Вейвлет преобразование

@Vovan150519 · Регистрация: 18.02.2009

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Прямое и обратное вейвлет преобразование виглядит так

Прямое

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?W(a,x')=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\propto }^{\propto }f(x)*\psi (\frac{x-x'}{a}) dx$

Обратное

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)={C}^{-1}\int_{-\propto }^{\propto }\int_{-\propto }^{\propto } W(a,x')\psi \left(\frac{x-x'}{a} \right)\frac{dadx'}{{a}^{2}}$

Вопрос:
Как будет виглядить обратное преобразование, если при прямом преобразовании я использовал функцию
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi(x) =\frac{1}{{x}^{2}+{h}^{2}}$
которая не соответствует требованию вейвлета
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\propto }^{\propto }\psi (x)dx=0$

@splen · 18.08.2012, 16:13

Вообще говоря, для произвольной функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi(x)$ соответствующее преобразование не обязано быть обратимым.

В данном случае, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi(x) =\frac{1}{{x}^{2}+{h}^{2}}$ , то прямое преобразование сводится к свёртке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\propto }^{\propto }f(x) g(x'-x) dx$ функции f(x) с ядром $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g(t) = \frac{1}{\sqrt{a}}\psi (\frac{t}{a}).$ Для обращения оператора свёртки можно воспользоваться преобразованием Фурье и теоремой о свёртке, причём достаточно использовать значения W только при фиксированном а, например, при а=1.

Примерный план действий:
1) в равенстве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\propto }^{\propto }f(x) g(x'-x) dx = W(1,x')$ перейти к фурье-образам функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat f_k$ , ядра $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat g_k$ и образа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat W_k$ при a=1, применив теорему о свёртке;
2) выразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat f_k$ через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat g_k$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat W_k$ ;
3) вернуться от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat f_k$ к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ по формуле обратного преобразования Фурье.

Ясно, что это будет возможно не при произвольных $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?W(a,x')$ (хотя бы потому, что получающийся интеграл может расходиться).

К тому же, выразить обратное преобразование в виде интегрального оператора с обычной функцией в качестве ядра не получится (там могут возникать обобщённые функции - слишком плохой знаменатель под знаком интеграла).

@Vovan150519 13 / 13 / 0 Регистрация: 18.02.2009 Сообщений: 90
		1
	Вейвлет преобразование 17.08.2012, 18:59. Показов 1647. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Прямое и обратное вейвлет преобразование виглядит так Прямое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?W(a,x')=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\propto }^{\propto }f(x)*\psi (\frac{x-x'}{a}) dx$ Обратное $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)={C}^{-1}\int_{-\propto }^{\propto }\int_{-\propto }^{\propto } W(a,x')\psi \left(\frac{x-x'}{a} \right)\frac{dadx'}{{a}^{2}}$ Вопрос: Как будет виглядить обратное преобразование, если при прямом преобразовании я использовал функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi(x) =\frac{1}{{x}^{2}+{h}^{2}}$ которая не соответствует требованию вейвлета $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\propto }^{\propto }\psi (x)dx=0$ 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	18.08.2012, 16:13	2
	Сообщение было отмечено как решение Решение Вообще говоря, для произвольной функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi(x)$ соответствующее преобразование не обязано быть обратимым. В данном случае, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi(x) =\frac{1}{{x}^{2}+{h}^{2}}$ , то прямое преобразование сводится к свёртке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\propto }^{\propto }f(x) g(x'-x) dx$ функции f(x) с ядром $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g(t) = \frac{1}{\sqrt{a}}\psi (\frac{t}{a}).$ Для обращения оператора свёртки можно воспользоваться преобразованием Фурье и теоремой о свёртке, причём достаточно использовать значения W только при фиксированном а, например, при а=1. Примерный план действий: 1) в равенстве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\propto }^{\propto }f(x) g(x'-x) dx = W(1,x')$ перейти к фурье-образам функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat f_k$ , ядра $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat g_k$ и образа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat W_k$ при a=1, применив теорему о свёртке; 2) выразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat f_k$ через $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat g_k$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat W_k$ ; 3) вернуться от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat f_k$ к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ по формуле обратного преобразования Фурье. Ясно, что это будет возможно не при произвольных $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?W(a,x')$ (хотя бы потому, что получающийся интеграл может расходиться). К тому же, выразить обратное преобразование в виде интегрального оператора с обычной функцией в качестве ядра не получится (там могут возникать обобщённые функции - слишком плохой знаменатель под знаком интеграла). 3

Опции темы

Вейвлет преобразование

Решение