Найти область определения и множества значений функций

@ramazan05duldug · Регистрация: 23.04.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем привет. Давно я не заходил на форум(. Ну вот, теперь часто буду заглядывать, ибо я уже студент).
И мнее вот понадобилась ваша помощь. Нужно проверить решенные уравнение и помочь решить нерешенные.

1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{1-{x}^{2}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-{x}^{2}\geq 0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-x)(1+x)\geq 0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-x=0$
x=1
1+x=0
x=-1

D(f)=[-1;1]
E(f)= [0;1]

2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{{x}^{2}-1}$

D(f)=[1;+беск.)объ(-беск; -1)
E(f)=[0; +беск.)

3) y=ln|x+2|

D(f)=(-беск.; 0) объ. (0; +беск)
E(f)=?

4) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$

D(f) = [2; 4]
E(f) = ?

5) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=ln\frac{x-1}{3-2x}$

Знаю Примеры школьные, но появляются какие-то сомнения, на 100% не уверен...........

@Mysterious Light · 06.09.2013, 20:42

\cup\infty
1. Да
2. Да
3. определяет D(f),
4. Какая область определения функции ?

@Stella · 11.09.2013, 18:24

Насчет пункта 3. на самом деле должно быть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|x+2 \right|>0$ , поскольку областью определения функции логарифм является интервал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(0, \infty \right)$ . Следовательно, областью определения исходной функции является множество $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{R} \backslash \{-2\}$ . Область значений - вся действительная ось.

Насчет 4. Область определения - правильно.

Относительно области значений, не знаю, на пальцах как-то можно, конечно, и проще, мое строгое решение может несколько усложнено:

рассмотрим сначала функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = y^2 = (\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2 = x - 2 + 4 - x +2\sqrt{(x-2)(4 - x)} = 2+2\sqrt{(x-2)(4 - x)}$ . Определим, какие значения принимает функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g(x) = (x-2)(4-x)$ на интервале $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[2,4]$ . Ясно, что это значения из отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[0,1]$ . Следовательно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g(x)$ принимает те же значения - из отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[0,1]$ . Поэтому функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ принимает значения из отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[2,4]$ . Теперь можно перейти к значениям функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y$ - это интервал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[\sqrt{2},2]$ (все преобразования правомочны, поскольку они выполнялись на интервалах, на которых соответствующие им функции монотонны).

Что-то типа этого.

Относительно 5., чтобы найти область определения функции, надо решить неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-1}{3-2x} > 0$ . Чтобы найти область значений, сперва нужно определить область значений функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-1}{3-2x}$ (учитывая, естественно, область определения) (тут может помочь график, или преобразование $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-1}{3-2x} = \frac{-\frac1{2}(3 - 2x -1)}{3-2x} = -\frac1{2}+\frac1{2(3-2x)}$ ), а затем рассмотреть, куда переводит полученное множество функция логарифм (это несложно).

@UFO94 · 12.09.2013, 17:12

2. Мелкая ошибка -- (-беск;-1] -- скобка квадратная.
4. D(f) -- правильно. E(f) -- можно сделать как советует Stella, но это сработает только для знакоопределенных функций. ИМХО, проще и универсальнее найти экстремумы функции на D(f).
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$
Условие экстремума -- у'=0.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt{x-2}}=\frac{1}{\sqrt{4-x}}$
x-2=4-x
2x=6
x=3.
Найдем значение у в точке єкстремума и на концах интервала.
у(3)=2. у(2)=у(4)= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$
Итого, E(f)=[ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ ;2]

@Stella · 13.09.2013, 22:36

Сообщение от UFO94

можно сделать как советует Stella, но это сработает только для знакоопределенных функций. ИМХО, проще и универсальнее найти экстремумы функции на D(f)

да, конечно, так проще, но 1) непонятно, каким аппаратом обладает ТС (позволено ли использовать дифференциальное исчисление) и 2) если обобщать этот способ, то он неявно должен использовать тот факт (ну, как должен, он его и использует), что непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между максимумом и минимумом

