@executor

Форму привет, математика прекрасна.

И так вопрос, сидел я такой почитывал книжку по математическому анализу, все как всегда начинается с теории множеств переходящую в введение действительных (вещественных) чисел, я знаю 2 подхода:
1) Аксиоматический.
2) Сечение Дедекинда.
Ну так вот, в той книжке что я читаю, действительные числа вводятся через сечение Дедекинда.


Так вот, я понимаю множества, но введение вещественных чисел через сечение не пойму, не могу прочувствовать.
Не пойму почему разбиение идёт в однёрке.
За разъяснением этого вопроса я обратился к книжке Александрова Введение в теорию множеств и общую топологию.

Но я так и не понял, как разбиение мн-ва рациональных чисел на 2 класса можно вывести действительные.

Посему прошу помощи, объясните как можно проще получение действительных через сечение, точнее так, что бы можно было прочувствовать, если вы будите ссылаться на теоремы, леммы и прочее, достаточно их названия (типо - по теореме такой-то получаем) я большинство знаю, уж очень сильно это гложет мою душу, спать не дает.

0

@angor6

Какую книгу Вы "почитывали"? Попробуйте прочитать начало первого тома "Основ математического анализа" В. М. Фихтенгольца. По-моему, там всё понятно объяснено.

0

@executor

angor6, читал курс дифференциального и интегрального исчисления. Сейчас попробую Основы, но думаю разницы не будет)

0

@angor6

Да, там то же самое. Наверное, Вам нужно не "почитать", а прочитать и вникнуть. Когда я впервые познакомился с сечениями Дедекинда, то пришлось перечитывать несколько раз, пока понял.

1

@executor

вы будете удивленны, как и я, но там действительные числа вводятся через бесконечные дроби, а в трех томнике через сечения.
пойду, продолжу вникать)

0

@angor6

И там, и там действительные числа вводятся через сечения. Наверное, Вы загрузили на свой компьютер "Основы математического анализа" других авторов.

0

@executor

Да, вы правы

0

Байт

А что, собственно, там сложного?
Давайте "на бабочках", на комплексных числах...
Дедекинд определяет Действительное Число, как пару множеств рациональных чисел А и В, обладающих одним свойством: a < b. Ну и еще одним. Их объединение = Q (все рациональные)
Также как Комплексное число определяется как пара чисел (x, y)
Тут у Дидекинда есть слабое место. Две пары могут быть эквивалентны. ({a<0} {b>=0}) и ({a<=0} {b>0}). Как он эту проблему решил - не помню. И специально не стал смотреть - посмотри сам. Но как-то решил, а то бы мы на эту тему не разговаривали.
Ну определил, и слава Богу! А вот зачем? Чтоб в этом был смысл, неплохо бы, чтобы эти наши новые Числа стали Полем. То есть ввести на них операции сложения и умножения, и проверить выполнение аксиом. Как мы это сделали с Комплексными. При этом оперируя только тем, что есть. То есть парами множеств.
По двум парам множеств A1,B1 и A2,B2 построить пару A3,B3, так чтобы она удовлетворяла условию a3 < b3 для всех. и назвать ее Суммой. Как мы для комплексных назвали суммой (x1+x2, y1+y2)
Назвать мало, надо проверить аксиоматику группы. Проверили
Тоже и с умножением.
Но, в отличии от комплексных, где эта операция не удалась, тут в одно действие определяется отношение порядка.
И мы имеем то, что имеем. Множество пар подмножеств рациональных чисел, над элементами которого (над парами подмножеств) можно производить привычные действия. Да еще, вот же какая удача - корни извлекать!
Собственно, как и из комплексных. Можно подумать, что все развитие математики стимулировалось именно извлечением корней!

Добавлено через 4 минуты
executor, Кстати, аналогичный процесс возникал и при определении рациональных чисел из целых. И там тоже вставала проблема многозначности. И при построении проективной геометрии...

Добавлено через 7 минут
И еще надо добавить, удачно вышло, что рациональное число есть частный случай действительного, целое - частный случай рационального, действительное - частный случай комплексного.
Вот с проективной геометрией не помню (просто плохо ее знаю). Является ли обычная плоскость частным случаем проективной?

2

@3D Homer

Проективную плоскость можно рассматривать как результат добавления к обычной аффинной плоскости несобственных точек, по одной для каждого направления. Таким образом, собственная точка — частный случай проективной точки, которая может быть собственной или несобственной.

1

@kabenyuk

Суха теория, но лучше примера ничего нет. Вот пример конкретного сечения, которое определяет число :

0

@executor

Байт, спасибо за такой прекрасный ответ, для переварки (осмысления его) надо читать Зорича)
До теории групп Ли я ещё не добирался, да и до теории поля тоже, этим меня Зорич и оттолкнул, мне показалось что прежде чем читать анализ "по Зоричу", необходимо и достаточно знать курс мехмата!
Но, на всякий выучу ваш ответ, что бы потом помериться с кем-нибудь линейками (шучу).

