Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.

Виды области определения некоторых возможных типов функций.

В особых точках, найденных в п.1 (точек, в которых значение функции не определено), ищем односторонние пределы:
- особая точка;

- правосторонний (правый) предел;

- левосторонний (левый) предел.

а) если данные пределы существуют, конечны и совпадают со значением функции в данной точке, то функция в проверяемой точке непрерывна;

б) если пределы существуют, конечны, равны между собой, но хотя бы один не совпадает со значением функции в проверяемой точке, то имеем разрыв первого рода, устранимый;

в) если пределы существуют, конечны, но не совпадают между собой, то имеем конечный (неустранимый) разрыв первого рода ("скачок");
модуль разности односторонних пределов

называется скачком функции;

г) если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то в проверяемой точке имеем разрыв второго рода.

Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки.

Для проверки функции на чётность/нечётность, подставляем в функцию вместо аргумента .

а) если можно преобразовать функцию так, что , то функция чётная (её график симметричен относительно оси Oy);

б) если можно преобразовать функцию так, что , то функция нечётная (её график симметричен относительно начала координат);

в) если после подстановки получаем , то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего положения).

Функция будет являться периодической, если существует такое число , что . Если после преобразований получается, что равенство возможно только при , то функция не является периодической (чаще всего периодическими являются тригонометрические функции).

Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно найти корни уравнения .
Точки пересечения будут иметь вид:
, где - корни уравнения .

Чтобы найти точки пересечения с осью Oy, нужно найти значение функции при .
Точка пересечения будет иметь вид:
.

Найденные в п.5 точки пересечения с осью Ox и особые точки функции (если они есть) наносятся на числовую ось. Из каждого из получившихся промежутков выбирается точка и подставляется в уравнение функции. Если в результате получается отрицательное значение функции, то на данном промежутке функция находится ниже оси Ox; если получается положительное значение - то функция находится выше оси Ox.

По правилам дифференцирования находим первую производную функции и приравниваем её нулю. Найденные стационарные точки (нули производной) и особые точки производной (если есть) наносим на числовую ось и аналогично п.6 находим знак производной в получившихся промежутках:

- промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции;

- промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции;

- если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с плюса на минус, то стационарная точка является точкой максимума(при условии, что в ней определено значение функции);

- если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с минуса на плюс, то стационарная точка является точкой минимума(при условии, что в ней определено значение функции).

Если производная имеет постоянный знак на всей области определения, то функция монотонна.

По правилам дифференцирования находим вторую производную функции и приравниваем её нулю. Найденные точки (нули второй производной) и особые точки второй производной (если есть) наносим на числовую ось и аналогично п.6 находим знак второй производной в получившихся промежутках:

- на промежутках, на которых вторая производная положительна, функция вогнута (выпукла вниз);

- на промежутках, на которых вторая производная отрицательна, функция выпукла (выпукла вверх);

- если при переходе через полученную точку вторая производная меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс, то точка является точкой перегиба(при условии, что в ней определено значение функции).

Если вторая производная имеет постоянный знак на всей области определения, то точек перегиба нет.

Если в п. 2 получен хотя бы один бесконечный предел, то прямая является вертикальной асимптотой.

Если существуют и конечны два предела:



то прямая является наклонной асимптотой.

В случае (наклонная асимптота совпадает с горизонтальной) прямая является горизонтальной асимптотой.

На координатной плоскости отмечаются найденные особые точки, точки пересечения с осями, точки экстремума и точки перегиба. Для уточнения можно найти несколько точек функции и отметить на координатной плоскости. Проводятся асимптоты (обычно пунктиром).
Согласно полученным свойствам функции схематично рисуется график.

1) Область определения:

2) Знаменатель обращается в 0 при x=1.



Т.о. в точке x=1 функция терпит разрыв второго рода.
На всей числовой прямой, за исключением точки x=1, функция непрерывна.

3)
функция общего положения.

4)
очевидно, что только при T=0. Следовательно, функция непериодическая.

5) Точки пересечения с осью Ox:
, откуда получим x=0.
Точки пересечения с осью Oy:

Т.о., график функции пересекает оси только в начале координат.

6) Учитывая найденную в п.5 точку пересечения с осями и ноль знаменателя, методом интервалов находим:

Получаем, что функция положительна на промежутке и отрицательна на промежутках .

7)


Функция убывает на промежутке:

Функция возрастает на промежутках:

- точка минимума.

8)






Функция выпукла вверх на промежутках:

Функция выпукла вниз на промежутках:

- точки перегиба.

9)
Вертикальная асимптота x=1 (см.п.3)

Наклонная асимптота:
наклонных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота:


- горизонтальная асимптота.

10) График:

Функция непрерывна на каждом из интервалов
Исследуем на непрерывность точки .

Пусть , тогда




Пределы справа и слева конечны, но не равны, поэтому в точке функция терпит конечный разрыв первого рода ("скачок").

Пусть , тогда




Пределы слева и справа конечны, равны между собой и равны значению функции в точке , следовательно, функция непрерывна в точке .

График: