Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Мат. логика и множества
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
 
Рейтинг 4.89/47: Рейтинг темы: голосов - 47, средняя оценка - 4.89
0 / 0 / 0
Регистрация: 15.10.2011
Сообщений: 23
1

Объяснить, что означает "счётное" и "несчётное" множество

19.10.2012, 22:33. Показов 8965. Ответов 52
Метки нет (Все метки)

Объяснить, что означают слова: «множество счетное», «множество несчетное», «множество конечное»? Где больше элементов: в отрезке [0,1] или в интервале (1,9)? Почему?
0
Заказывайте контрольные, курсовые и дипломы здесь.
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
19.10.2012, 22:33
Ответы с готовыми решениями:

Что означает оператор "стрелка вверх"?
Друг попросил помочь с контрольной по логике. Сразу столкнулся со следующими проблемами: 1)Что...

Какое min количество вопросов, требующих ответа "да" или "нет", необходимо?
В Петрозаводске 280000 жителей. Какое минимальное количество вопросов, требующих ответа "да" или...

Назвать отношение, если R означает "быть руководителем"
Добрый день, помогите решить такое задание: Назвать отношения:...

Отношения "больше"/"меньше" в лямбда-исчислении
Доброго времени суток, уважаемые форумчане. Подскажите пожалуйста, как в термах лямбда-исчисления...

52
Змеюка одышечная
9855 / 4600 / 178
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,569
19.10.2012, 22:53 2
Конечное множество, очевидно, имеет определённое конечное число элементов.
В счётном множестве все элементы можно занумеровать (т.е. посчитать).
В несчётном, следовательно, имеются элементы, которые пронумеровать нельзя.
2
35 / 35 / 4
Регистрация: 28.11.2012
Сообщений: 164
12.04.2013, 19:11 3
Что значит элементы которые нельзя пронумеровать?

Везде в интернете одно и тоже объяснение на почти одном и том же примере(у авторов фантазии 0).
Правильно ли я понимаю?
Конечное множество это множество размер которого мы можем охарактеризовать числом. (В стаде 52 барана) тут с детства все понятно.
Счетное множество это бесконечное, дискретное множество(множество отдельных элементов, число которых бесконечно) пример множество натуральных или целых чисел(у меня тоже мало фантазии чтобы придумать больше примеров, так как не до конца понимаю смысл, видимо как и авторы книг).
Несчетное множество это подобие функции, в том смысле что какие бы мы две близкие точки функции не взяли всегда можно взять точку между ними, и если выбрать теперь новый интервал между одной из старых точек и новой(которая была между ними) в этом интервале тоже можно найти новую точку и так до бесконечности по этому так как в любом интервале бесконечное количество точек то функция непрерывна и поэтому ее называют континумом(состоит не из отдельных точек а непрерывна с каким бы мы ее увеличением не рассматривали).

