Обратное вейвлет преобразование

@Vovan150519 · Регистрация: 18.02.2009

Здраствуйте. В статье Астафьевой: "Вейвлет анализ" (http://www.isuct.ru/~artcol/ar... analys.pdf) описано обратное вейвлет преобразования:

И написано, что в частности видно, что образ Фурье должен бил равен нулю в начале координат.

Я не понемаю из чево ето очевидно? И чему равен второй интеграл ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\Psi \left(\omega \right)}^{2}}{\omega }$ )в начале координат(ω=0) когда образ Фурье равен нулю?

@Зритель · 11.08.2012, 20:03

Сообщение от Vovan150519

.. написано, что в частности видно, что образ Фурье должен бил равен нулю в начале координат..

Под интегралом стоит функция
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{{{\left| {\hat \psi (\omega )} \right|}^2}}}{{\left| \omega \right|}}$
Если ее числитель при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega = 0$ не будет обращаться в нуль, то интеграл разойдется в нуле, и нормализующий коэффициент окажется бесконечным. Поэтому
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat \psi (0) = \int_{ - \infty }^\infty {\psi (t)dt} = 0$ .
Это - ограничение на класс функций, которые могут быть использованы в качестве базисных вейвлетов.

@Vovan150519 · 11.08.2012, 21:23 **[ТС]**

Это все я понимаю. Но у меня $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left|\hat\Psi \right|}^{2}$ задан как массив и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\omega \right|$ задан как массив. Я не понимаю как мне найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{C}_{\psi }$ так как не понимаю что будет при ω = 0.

@Зритель · 11.08.2012, 22:23

Сообщение от Vovan150519

..Я не понимаю как мне найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{C}_{\psi }$ ..

интегрировать отношение массивов, что же еще

@Vovan150519 · 11.08.2012, 22:50 **[ТС]**

А там где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{0}{0}$ , що делать? Под интегрированием вы понимаете сумму отношений масивов умножений на интервал дискретизации?

@splen · 12.08.2012, 11:50

На самом деле, предполагалось, что на функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi (t)$ наложены условия, гарантирующие непрерывность её Фурье-образа в нуле - только в этом случае из условия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat {\psi}(0) \ne 0$ будет следовать расходимость интеграла.

Если никаких предположений, кроме сходимости интеграла, не делается, то о поведении отношения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{{{\left| {\hat \psi (\omega )} \right|}^2}}}{{\left| \omega \right|}}$ в окрестности нуля нельзя сказать почти ничего определённого. Оно может, например, иметь конечный предел. В таком случае можно получить приближённое значение этого отношения при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega = 0$ с помощью интерполяции по соседним с нулём точкам. Также, оно может иметь в нуле (интегрируемую) особенность. В таком случае можно попытаться определить характер этой особенности (если возможно, вычислить асимптотику $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{{{\left| {\hat \psi (\omega )} \right|}^2}}}{{\left| \omega \right|}}$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega \to 0$ ) и выделить её явно при вычислении интеграла. Во всяком случае, нужно использовать дополнительную информацию о конкретном виде используемой функции.

@Зритель · 12.08.2012, 11:55

Сообщение от Vovan150519

А там где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{0}{0}$ , що делать?..

Взять =0, не играет роли, если интеграл хорошо сходится.
И прочитайте внимательно то, что написал вам splen! Это важно!

Сообщение от Vovan150519

.. Под интегрированием вы понимаете сумму отношений масивов умножений на интервал дискретизации?

Можно и так, если считать интеграл по правилу прямоугольников

. Не самый лучший метод. Адаптивный Симпсон хотя бы будет лучше. Смотреть надо, как меняется подынтегральная функция. Если убывает быстро при удалении от нуля, то - Гаусс или Лагерр предпочтительнее.

@splen · 12.08.2012, 13:45

Обычно, в качестве базисных вейвлетов выбирают хорошо локализованные функции. Например, часто оказывается, что выбранная функция имеет конечный первый момент:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{R} \left | \psi (t) \right | t dt < \infty.$
В таком случае, учитывая, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{R} \psi (t) dt = 0,$ ,
получаем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{R} e^{-i \omega t} \psi (t) dt = \int_{R} (e^{-i \omega t}-1) \psi (t) dt = \omega \int_{R} \frac {e^{-i \omega t}-1}{\omega t} \psi (t) t dt,$
а поскольку величина $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac {e^{-i \omega t}-1}{\omega t}$ равномерно ограничена на всей вещественной оси, интеграл конечен и оценивается константой, не зависящей от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega$ . Поэтому
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat{\psi}(\omega) = O(\omega)$
и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\hat{\psi}}^2(\omega)}{\omega} = O(\omega).$

Следовательно, в практически важном случае, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t \psi (t) \in {L}^{1}(R),$ можно отношение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\hat{\psi}}^2(\omega)}{\omega}$ в нуле заменять нулём.

@Vovan150519 13 / 13 / 0 Регистрация: 18.02.2009 Сообщений: 90
		1
	Обратное вейвлет преобразование 11.08.2012, 17:43. Показов 1184. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Здраствуйте. В статье Астафьевой: "Вейвлет анализ" (http://www.isuct.ru/~artcol/ar... analys.pdf) описано обратное вейвлет преобразования: И написано, что в частности видно, что образ Фурье должен бил равен нулю в начале координат. Я не понемаю из чево ето очевидно? И чему равен второй интеграл ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\Psi \left(\omega \right)}^{2}}{\omega }$ )в начале координат(ω=0) когда образ Фурье равен нулю? __________________ Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ, диссертаций здесь 0

@Зритель 158 / 97 / 9 Регистрация: 12.11.2011 Сообщений: 121
	11.08.2012, 20:03	2
	Сообщение от Vovan150519 .. написано, что в частности видно, что образ Фурье должен бил равен нулю в начале координат.. Под интегралом стоит функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{{{\left\| {\hat \psi (\omega )} \right\|}^2}}}{{\left\| \omega \right\|}}$ Если ее числитель при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega = 0$ не будет обращаться в нуль, то интеграл разойдется в нуле, и нормализующий коэффициент окажется бесконечным. Поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat \psi (0) = \int_{ - \infty }^\infty {\psi (t)dt} = 0$ . Это - ограничение на класс функций, которые могут быть использованы в качестве базисных вейвлетов. 2

@Vovan150519 13 / 13 / 0 Регистрация: 18.02.2009 Сообщений: 90
	11.08.2012, 21:23 [ТС]	3
	Это все я понимаю. Но у меня $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left\|\hat\Psi \right\|}^{2}$ задан как массив и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|\omega \right\|$ задан как массив. Я не понимаю как мне найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{C}_{\psi }$ так как не понимаю что будет при ω = 0. 0

@Зритель 158 / 97 / 9 Регистрация: 12.11.2011 Сообщений: 121
	11.08.2012, 22:23	4
	Сообщение от Vovan150519 ..Я не понимаю как мне найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{C}_{\psi }$ .. интегрировать отношение массивов, что же еще 1

@Vovan150519 13 / 13 / 0 Регистрация: 18.02.2009 Сообщений: 90
	11.08.2012, 22:50 [ТС]	5
	А там где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{0}{0}$ , що делать? Под интегрированием вы понимаете сумму отношений масивов умножений на интервал дискретизации? 0

@splen 1727 / 1019 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	12.08.2012, 11:50	6
	Сообщение было отмечено как решение Решение На самом деле, предполагалось, что на функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi (t)$ наложены условия, гарантирующие непрерывность её Фурье-образа в нуле - только в этом случае из условия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat {\psi}(0) \ne 0$ будет следовать расходимость интеграла. Если никаких предположений, кроме сходимости интеграла, не делается, то о поведении отношения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{{{\left\| {\hat \psi (\omega )} \right\|}^2}}}{{\left\| \omega \right\|}}$ в окрестности нуля нельзя сказать почти ничего определённого. Оно может, например, иметь конечный предел. В таком случае можно получить приближённое значение этого отношения при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega = 0$ с помощью интерполяции по соседним с нулём точкам. Также, оно может иметь в нуле (интегрируемую) особенность. В таком случае можно попытаться определить характер этой особенности (если возможно, вычислить асимптотику $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{{{\left\| {\hat \psi (\omega )} \right\|}^2}}}{{\left\| \omega \right\|}}$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega \to 0$ ) и выделить её явно при вычислении интеграла. Во всяком случае, нужно использовать дополнительную информацию о конкретном виде используемой функции. 3

@Зритель 158 / 97 / 9 Регистрация: 12.11.2011 Сообщений: 121
	12.08.2012, 11:55	7
	Сообщение от Vovan150519 А там где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{0}{0}$ , що делать?.. Взять =0, не играет роли, если интеграл хорошо сходится. И прочитайте внимательно то, что написал вам splen! Это важно! Сообщение от Vovan150519 .. Под интегрированием вы понимаете сумму отношений масивов умножений на интервал дискретизации? Можно и так, если считать интеграл по правилу прямоугольников . Не самый лучший метод. Адаптивный Симпсон хотя бы будет лучше. Смотреть надо, как меняется подынтегральная функция. Если убывает быстро при удалении от нуля, то - Гаусс или Лагерр предпочтительнее. 2

@splen 1727 / 1019 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	12.08.2012, 13:45	8
	Обычно, в качестве базисных вейвлетов выбирают хорошо локализованные функции. Например, часто оказывается, что выбранная функция имеет конечный первый момент: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{R} \left \| \psi (t) \right \| t dt < \infty.$ В таком случае, учитывая, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{R} \psi (t) dt = 0,$ , получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{R} e^{-i \omega t} \psi (t) dt = \int_{R} (e^{-i \omega t}-1) \psi (t) dt = \omega \int_{R} \frac {e^{-i \omega t}-1}{\omega t} \psi (t) t dt,$ а поскольку величина $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac {e^{-i \omega t}-1}{\omega t}$ равномерно ограничена на всей вещественной оси, интеграл конечен и оценивается константой, не зависящей от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\omega$ . Поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat{\psi}(\omega) = O(\omega)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\hat{\psi}}^2(\omega)}{\omega} = O(\omega).$ Следовательно, в практически важном случае, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t \psi (t) \in {L}^{1}(R),$ можно отношение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{\hat{\psi}}^2(\omega)}{\omega}$ в нуле заменять нулём. 2

Опции темы

Обратное вейвлет преобразование

Решение