012, 14:16 **[ТС]**

к сожалению нет, (уточнил ещё раз)...

Не по теме:

спасибо за правку, в редакторе до конца не разобрался...

vetvet · 11.01.2012, 14:25

Странно.
Градиент функции:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?grad (u)=\left(\left(\frac{\partial u}{\partial x} \right)_A;\left(\frac{\partial u}{\partial y} \right)_A;\left(\frac{\partial u}{\partial y} \right)_A\right)$
То есть вам нужно найти частные производные функции, затем их значение в данной точке (поэтому и странно, что числовые координаты не даны).
А так как градиент - это вектор, то его модуль ищется по формуле длины вектора:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}(x_a;y_a;z_a)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|\vec{a}|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}$
Это всё наверно можно выразить через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0,y_0,z_0$ , но вряд ли будут "красивые" выражения.

Eastman · 11.01.2012, 14:30 **[ТС]**

Сообщение от vetvet

но вряд ли будут "красивые" выражения

боюсь наверно так и надо, поэтому и обратился, что чего не напутать...
завтра защищать ещё придётся...

vetvet · 11.01.2012, 14:48

Сурово. По формулам, данным выше:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial u}{\partial x}=(y\ln{(1+x^2)}-\operatorname{arctg}z)'_x=\frac{y}{1+x^2}\cdot (1+x^2)'-0=\frac{2xy}{1+x^2};$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial u}{\partial y}=(y\ln{(1+x^2)}-\operatorname{arctg}z)'_y=\ln{(1+x^2)-0=\ln{(1+x^2);$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial u}{\partial z}=(y\ln{(1+x^2)}-\operatorname{arctg}z)'_z=0-\frac{1}{1+z^2}=-\frac{1}{1+z^2}.$

Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?grad (u)=\left(\frac{2x_0y_0}{1+x_0^2};\ln{(1+x_0^2);-\frac{1}{1+z_0^2}\right).$

Модуль:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|grad(u)|=\sqrt{\left(\frac{2x_0y_0}{1+x_0^2}\right)^2+\left(\ln{(1+x_0^2)\right)^2+\left(-\frac{1}{1+z_0^2}\right)^2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\sqrt{\frac{4x^2_0y^2_0}{(1+x_0^2)^2}+\ln^2{(1+x_0^2)+\frac{1}{(1+z_0^2)^2}}.$
Можно ещё привести то, что под корнем к общему знаменателю, но не вижу особого смысла. Всё равно выражение громоздкое получится.

Eastman · 11.01.2012, 14:58 **[ТС]**

Согласен, смысла в этом никакого не будет...
Громадное Спасибо!

vetvet · 11.01.2012, 15:03

Eastman, пожалуйста.

Eastman · 12.01.2012, 14:09 **[ТС]**

vetvet, в общем преподаватель задание зачёл, как и все остальные, но сказал что надо было решать далее - пояснять не стал(был занят приёмом экзамена, со слов сына -студента...

),
во хотелось бы знать, что имел ввиду? какие действия , кроме приведения к общему знаменателю, могли подразумеваться?

vetvet · 12.01.2012, 14:27

Eastman, мне кажется, что там просто всё таки должны были быть числовые координаты точки.

Eastman · 12.01.2012, 14:38 **[ТС]**

мне тоже, когда вникал в тему, показалось это весьма странным - отсутствие конкретных координат...

Не по теме:

vetvet, мне интересно Ваше мнение касательно вопроса к графику в решенной теме:
Исследование функции на экстремум

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	12.01.2012, 14:27	10
	Eastman, мне кажется, что там просто всё таки должны были быть числовые координаты точки. 0

Eastman 5755 / 1693 / 43 Регистрация: 17.04.2011 Сообщений: 8,554
		1
	Градиент функции нескольких переменных. 11.01.2012, 10:06. Показов 13417. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Прошу помочь в срочном решении задачи(до завтра терпит): Найти градиенту функции u=f(x,y,z) в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(x_0,y_0,z_0)$ и вычислить его модуль: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=y\ln(1+x^2)-\operatorname{arctg}z$ Не по теме: Прошу не считать наглостью, просто уже нет времени для вхождения в тему. Был бы весьма признателен. 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	11.01.2012, 14:05	2
	А координаты точки А даны не были? 0

Eastman 5755 / 1693 / 43 Регистрация: 17.04.2011 Сообщений: 8,554
	11.01.2012, 14:16 [ТС]	3
	к сожалению нет, (уточнил ещё раз)... Не по теме: спасибо за правку, в редакторе до конца не разобрался... 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	11.01.2012, 14:25	4
	Странно. Градиент функции: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?grad (u)=\left(\left(\frac{\partial u}{\partial x} \right)_A;\left(\frac{\partial u}{\partial y} \right)_A;\left(\frac{\partial u}{\partial y} \right)_A\right)$ То есть вам нужно найти частные производные функции, затем их значение в данной точке (поэтому и странно, что числовые координаты не даны). А так как градиент - это вектор, то его модуль ищется по формуле длины вектора: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}(x_a;y_a;z_a)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|\vec{a}\|=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}$ Это всё наверно можно выразить через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0,y_0,z_0$ , но вряд ли будут "красивые" выражения. 0

Eastman 5755 / 1693 / 43 Регистрация: 17.04.2011 Сообщений: 8,554
	11.01.2012, 14:30 [ТС]	5
	Сообщение от vetvet но вряд ли будут "красивые" выражения боюсь наверно так и надо, поэтому и обратился, что чего не напутать... завтра защищать ещё придётся... 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	11.01.2012, 14:48	6
	Сообщение было отмечено как решение Решение Сурово. По формулам, данным выше: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial u}{\partial x}=(y\ln{(1+x^2)}-\operatorname{arctg}z)'_x=\frac{y}{1+x^2}\cdot (1+x^2)'-0=\frac{2xy}{1+x^2};$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial u}{\partial y}=(y\ln{(1+x^2)}-\operatorname{arctg}z)'_y=\ln{(1+x^2)-0=\ln{(1+x^2);$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial u}{\partial z}=(y\ln{(1+x^2)}-\operatorname{arctg}z)'_z=0-\frac{1}{1+z^2}=-\frac{1}{1+z^2}.$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?grad (u)=\left(\frac{2x_0y_0}{1+x_0^2};\ln{(1+x_0^2);-\frac{1}{1+z_0^2}\right).$ Модуль: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|grad(u)\|=\sqrt{\left(\frac{2x_0y_0}{1+x_0^2}\right)^2+\left(\ln{(1+x_0^2)\right)^2+\left(-\frac{1}{1+z_0^2}\right)^2$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\sqrt{\frac{4x^2_0y^2_0}{(1+x_0^2)^2}+\ln^2{(1+x_0^2)+\frac{1}{(1+z_0^2)^2}}.$ Можно ещё привести то, что под корнем к общему знаменателю, но не вижу особого смысла. Всё равно выражение громоздкое получится. 2

Eastman 5755 / 1693 / 43 Регистрация: 17.04.2011 Сообщений: 8,554
	11.01.2012, 14:58 [ТС]	7
	Согласен, смысла в этом никакого не будет... Громадное Спасибо! 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,556
	11.01.2012, 15:03	8
	Eastman, пожалуйста. 0

Eastman 5755 / 1693 / 43 Регистрация: 17.04.2011 Сообщений: 8,554
	12.01.2012, 14:09 [ТС]	9
	vetvet, в общем преподаватель задание зачёл, как и все остальные, но сказал что надо было решать далее - пояснять не стал(был занят приёмом экзамена, со слов сына -студента...), во хотелось бы знать, что имел ввиду? какие действия , кроме приведения к общему знаменателю, могли подразумеваться? 0

Eastman 5755 / 1693 / 43 Регистрация: 17.04.2011 Сообщений: 8,554
	12.01.2012, 14:38 [ТС]	11
	мне тоже, когда вникал в тему, показалось это весьма странным - отсутствие конкретных координат... Не по теме: vetvet, мне интересно Ваше мнение касательно вопроса к графику в решенной теме: Исследование функции на экстремум 0

Градиент функции нескольких переменных.

Решение