Правильно ли я понимаю?
0
1885 / 1467 / 172
Регистрация: 16.06.2012
Сообщений: 3,334
12.04.2013, 19:19 4
Множества называются эквивалентными, если между ними можно установить биекцию.
Отрезком натурального ряда называется множество вида https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{n  \ | \ m \leq n \leq k \}, где https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m, \ k \in \mathbb{N}.
Конечным называется множество, эквивалентное некоторому отрезку натурального ряда.
Cчётным называется множество, эквивалентное множеству натуральных чисел.
Несчётным, соответственно, именуют множество, которое не эквивалентно множеству натуральных чисел (между ним и натуральным рядом нельзя установить биекцию).
1
35 / 35 / 4
Регистрация: 28.11.2012
Сообщений: 164
12.04.2013, 19:25 5
Спасибо. Это книжное объяснение, но дело в том что я не знаю правильно ли я его понимаю. Правильное ли у меня сложилось мнение(изложено выше) о том что представляют из себя множества.
0
Эксперт C
25592 / 15962 / 3418
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 34,917
12.04.2013, 19:30 6
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
Правильно ли я понимаю?
Нет, неправильно.
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
так как не до конца понимаю смысл, видимо как и авторы книг
Не многовато ли вы на себя берете, считая что то, что непонятно вам, уже никто не в силах понять?
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
мало фантазии
Ну, скажем, все рациональные числа. Все алгебраические числа (корни уравнений с рациональными коэфициэнтами)
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
в этом интервале тоже можно найти новую точку
Вот рациональные этому свойству удовлетворяют, но тем не менее - счетны. А то что вы сказали называются всюду плотные
3
35 / 35 / 4
Регистрация: 28.11.2012
Сообщений: 164
12.04.2013, 19:59 7
Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
Не многовато ли вы на себя берете
Нет, штудируя литературу сложилось впечатление что если объяснения которые переписываются из книги в книгу под копирку, не по тому что они такие хорошие и не стоит изобретать велосипед, а из лени.
Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
считая что то, что непонятно вам, уже никто не в силах понять?
Об этом я ни слова не сказал.
Но если есть люди которые не понимают "стандартное объяснение" и их много нужно создать еще одно и еще одно пока объяснений не станет столько что каждый будет способен понять. От того что я прочитаю стандартное 300 раз я его лучше понимать не стану.

ОК "всюду плотные" новый термин был не знаком. Но точки на непрерывной функции это несчетное множество? Что значит "невозможно посчитать"?

Добавлено через 1 минуту
В какой книга на ваш взгляд лучшее объяснение этой темы?
0
1885 / 1467 / 172
Регистрация: 16.06.2012
Сообщений: 3,334
12.04.2013, 20:13 8
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
Это книжное объяснение
Когда писал, в книжку не смотрел.
А что непонятно? Слово биекция?
0
2605 / 2195 / 234
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,916
Записей в блоге: 1
12.04.2013, 20:37 9
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
Нет, штудируя литературу сложилось впечатление что если объяснения которые переписываются из книги в книгу под копирку, не по тому что они такие хорошие и не стоит изобретать велосипед, а из лени.
Есть и другое объяснение: за столетия формулировки и объяснения отшлифовались и тот, кто не может их понять - "естественно выбывает из игры" (или адаптирует их для себя сам).
Думать, что для каждого можно придумать объяснения любой математической теории - наивно
1
35 / 35 / 4
Регистрация: 28.11.2012
Сообщений: 164
12.04.2013, 20:43 10
Цитата Сообщение от zer0mail Посмотреть сообщение
Есть и другое объяснение: за столетия формулировки и объяснения отшлифовались и тот, кто не может их понять - "естественно выбывает из игры" (или адаптирует их для себя сам).
Думать, что для каждого можно придумать объяснения любой математической теории - наивно
Ни дай Бог чтобы к людям так начала относится фармацевтика. Мы за годы создали массу препаратов и если они вам не подходят у вас например аллергия то вы "естественно выбывает из игры".
Хотели бы что бы в мире было всего 2 антибиотика?
Что бы вы делали если бы Вам ни один не подошел?

Добавлено через 1 минуту
Цитата Сообщение от Ellipsoid Посмотреть сообщение
А что непонятно? Слово биекция?
Сейчас почитаю немного и попытаюсь правильнее сформулировать вопросы.
0
zer0mail
12.04.2013, 20:57
  #11

Не по теме:

Тому, кто не может отличить математику от фармацевтики, лучше не заниматься ни тем, ни другим (чтоб не тратить попусту ни свое время, ни чужое здоровье). Я не встречал нормальных людей, у которых аллергия на 2*2=4 :)

0
35 / 35 / 4
Регистрация: 28.11.2012
Сообщений: 164
12.04.2013, 21:04 12
В книге есть пример показывающий что множество целых чисел счетно, так как мы можем построить биекцию между множествами.
N <-> Z
1 <-> 0
2 <-> 1
3 <-> -1
4 <-> 2
5 <-> -2
6 <-> 3
........
Но я не понимаю как можно построить биекцию между множеством натуральных и целых чисел поскольку если ее строить следующим образом:
N <-> Z
1 <-> 1
2 <-> 2
3 <-> 3
4 <-> 4
5 <-> 5
и так мы можем построить взаимное соответствие до + бесконечности.
Тогда из множества Z - целых чисел числа от 0 до - бесконечности не имеют биекции с натуральными числами так как они заняты.

