Доказать сходимость рядов и найти их суммы

@SuLLeN · Регистрация: 27.12.2011

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый вечер форумчане!

Помогите пожалуйста порешать несколько примеров, пожалуйста!
Задание ко всем примерам одинаковое: доказать сходимость ряда и найти его сумму

@Igor · 25.09.2012, 17:20

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> 1)\ \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{1}{n+6}-\frac{1}{n+7}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+6)(n+7)}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n+6}-\frac{1}{n+7})=(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{9})+...+(\frac{1}{n+5}-\frac{1}{n+6})+(\frac{1}{n+6}-\frac{1}{n+7})=\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{7}-\frac{1}{n+7})=\frac{1}{7}$

@SuLLeN · 26.09.2012, 08:39 **[ТС]**

Igor, Спасибо большое! Нужно еще несколько решений.

@Igor · 26.09.2012, 08:56

SuLLeN, пожалуйста.
6) Расходится по необходимому.

@Ellipsoid · 26.09.2012, 13:37

С суммами сложнее. Например, ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}$ сходится в силу предельного признака Даламбера, это значит, что существует предел последовательности частичных сумм, равный искомой сумме: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{S_n}=S$ . Далее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n+1}=\frac{1}{3}+\sum_{k=1}^{n}\frac{n+1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}S_n+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^{n+1}}$ . Учитывая, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^{n+1}}$ есть сумма геометрической прогресси, а также то, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{S_{n+1}}=\lim_{n \to \infty}{S_n}$ , найдём сумму ряда.

@Thinker · 26.09.2012, 15:13

5. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S = \sum_{n\geq 1}\frac{n}{3^n}$
Обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t) = \sum_{n\geq 1}\frac{n}{3^n}t^{n-1}$ . Тогда S = f(1). Данный степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке из интервала (-3,3). Поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(t)dt = \sum_{n\geq 1}\frac{t^n}{3^n} + C = \frac{\frac{t}{3}}{1-\frac{t}{3}}+C = \frac{t}{3-t}+C$ .
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t) = \frac{3}{(3-t)^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S = f(1) = \frac{3}{4}$

@Ellipsoid · 26.09.2012, 15:39

Thinker, неплохо! Но я пока со степенными рядами на "вы".

@Thinker · 26.09.2012, 15:56

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\sum_{n\geq 1}\frac{3n(n+1)}{5^n}$
Обозначим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(s,t) = \sum_{n\geq 1}\frac{3n(n+1)}{5^n}s^{n-1}t^n$ . тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\int f(s,t)dsdt = \frac{3st^2}{5-st} + C_1(s) + C_2(t)$ . Находим частные производные по s и по t, получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(s,t) = \frac{150t}{(5-st)^3}$ .
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S = f(1,1) = \frac{75}{32}$

Добавлено через 8 минут
Ellipsoid, у Вас хороший вариант с рекурсией

@Igor · 26.09.2012, 17:29

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4)\ \frac{1}{\sqrt{n}}\ln \frac{n+1}{n-1}\ <\ \frac{1}{n\sqrt{n}},\ n\in N$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

Доказать сходимость рядов и найти их суммы

Решение

Решение

Решение

@SuLLeN 23 / 23 / 12 Регистрация: 27.12.2011 Сообщений: 855

	Доказать сходимость рядов и найти их суммы 25.09.2012, 16:43. Показов 10029. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Добрый вечер форумчане! Помогите пожалуйста порешать несколько примеров, пожалуйста! Задание ко всем примерам одинаковое: доказать сходимость ряда и найти его сумму Миниатюры 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	25.09.2012, 17:20
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> 1)\ \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{1}{n+6}-\frac{1}{n+7}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+6)(n+7)}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n+6}-\frac{1}{n+7})=(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{9})+...+(\frac{1}{n+5}-\frac{1}{n+6})+(\frac{1}{n+6}-\frac{1}{n+7})=\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{7}-\frac{1}{n+7})=\frac{1}{7}$ 2

@SuLLeN 23 / 23 / 12 Регистрация: 27.12.2011 Сообщений: 855
	26.09.2012, 08:39 [ТС]
	Igor, Спасибо большое! Нужно еще несколько решений. 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	26.09.2012, 08:56
	SuLLeN, пожалуйста. 6) Расходится по необходимому. 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	26.09.2012, 13:37
	Сообщение было отмечено как решение Решение С суммами сложнее. Например, ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}$ сходится в силу предельного признака Даламбера, это значит, что существует предел последовательности частичных сумм, равный искомой сумме: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{S_n}=S$ . Далее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{n+1}=\frac{1}{3}+\sum_{k=1}^{n}\frac{n+1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}S_n+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^{n+1}}$ . Учитывая, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^{n+1}}$ есть сумма геометрической прогресси, а также то, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{S_{n+1}}=\lim_{n \to \infty}{S_n}$ , найдём сумму ряда. 4

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	26.09.2012, 15:13
	Сообщение было отмечено как решение Решение 5. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S = \sum_{n\geq 1}\frac{n}{3^n}$ Обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t) = \sum_{n\geq 1}\frac{n}{3^n}t^{n-1}$ . Тогда S = f(1). Данный степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке из интервала (-3,3). Поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(t)dt = \sum_{n\geq 1}\frac{t^n}{3^n} + C = \frac{\frac{t}{3}}{1-\frac{t}{3}}+C = \frac{t}{3-t}+C$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t) = \frac{3}{(3-t)^2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S = f(1) = \frac{3}{4}$ 4

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	26.09.2012, 15:39
	Thinker, неплохо! Но я пока со степенными рядами на "вы". 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	26.09.2012, 15:56
	Сообщение было отмечено как решение Решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\sum_{n\geq 1}\frac{3n(n+1)}{5^n}$ Обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(s,t) = \sum_{n\geq 1}\frac{3n(n+1)}{5^n}s^{n-1}t^n$ . тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\int f(s,t)dsdt = \frac{3st^2}{5-st} + C_1(s) + C_2(t)$ . Находим частные производные по s и по t, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(s,t) = \frac{150t}{(5-st)^3}$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S = f(1,1) = \frac{75}{32}$ Добавлено через 8 минут Ellipsoid, у Вас хороший вариант с рекурсией 3

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	26.09.2012, 17:29
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4)\ \frac{1}{\sqrt{n}}\ln \frac{n+1}{n-1}\ <\ \frac{1}{n\sqrt{n}},\ n\in N$ 0