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@ramazan05duldug 39 / 39 / 20 Регистрация: 23.04.2012 Сообщений: 462 Записей в блоге: 2

	Найти область определения и множества значений функций 06.09.2013, 16:02. Показов 1443. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Всем привет. Давно я не заходил на форум(. Ну вот, теперь часто буду заглядывать, ибо я уже студент). И мнее вот понадобилась ваша помощь. Нужно проверить решенные уравнение и помочь решить нерешенные. 1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{1-{x}^{2}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-{x}^{2}\geq 0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-x)(1+x)\geq 0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-x=0$ x=1 1+x=0 x=-1 D(f)=[-1;1] E(f)= [0;1] 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{{x}^{2}-1}$ D(f)=[1;+беск.)объ(-беск; -1) E(f)=[0; +беск.) 3) y=ln\|x+2\| D(f)=(-беск.; 0) объ. (0; +беск) E(f)=? 4) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ D(f) = [2; 4] E(f) = ? 5) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=ln\frac{x-1}{3-2x}$ Знаю Примеры школьные, но появляются какие-то сомнения, на 100% не уверен........... 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4310 / 2102 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,183 Записей в блоге: 24
	06.09.2013, 20:42
	\cup\infty 1. Да 2. Да 3. определяет D(f), 4. Какая область определения функции ? 0

@Stella 75 / 75 / 10 Регистрация: 26.02.2013 Сообщений: 224
	11.09.2013, 18:24
	Насчет пункта 3. на самом деле должно быть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|x+2 \right\|>0$ , поскольку областью определения функции логарифм является интервал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(0, \infty \right)$ . Следовательно, областью определения исходной функции является множество $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{R} \backslash \{-2\}$ . Область значений - вся действительная ось. Насчет 4. Область определения - правильно. Относительно области значений, не знаю, на пальцах как-то можно, конечно, и проще, мое строгое решение может несколько усложнено: рассмотрим сначала функцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = y^2 = (\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2 = x - 2 + 4 - x +2\sqrt{(x-2)(4 - x)} = 2+2\sqrt{(x-2)(4 - x)}$ . Определим, какие значения принимает функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g(x) = (x-2)(4-x)$ на интервале $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[2,4]$ . Ясно, что это значения из отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[0,1]$ . Следовательно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g(x)$ принимает те же значения - из отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[0,1]$ . Поэтому функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ принимает значения из отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[2,4]$ . Теперь можно перейти к значениям функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y$ - это интервал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[\sqrt{2},2]$ (все преобразования правомочны, поскольку они выполнялись на интервалах, на которых соответствующие им функции монотонны). Что-то типа этого. Относительно 5., чтобы найти область определения функции, надо решить неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-1}{3-2x} > 0$ . Чтобы найти область значений, сперва нужно определить область значений функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-1}{3-2x}$ (учитывая, естественно, область определения) (тут может помочь график, или преобразование $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-1}{3-2x} = \frac{-\frac1{2}(3 - 2x -1)}{3-2x} = -\frac1{2}+\frac1{2(3-2x)}$ ), а затем рассмотреть, куда переводит полученное множество функция логарифм (это несложно). 1

@UFO94 267 / 256 / 23 Регистрация: 04.04.2012 Сообщений: 546
	12.09.2013, 17:12
	2. Мелкая ошибка -- (-беск;-1] -- скобка квадратная. 4. D(f) -- правильно. E(f) -- можно сделать как советует Stella, но это сработает только для знакоопределенных функций. ИМХО, проще и универсальнее найти экстремумы функции на D(f). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$ Условие экстремума -- у'=0. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt{x-2}}=\frac{1}{\sqrt{4-x}}$ x-2=4-x 2x=6 x=3. Найдем значение у в точке єкстремума и на концах интервала. у(3)=2. у(2)=у(4)= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ Итого, E(f)=[ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ ;2] 0