Вот что мне не понятно.
0
Ellipsoid
12.04.2013, 21:07
  #13

Не по теме:

Цитата Сообщение от zer0mail Посмотреть сообщение
Я не встречал нормальных людей, у которых аллергия на 2*2=4
Думаю, найдутся те, у кого могут вызвать аллергию вплоть до анафилактического шока вещи вроде https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{2} \cdot \bar{2}=\bar{0}, где https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{0}, \ \bar{2} \in \mathbb{Z}_4. :D

0
2605 / 2195 / 234
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,916
Записей в блоге: 1
12.04.2013, 21:08 14
Надо не лениться, а почитать теорию: множества равномощны, если между ними можно установить биекцию (а не любое отображение является биекцией). Достаточно найти один способ отображения
1
Эксперт C
25592 / 15962 / 3418
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 34,917
12.04.2013, 21:28 15
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
штудируя литературу сложилось впечатление что если объяснения которые переписываются из книги в книгу под копирку...
Мне кажется, я понимаю о чем вы. Да, есть такие основополагающие вещи, что не поняв их, не получается двигаться дальше. А как только вы(или кто-то) их понял, то вполне естественно говорить на этом, уже понятном языке. Что и делают с удовольствием авторы этих книг. Но вы ведь только читаете, да? И конечно, от повторения глаза и мозги замыливаются. А может попробовать пойти другим путем? Т.е. порешать задачки. Скажем, доказать, что множество рациональных чисел счетно? Клянусь, это не супер-сложно. На маткружке МГУ эту задачу решали 8-9-классники. Т.е. найти механизм взаимно-однозначного сопоставления натуральных и рациональных чисел (биекция!). Если это сразу сложно, докажите счетность множества целых (как положительных, так и отрицательных) чисел.
Попробуйте доказать равномощность разных отрезков действительных чисел. потом можно попробовать доказать равномощность отрезка и интервала. Это совсем не сложно, нужно только забыть о непрерывности (в теории множеств об этом не слова). Ну и понять построение Кантора, доказывающее несчетность действительных чисел.
И вот когда вы эти вещи покрутите немножко в собственных руках, может быть все станет понятно, и вы сами начнете уверенно говорить на языке этих ленивых авторов, да еще тысячу раз удивитесь непонятливости "некоторых".
Удачи и терпения!

Добавлено через 5 минут
Вот zer0mail совершенно верно заметил. Иньекций-то туча немеренная. Но не в них смысл. Надо найти хоть одну биекцию. И тогда все Ок. Равномощность доказана!
0
35 / 35 / 4
Регистрация: 28.11.2012
Сообщений: 164
12.04.2013, 21:38 16
Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
Но вы ведь только читаете, да? И конечно, от повторения глаза и мозги замыливаются. А может попробовать пойти другим путем? Т.е. порешать задачки.
Пробую найти хоть какой то понятный участок текста чтобы начать распутывать клубок новой области знаний. С другими разделами математики справился, а тут начинается все как с нового листа и въехать трудно.

Вот выше описал пример того как бы я начал строить биекцию между натуральными и целыми числами и у меня биекции не получается. Также вначале описано как автор учебника построил биекцию и у него получилось. Чем мой способ хуже и почему он не доказывает что биекцию построить не возможно? Ведь целых чисел грубо говоря в 2 раза больше чем натуральных. А четных в два раза меньше чем натуральных но это тоже биекция.
0
Эксперт C
25592 / 15962 / 3418
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 34,917
12.04.2013, 21:46 17
Тут важно понять, что бесконечные множества могут сколь угодно раз вкладываться друг в друга. Так отрезок длиной в 200 парсеков легко отображается на отрезок в 1 микрон. Можно устроить и биекцию, а можно уложить эти 200 парсеков в микрон 1250 раз. Но вот всех подмножеств этого микронного отрезка значительно больше, чем точек в 200 парсеках.