Я сейчас читаю Фихтенгольца, все говорят что это наиболее полный и понятный (разжеванный ) курс, но даже он не дает мне легкости освоения. Вдупляю прочитав некоторые вещи раз по 10. И язык правда уже староват, предел варианты, область изменения и прочее.
Зорич для меня рановат, и так вопрос, есть ли что-то современное, между Зоричем и Фихтенгольцем, на современном языке и не так сложно. Т.к. предел по базису фильтра я так и не понял, а с ним и сечение Дедекинда!
Я бы читал 2 книжки. От Фихтенгольца я уже не откажусь, а может вы меня переубедите.

0

Байт

Увы! Это не совсем сечение. То есть не сечение вовсе. Что есть следствие не очень точного определения, что ж такое этот корень из двух. Арифметический, да... Смешное слово...

Добавлено через 27 минут
А при чем тут старик Ли? Те группы, которые он придумал, да, это это штука непростая. Но они нам пока совершенно не нужны Просто Группы - объекты совсем не сложной структуры, я вам могу рассказать о них в двух словах.
Есть множество. На нем есть операция. То есть какой-то закон, отображающий пару элементов в один.
(2,2) -> 4
(5,13) -> 18
Как вы уже догадались, эта операция - просто сложение. Иногда обозначают знаком "+" 2 + 2 = 4, 5 + 13 = 18
И должны законы выполняться

1. (a+b) + c = a + (b + c)
2. Есть такой элемент Id, что a + Id = Id + a = a. Как легко догадаться, для группы чисел по сложению Id - это просто 0
3. И для каждого элемента a есть обратный Обр(a), такой, что a + Обр(a) = Id. В нашем примере Обр(a) = -a

Вот и все, в общем-то, про группы.
Но если вы бросите взгляд на тот, пока еще небольшой, мир математики, который вас окружает, вы просто поразитесь, сколь много объектов являются группами!
Про теорию поля тоже паниковать не надо. Его определение не намного более сложно. Там 2 операции. и чуть побольше законов. Все так же просты (как валенки)
А в "теории поля" (какой, физической? это совсем другой овощ) как и в группах Ли, Галуа и прочих, там на эти простые структуры еще навешивается куча всяких свойств, и вот взаимодействие этих свойств изучается. Нам это пока не нужно.

Добавлено через 10 минут
Не знаю. Я его читывал в 60-х годах прошлого века. Впечатление тяжеловесности, размытости... Впрочем, это такой был стиль у старых мастеров. Несколько лекций проф. Клейна или Скорнякова - и Фихт читался как бульварная пресса. Впрочем, это мое личное ощущение, и я на нем никоим образом не настаиваю

1

@executor

Прекрасно, хахаххахахаха, спасибо

0

iifat

Стесняюсь спросить, чем именно оно вам не сечение?

0

Байт

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел {\displaystyle \mathbb {Q} } \mathbb {Q} на два подмножества {\displaystyle A} A (нижнее, или левое) и {\displaystyle B} B (верхнее, или правое) такие, что:

{\displaystyle a<b} a<b для любых {\displaystyle a\in A} a\in A и {\displaystyle b\in B} b\in B,
{\displaystyle B} B не имеет минимального элемента.

Добавлено через 6 минут
iifat, простите, при копипасте вот такая невнятица получилась. Но разобраться можно. Ключевой момент a < b
В примере уважаемого kabenyuk, из поста 10, A = (-1.41, 1.41), B состоит из двух кусков, и ни о каком выполнении неравенства a < b для всех речи и быть не может.

Добавлено через 13 минут
В самом деле надо добавить немного. Множество А объединить с { x < 0 }, а В пересечь с { x >=0 }. Вот тогда это будет сечение, полностью удовлетворяющее определению функции

3

@kabenyuk

Да, это правильно. В голове то у меня было два луча, а на письме оказалось малость не то.

Но чтобы два раза не вставать, хочу и вам возразить по поводу аналогии с построением комплексных чисел. Да и там и тут строится расширение одного поля до другого. Но если комплексные числа из вещественных строятся с помощью алгебраического приема (говоря по научному - это фактор-кольцо), то поле вещественных чисел из рациональных строится пополнением, т.е чисто топологически. Это я все к тому, что эта "аналогия", на мой взгляд, где-то даже и вредна при первом изучении.

0

Байт

Чего-то опять не понял. Факторов не увидел.
Понимаете, я хотел сказать о построение новых математических объектов вообще. Вполне допускаю, что эта аналогия не слишком хороша для только начинающего мыслить ума. Имхо, трудно найти внятную аналогию сечению Дедекинда. Построение рациональных из целых? Но там тоже чисто алгебраический подход, отягощенный многообразием представлений и вынужденной работой с классами эквивалентностей
Если вы укажите на достойную аналогию, буду очень рад.
А цель этих моих "построений" - просто показать, что в самом деле все очень просто. Надо только знать с чем ты работаешь И зачем.

0

@kabenyuk

Поле комплексных чисел изоморфно фактор-кольцу R[x]/(x^2+1), где (x^2+1) - идеал в кольце многочленов R[x], порожденный многочленом x^2+1.

По поводу достойной аналогии - нужна ли она? Совершенно простой материал, требующий всего лишь небольшого привыкания. Собственно и Дедекинд, излагая эту свою теорию спустя полтора десятка лет после того, как он ее придумал, извинялся перед читателем за ее простоту. Вот кусочек его текста в переводе на русский

2