Добавлено через 4 минуты
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
А четных в два раза меньше чем натуральных
Нет! Их в 5 раз больше. Возьмите отображение f:N -> 2N: f(n) = 10n
1
1885 / 1467 / 172
Регистрация: 16.06.2012
Сообщений: 3,334
12.04.2013, 21:57 18
Лучший ответ Сообщение было отмечено как решение

Решение

Тут, видимо, нужно разъяснить, что такое отображение.

Множеством будем называть любой набор элементов, некоторое их собрание. Например, можно говорить о множестве точек плоскости, множестве звёзд в некоторой галактике, множестве вершин многоугольника и т.д. Пустым называется множество, не содержащее ни одного элемента.

Пусть https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X, \ Y - произвольные непустые множества.

Декартовым произведением множеств https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X, \ Y называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x, \ y), где https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in X, \ y \in Y. Обозначение: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X \times Y. Например, если https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=\{1,2\}, \ Y =\{a,b,c\}, то https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X \times Y=\{(1,a),(1,b), (1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}.

Бинарным отношением называется любое подмножество декартова произведения двух множеств. Например, в случае, рассмотренном выше, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi=\{(1,a),(1,b), (1,c)\} - бинарное отношение.

Пусть: 1) https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X, \ Y - некоторые непустые множества;
2) https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \subset X \times Y - бинарное отношение.

Бинарное отношение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi называется отображением (функцией) множества https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X во множество https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y, если для любого https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in X найдётся единственный https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y \in Y такой, что https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x, \ y) \in \varphi. При этом элемент https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x называется прообразом элемента https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y, а элемент https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y - образом элемента https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x (он обозначается https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi(x)). Обозначение: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi: \ X \to Y или https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\varphi(x).

Пример. Пусть https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X=\{1,2,3,4\}. Бинарное отношение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi =\{(1,1), (1,2) ,(1,3)\} не является отображением, а бинарное отношение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f =\{(1,2), (2,3) ,(3,1)\} - отображение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f: \ X \to X.

Отображение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f: \ X \to Y называется биекцией, если одновременно выполняются следующие условия:
1) для любых https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1, x_2 \in X из https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1 \not= x_2 следует https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x_1) \not= f(x_2);
2) образ множества https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X совпадает с множеством https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y.

Например, отображение, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=x - биекция, а отображение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=x^2 биекцией не является.

Пусть https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A, \ B - произвольные непустые множества.

Множества https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A, \ B называются эквивалентными (равномощными), если существует биекция https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f: \ A  \to B. Обозначение: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|A|=|B|.

Пример. Рассмотрим множества натуральных чисел и целых чисел: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{N}=\{1,2,...\}, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mathbb{Z}=\{...-2,-1,0,1,2,...\}. Построим отображение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f: \ \mathbb{Z } \to \mathbb{N} cледующим образом: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f=\{(0,1),(1,2),(-1,3),(2,4),(-2,5),...\}. Это отображение - биекция, следовательно, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|.

Добавлено через 1 минуту
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
В какой книга на ваш взгляд лучшее объяснение этой темы?
Посмотрите "Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл" Виленкина, Балка и Петрова.
5
2605 / 2195 / 234
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,916
Записей в блоге: 1
12.04.2013, 23:40 19
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
Ведь целых чисел грубо говоря в 2 раза больше чем натуральных.
Это очень "грубо" и неправильно. Бесконечные множества не ведут себя, как очень большие конечные множества - они ведут себе иначе (в частности, нельзя сказать, что A>B в N раз).
А четных в два раза меньше чем натуральных но это тоже биекция.
Эта фраза либо ошибочна либо не имеет смысла.

Задача (демонстрирующая, что с бесконечными множествами надо думать иначе).
Условие: В бесконечно большой ящик за 1 сек до полуночи кладут 10 шариков с номерами 1-10. За 1/2 сек до полуночи шарик №1 вынимают и кладут еще 10 шариков с номерами 11-20. За 1/4 сек до полуночи шарик №2 вынимают и кладут еще 10 шариков с номерами 21-30. И так далее (уменьшают интервал в 2 раза, вынимают шар с наименьшим номером и докладывают 10 нумерованных шаров)...
Вопрос: сколько шариков будет в ящике в полночь?

Добавлено через 1 час 14 минут
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
Чем мой способ хуже и почему он не доказывает что биекцию построить не возможно?
Демонстрируете непонимание основ математики - что есть доказательство и что не есть доказательство. Чтобы доказать существование объекта с определенными свойствами достаточно привести пример такого объекта или описать способ его получения/построения. Но если конкретный способ не приводит к получению нужного объекта, это отнюдь не доказывает, что такого объекта нет в природе. "Вася Пупкин не нашел делителя числа X -значит, число X простое" А я нашел (и как быть с васиным "доказательством")?
1
Эксперт C
25592 / 15962 / 3418
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 34,917
13.04.2013, 00:45 20
Цитата Сообщение от boberjajtsegolo Посмотреть сообщение
Вот выше описал пример того как бы я начал строить биекцию между натуральными и целыми числами и у меня биекции не получилось
Это еще совершенно ни о чем не говорит. Ведь в определении говорится "если есть (найдена или доказано существование) биекции, то все хорошо". А если вы ее не нашли, простите, это ваши проблемы. Но если вы докажите, что такой биекции не существует, а это как правило, несколько сложнее, то тогда да! Множества не равномощны!
автор учебника построил биекцию и у него получилось.
Этого достаточно. По определению.
Чем мой способ хуже и почему он не доказывает что биекцию построить не возможно?
Возможно. Просто у тебя не получилось. Не то отображение взял

Добавлено через 15 минут

Не по теме:

Цитата Сообщение от zer0mail Посмотреть сообщение
Демонстрируете непонимание основ математики - что есть доказательство и что не есть доказательство.
Да, это так. Но эти штуки - такая абстракция... Вот вы в этой воде плаваете, как рыбка. А ТС бьется головой об лед. Но бьется, ведь! Ведь хочет понять! И, надеюсь, у него это получится. Старается же человек! А поняв эти, в общем-то очень простые вещи, выйдет на совсем другой уровень понимания.



Добавлено через 23 минуты
Цитата Сообщение от zer0mail Посмотреть сообщение
сколько шариков будет в ящике в полночь?
Парадокс Зенона? Эти ведь греки тоже не шибко врубались в абстракции бесконечно малых. И должно было пройти несколько тысячелетий, чтобы появилась епсилон-дельта техника, и мы уж теперь стали понимать, что бесконечность - не число, а процесс.
2
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
13.04.2013, 00:45

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные работы и диссертации здесь.

Проверьте приведение формулы к базису "и" "не"
ГДЕ МОЖНО НАЙТИ ИНФОРМАЦИЮ НОРМАЛЬНУЮ о этом представлении, что читал одни рассказы про философов и...

Что равняется "a" и "b"?
a + b = X; a-b = X; a * b = X; a / b = X; a и b не беск.

На множестве M = {1,2,,19,20} заданы предикаты B (x) - "x число четное", D(x) - "число x кратно 3"
На множестве M = {1,2,...,19,20} заданы предикаты B (x) - &quot;x число четное&quot;, D(x) - &quot;число x кратно...

Разница между базисами "И-НЕ" и "И,НЕ"
Доброго времени суток. По заданию нужно представить логическую функцию в базисах 1)И-НЕ и 2)И,НЕ и...

Составить функцию принадлежности, основанную синтаксически "A или B"
Ребят, помогите, пожалуйста, разобраться, не могу понять... Например, есть нечеткие множества ...

Опишите на языке логики первого порядка свойства отношения "равенство"
Задача. Опишите на языке логики первого порядка свойства отношения равенство. Подскажите, это...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
20
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.